1、第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场 3.2 3.2 磁感应强度磁感应强度 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位 3.5 3.5 磁偶极子磁偶极子 3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 3.8 3.8 标量磁位标量磁位 3.9 3.9 互感和自感互感和自感 3.10 3.10 磁场能量磁场能量 3.11 3.11 磁场力磁场力 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场
2、恒定电流的电场和磁场 基本方程E 的旋度边值问题边界条件电 位一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟)恒定电流的电场知识结构基本物理量 J、E欧姆定律J 的散度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁矢位（A）边值问题解析法数值法有限差分法有限元法分离变量法镜像法电感的计算磁场能量及力磁路及其计算基本实验定律(安培力定律）磁感应强度（B）(毕奥-萨伐尔定律)H 的旋度基本方程B 的散度分界面边界条件磁位()m恒定磁场知识结构第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1 3.1 恒定电流的电场恒定电流的电场3.1.1 3.1.1 电流密度电流密度 I I、电流
3、的定义电流的定义：单位时间内通过某一横截面的电量。：单位时间内通过某一横截面的电量。三种电流：三种电流：dAdqIt传导电流传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液 中的离子运动形成的电流。中的离子运动形成的电流。运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中 运动形成的电流。运动形成的电流。位移电流位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。随时间变化的电场产生的假想电流。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 II、电流密度电流密度的定义：与正电荷运动方向相垂直的单的定义：与正电荷
4、运动方向相垂直的单位面积上的电流强度。位面积上的电流强度。0limSIdISdSJnn任意面积任意面积S上的电流强度上的电流强度I：cosSSIdJdSJS图图 3-1 电流密度电流密度(A/m3)IdIdS n第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 0limSlIdIldl JnnJvIII、面电流密度面电流密度：图图 3-2 面电流密度面电流密度 nIV、的另一表达式：的另一表达式：设电荷体密度为设电荷体密度为，运动速度为运动速度为v，则：则：SdIdqdVdtddsdtdsdtdsdtdsvJnnnnv注：注：是垂直于是垂直于 d dl l，且通过且通过 d dl l 与
5、曲面相切的单位矢量。与曲面相切的单位矢量。nJndIvvdtds第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.2 电荷守恒定律电荷守恒定律 SVddddtdtqdV JSSVddVt JS0Vd Vt J1、电荷守恒定律、电荷守恒定律:单位时间净流出封闭面的电量等于单位时单位时间净流出封闭面的电量等于单位时间内封闭面内减少的电量。间内封闭面内减少的电量。（注：指电荷量的代数和守恒）（注：指电荷量的代数和守恒）ddqIt要使这个积分对任意的体积要使这个积分对任意的体积V均均成立，必须使被积函数为零。成立，必须使被积函数为零。散散度度定定律律-电流的“连续性方程”所以：第三章第三
6、章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 0t J0t0 J0SdJS（电流的（电流的“连续性方程连续性方程”微分式）微分式）意义：空间中某点电流密度的散度，等于这点电荷密度的减小率。意义：空间中某点电流密度的散度，等于这点电荷密度的减小率。2、恒定电流场的电流连续性方程：、恒定电流场的电流连续性方程：恒定电流场的电流不随时间变化：恒定电流场的电流不随时间变化：所以：所以：（恒定电流场方程）（恒定电流场方程）（积分式）（积分式）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.3 3.1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 UIJS由欧姆定律：UIJSR由电阻LRS得：
7、USJSL又由电场强度和电势的关系UEL则：1JEE第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 JE对于线性各向同性的导体，任意一点的电流密度与该点的对于线性各向同性的导体，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比电场强度成正比式中式中 称为称为电导率电导率，其单位为，其单位为 S/mS/m 。值愈大表明导电值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。（3-11）电导率为无限大的导体称为电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 的微分形式。的微分形式。U IR第三
8、章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 注意：欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律，运流注意：欧姆定律并不像高斯那样是电磁学的普遍定律，运流电流就不遵从欧姆定律电流就不遵从欧姆定律材材 料料 电导率电导率/(S/m)铁铁(99.98%)107 黄铜黄铜 1.46107 铝铝 3.54107 金金 3.10107 铅铅 4.55107 铜铜 5.80107 银银 6.20107 硅硅 1.5610-3 表表 3-1 常用材料的电导率常用材料的电导率 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电源电源 在外源中一定存在在外源中一定存在非静电力非静电力作用，作用，使正电
9、荷不断地移向正极板使正电荷不断地移向正极板 P，负电负电荷不断地移向负极板荷不断地移向负极板 N。极板上的电极板上的电荷在外源中形成电场荷在外源中形成电场 E。E导电媒质PNE 外 源 显然，由极板上电荷产生的电显然，由极板上电荷产生的电场力阻止正电荷继续向正极板移动，场力阻止正电荷继续向正极板移动，一直到极板电荷产生的电场力等于一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非静电力时，外源的电荷外源中的非静电力时，外源的电荷运动方才停止，运动方才停止，极板上的电荷也就极板上的电荷也就保持恒定。保持恒定。开路情况下外源内开路情况下外源内部的作用过程。部的作用过程。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定
10、电流的电场和磁场 电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。efEq=rr非库仑场ef非静电力图 3-3 电动势 非静电力非静电力：化学力、洛仑兹力：化学力、洛仑兹力一切非静电引起的力的总称一切非静电引起的力的总称()qFErr第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 因此，对闭合环路积分dd()llEEl=lJ JJEE()总场强：cEEE dlEl电源电动势与局外场强dddd左式()llllEEl=El+El=El=保守场=0电动势第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 dIRABEl=所以：ddddll=l=右式JISIRSSSIllll=l=J J第三章
11、第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.4 3.1.4 焦耳定律焦耳定律 在导体中，沿电流线方向取一长度为l、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率由公式 P=UI 得：IJSUPIEVEEJll J 与 E 之关系其极限值：20limEEJVPpV或：p=rrJ JE E（焦耳定律的微分式）注：焦耳定律不适应于运流电流。导体内任一点的热功率密度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.5 3.1.5 恒定电流场的基本方程恒定电流场的基本方程 结论：恒定电场是无源无旋场。d0SJSd0lElJEs=rr0 J0 E积分形式微分形式构成方程由以上结论可引入
12、位函数：均匀导体内部(为常数)，有：E0)(2E第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.1.6 3.1.6 恒定电流场的边界条件恒定电流场的边界条件 图 3-4 边界条件 说明：分界面上 J 的法向分量连续。d0 SJS由得2n1nJJ所以有：11n22nEE即：1212nn12J1J2210SS JnJn即21()0nJJ或第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 说明：分界面上 E的切向分量连续。导体分界面上的电荷密度为：所以有：12d0 l El由得21()00E-El1t2tEE即21()0nEE或00lSn212121212121SnnnnnDDJJ
13、J式中，Jn=J1n=J2n,当 时，分界面上的面电荷密度为零。1122第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 1122tantan（折射定律）1n2n JJ1 11222coscosEEt 2t 1EE 1122sinsinEE由得若1，则20结论：在理想导体表面上，和 E近似的都垂直于分界面。1122tantan静电场的折射定理：区别第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-1 设同轴线的内导体半径为a,外导体的内半径为b，内、外导体间填充电导率为的导电媒质，如图 3-5 所示，求同轴线单位长度的漏电电导。图 3-5 同轴线横截面 第三章第三章 恒定
14、电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 漏电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体，如令沿轴向方向单位长度（L1）从内导体流向外导体的电流为I I，则在媒质内（a r a)的球面流出的总电流为I，则24rIJer24rJIEer 244aaIIUEd rd rra 14URIa IEUGUIJ欧姆定律的微分形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.2 3.2 磁磁 感感 应应 强强 度度 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注意类比
15、法的应用。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 基本要求 深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。掌握恒定磁场的基本方程和分界面边界条件。了解磁位及其边值问题。熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 一、安培定律安培定律1、两个电流元间的相互作用力02211123()4dddRIlIlRF图 3-8 安培定律 安培定律的微分形式安培定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。I I1dl1对I I2dl2的作用力为：式中：R:为为真真空空中中的的磁磁导导率率21=|R|R=r-r-700=4 10 H/m
16、 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2102211123()4CCddR IlIlRF21012221134CCddRIlRFIl2、两个电流环间的相互作用力在回路C1、C2上分别对上式积分得：安培定律的积分形式第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 二、毕奥二、毕奥萨伐尔定律（萨伐尔定律（Biot-Savart Law）1、磁场的定义：磁力是通过磁场传递的。电流或磁铁在其周围空间会激发磁场。磁场对处于其中的运动电荷（电流）或磁体会产生力的作用。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 电场力201d()4RVVqqReFE定义：磁感应强度力
17、=受力电荷 电场强度力=受力电流 磁感应强度101134CdRIlRB磁场力22112211322024CCCddRdIlRFIlIlB单位 T（Wb/m2）2、毕奥萨伐尔定律第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 03()()4VdVRJ rRB r毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质体分布的电流J的磁场：面分布的电流Js的磁场：03()()4ssdSRJrRB r3、磁场力：ddFI lB电流元在外磁场中受力：101134CdRIlRB1JdS I第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 qFvB()qFEvB称为洛仑兹力公式。以速度v运动的点电荷q，其在外磁场
18、B中受的力：设在单位体积内载流子数目为n，v是平均漂移速度，Q为每个载流子的电荷，导线的横截面为da，则 In(dav)Q作用力为：QndlvdaBddFI lB如果空间还存在外电场 ，则电荷q受到的力还要加上电场力：E第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-4 求载流I的有限长直导线(参见图 3-9)外任一点的磁场。图 3-9 例 3-4 用图 r第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解解：取直导线的中心为坐标原点，导线和z轴重合，在圆柱坐标中计算。03()4CIdlRB rR从对称关系能够看出磁场与坐标无关。不失一般性，将场点取在=0，即场点坐标
19、为(r,0,z)，源点坐标为(0，0，z)。22,tan,sececsseczzzzezez e Rrrzzdzddle dzeRrrd 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 所以 22()seczzdlRe dzezz eedzed 2s e czd zed secR212122/20033/20012sec44seccos4(sinsin)4lledIIdlRBRIedIe 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 式中：122222/2sin(/2)/2sin(/2)zlzlzlzl对于无限长直导线(l)，1=/2,2=-/2，其产生的磁场为 02IBe第
20、三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.3 3.3 恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程 3.3.1 磁通连续性原理（恒定磁场的散度）1、磁通量：指磁感应强度在有向曲面上的通量。简称磁通。sd BS如S是一个闭曲面，则 Sd BS单位：Wb第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 030300334444SCSSCSCCSddRddRddddRdR RlRBSI lRBIBSISSlSIlR 2、磁通连续性原理：由C=BACBA31RR R对场点有：所以：041SSCdRddIBSlSP第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 VSdVd AAS由
21、矢量恒定式 得：014SCVRdddVIBSl0SdBS由梯度场重要性质 可得：0 （积分式）使用散度定理得：0SVddV BSB0 B（微分式）041SSCdRddIBSlS第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 关于恒定磁场散度的讨论:恒定磁场的散度处处为零，说明 恒定磁场是无源场，不存在磁力线的扩散源和汇集源。由磁通的连续性定律可知：磁力线是连续的。恒定磁场的散度恒为零，联系旋度场的重要性质：0F可推知:磁感应强度矢量B可用一矢量函数的旋度来表示。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.2.2 安培环路定律（恒定磁场的安培环路定律（恒定磁场的旋度旋度）
22、以下内容为研究在C产生的恒定磁场中沿闭合曲线C上的B B 的环量：C C030034()44CCIdRIIdRddddRBlRllllC=BACBA沿积分路径C向左移动dl相当于C向右移动-dlPPP3()SrrdSrr 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 0040CCIIdd Bl(C和C相交链)(C和C不交链)穿过积分回路C的电流是几个电流时：0CdIBl 根据斯托克斯定理，可以导出安培环路定律的微分形式：积分式nABInABI第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场()Csdd BlBS由于 SIdJS（P48 3.2）所以0()SSdd BSJS因积分
23、区域S是任意的，因而有 0 BJ（微分式）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对恒定磁场旋度的讨论：恒定磁场是有旋场，电流为磁场的旋涡源。安培环路定律中，电流为回路C所围电流的代数和。CCC和C相交链I 空间任意点磁场的旋度只与该点电流密度有关小结：无源场，磁力线无头无尾且不相交。有旋场，电流是磁场的旋涡源，磁力线构成闭合回路。0CdIBl0 BJ第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 图3.2.5 一对反向电流传输线图3.2.6 一对同向电流传输线图3.2.7 两对反相电流传输线图3.2.8 两对反向电流传输线第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电
24、场和磁场 例例3-5 半径为a的无限长直导线，载有电流I，计算导体内、外的磁感应强度。解解:在圆柱坐标系中计算，取导体中轴线和 z 轴重合，由对称性可知，磁场与 z 和 无关，只是 r 的函数，且只有 分量，即磁场是圆心在z轴上的圆。沿磁感应线取半径为 r 的积分路径C，依安培环路定律得02CSB dlrBJ dS在导线内电流均匀分布，导线外电流为零，20zIeraJaraarez0CdIBl第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当ra时，包围电流为Ir2/a2。所以当ra时，2002220222IIrBraaIrBararez02IJa第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定
25、电流的电场和磁场 rIBIrB2200写成矢量形式为 02022IreraaBIerar 当ra时，积分回路包围的电流为I；arez第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 00 B=B=AA=3.4 3.4 矢矢 量量 磁磁 位位 式中：A A称为恒定磁场的矢量磁位矢量磁位。一、一、矢矢 量量 磁磁 位的引入位的引入 引入矢量磁位的意义引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，可通过间接求解方法求解空间磁场分布，简化电磁问题。二、二、库仑规范库仑规范要求：B与A A间满足一一对应关系。矢量位A A不是唯一确定的，它加上任意一个标量的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即：1、矢量位的任意性第
26、三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 BA若：则对于 有：AA+AAAB而：2 AAA 上式表明：A和A具有不同的散度，这意味着满足条件 的A有无限多个。2、库仑规范条件 必须引入新的限定条件，对A取值进行限定。这种新引入的限定条件称为。由亥姆霍兹定律可知，矢量场的性质由其散度和旋度决定，对于矢量磁位函数A，其旋度值已确定（等于B），必须要引入限定条件对其散度值进行限定。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 在恒定磁场中，一般采取条件，即令：0 A注意：规范条件是人为引入的限定条件。三、矢量磁位的解三、矢量磁位的解00 BJAJBA使用矢量恒等式 2 AAA2
27、0 AJ（磁矢位的泊松方程）第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对无源区(J=0)，磁矢位满足矢量拉普拉斯方程，即：20A设在直角坐标系中，有xxyyzzJ eJ eJ eJ20 AJ将磁矢位的泊松方程展开000 xxyyzzxxyyzzA eA eA eJ eJ eJ e 2222AxxyyzzA eA eA eA这样可得各分量方程第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对照静电场中的泊松方程的解：2001()4VdVrr-r000 xxyyzzAJAJAJ 222000 xxyyzzAJAJAJ 222000444xxVyyVzzVJAdVRJAdVRJ
28、AdVR2.3 旋度第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 04Vd VRJA20 AJ面电流的磁矢量位：04SSdSRJA写成矢量的形式为：04lIdRlA线电流的磁矢量位：上面的公式中，均假定电流分布在有限区域，磁矢位的零点取在无穷远处。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁通的计算也可以通过磁矢位表示：()SSCddd BSASAl对矢量磁位的说明：矢量磁位A A的方向与电流J的方向相同。引入矢量磁位可以大大简化磁场的计算。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-6 求长度为l 的载流直导线的磁矢位。图 3-11 直导线磁矢位
29、 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 解解:/2022 1/2/222 1/2022 1/24()(/2)/214(/2)/2lzlIdzArzzlzlzrInlzlzr 当lz时，有 22 1/2022 1/2/2(/2)14/2(/2)zIllrAnllr 上式中，若再取lr,则有 2001144zIlIlAnnrr04lIdRlA第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当电流分布在无限区域时，一般指定一个磁矢位的参考点，就可以使磁矢位不为无穷大。当指定r=r0处为磁矢位的零点时，可以得出 rrnIAz0012从上式，用圆柱坐标的旋度公式，可求出 02z
30、IABAeerr 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3 7 用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。解：解：20zIeJa r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有z分量，而且它只是坐标r的函数，即()zAe A r设在导线内磁位是A1,导线外磁位是A2，ra时，01222rArrrA21220114CnrCaIrA4321CnrCA考虑到磁位只是 r 的函数，以上两个偏微分方程就化为常微分方程。对其积分可以得出其中C1、C2、C3、C4是待定常数，由于r=0处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出C1 0。其余三个常数暂时不考虑，将磁矢位代入公式zABer 00rzzee
31、eBArzA 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 可以求出导线内、外的磁场分别为 012322IrBeaCBer 203IC导体外部的磁感应强度为 022IBer第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.5 3.5 磁磁 偶偶 极极 子子电流环半径为电流环半径为a、电流电流为为 I、位于、位于xoy平面上，中心与原点重合。平面上，中心与原点重合。由于轴对称，由于轴对称，A A 与与 无关。为了计算无关。为了计算方便起见，取所求的场点位于方便起见，取所求的场点位于xozxoz 平面，平面，即即 =0=0平面内。平面内。一、电流环在空间区域中的场强：一、电流环
32、在空间区域中的场强：在环上对称选取（在环上对称选取（a,/2,）和和（a,/2,-）两段电流元两段电流元,其在场点其在场点P P处合处合成的矢量位与成的矢量位与e ey y平行平行。xyOare-exeyePRedldldAldArzyxarerzyxareRldlP(r,0)第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 由由3-443-44式：式：xyOare-exeyePRedldldAldA002()42yyyId2dARIRdladlA=cos ecos ecos e002yIadRA=cose其中：其中：rzyxarerzyxareRldlP(r,0)22222222222
33、(2cos)2cos2(1sincosins)Rzlaaaaazxarrrrxr04lI dRlA第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 所以：所以：12221121sincosaaRrrr当：当：r a 时时:220ar由公式：由公式：2(1)(1)12!xxx 121121sincos11sincosaRrrarr第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 所以 其中：m=Ia2=IS令：m=IS为载流回路的磁矩，其方向为环路法线方向相同。一般表达式：034rmrA)(ar 002IadRA=cose0020022cos1sin2sinsin44yyyIaadr
34、rmI arrA=eoeces2cos 22 cos1第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 203sin1sinsin(2cossin)4rrrrrrrArArAmr eeeBAee二、球坐标系中磁场强度表达式：二、球坐标系中磁场强度表达式：20cos4qlr30(2cossin)4rprEee034rmrA02sin4ISAr第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 位于点 r的磁矩为m的磁偶极子，在点 r 处产生的磁矢位为 03()()4mrrA rrr 位于外磁场B中的磁偶极子m，会受到外磁场的作用力及其力矩。这里仅仅给出作用力及力矩的公式。作用力为()F
35、mB力矩为 TmB第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6 3.6 磁介质中的场方程磁介质中的场方程 3.6.1 3.6.1 磁化强度磁化强度 m=IdSdS1 1、分子电流及磁矩、分子电流及磁矩电子绕核运动，形成分子电流。分子电流将产生微观磁场。分子电流的磁特性可用分子磁矩表示：IdmS式中：I 为电子运动形成的微观电流：dS S为分子电流所围面元。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2 2、介质的磁化、介质的磁化 无外磁场作用时，介质对外不显磁性：10niim10niim 在外磁场作用下，分子磁矩取向与外加磁场趋于一致，宏观表现出磁特性，这一过程称
36、为。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 0limVVmM式中：是分子磁矩，的单位是A/m(安培/米)。NVNVmMm3 3、磁化强、磁化强度度 为定量描述介质磁化程度的强弱，引入MM。介质的磁化强度，等于单位体积内的分子磁矩之和。如果体积元V内，每一个分子磁矩都为mm，单位体积内分子数是N，则磁化强度为：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.2 3.6.2 磁化电流磁化电流 图 3-13 磁化介质的场 定义：介质被磁化后，在介质内部和表面会出现附加电流，这种电流称。磁化电流强度的计算：设磁介质 r 处体积元V 内的磁偶极矩为M M V，则在 r 处
37、产生的磁矢量位：03()4VRM rRA全部磁介质在r处产生的磁矢位为：034rmrAo第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 003()144VVRdVRdVM rARM应用矢量恒等式：0044VVMAdVRdVRM ()AA A-(A1.5)再用恒等式:VSd Vd FFS(A1.14)0044VSdVdSRR MMnA等效体电流密度Jm等效面电流密度Jms04Vd VRJA第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化电流共同作用的结果。磁化电流仍然遵循电流守恒定律。均匀磁介质内部不
38、存在磁化电流mJM 磁化电流体密度：m SJMn磁化电流面密度：对介质磁化问题的讨论：0044VSdVdSRR MMnA第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁偶极子与电偶极子对比模 型极化与磁化电场与磁场电偶极子磁偶极子qpldImSMJmmsJM nspP nP-pl第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3-7 半径为a、高为L的磁化介质柱(如图 3-15 所示)，磁化强度为M0(M0为常矢量，且与圆柱的轴线平行)，求磁化电流Jm和磁化面电流JmS。图 3 15 例 3-7用图 xyzsJ0第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 0
39、()0mzJMMe 0()0m SzzJMnMee00mSzzJMnM ee00mSzrJMnM eeM e 解解：取圆柱坐标系的z轴和磁介质柱的中轴线重合，磁介质的下底面位于z=0处，上底面位于z=L处。此时，由式(3-52)得磁化电流为 0zMM e在界面z=0上，zne 在界面z=L上，zne在界面r=a上，rnexyzsJ0mmSJMJMn 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.3 3.6.3 磁场强度磁场强度 式中：Jm为磁化电流密度；Im为磁化电流强度。00()()mmCSB dlIIJJdS0000()CCsB dlMdSM dlII0CIBMdl有磁介
40、质时安培环路定律的修正式：代入Jm得:移项得:0CdIBlmJM d(dScAlA)S第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场(微分式)HJ 定义:磁场强度0BHM(A/m)CHdlI安培环路定律:(积分式)图图b H 的分布与磁介质有关思考图b 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？图a 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？有磁介质存在时，重答上问。图图a H 与I 成右螺旋关系0DEP第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.4 3.6.4 磁导率磁导率 对于大多数媒质，磁化强度 MM 与磁场强度 HH 成正比，即:mMH式中比例常数 m 称
41、为磁化率磁化率。磁化率可以是正或负实数。考虑到 ，则由上式求得 0BMHHB)1(m0 抗磁物质:水、金属铜、碳(C)和大多数有机物和生物组织。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场)1(m0 令HB 则(式中 称为磁导率)m0 r 1相对磁导率 r 定义为:(H/m)铁磁材料的 B B 和 HH 的关系是非线性的，并且B B不是HH的单值函数，会出现磁滞现象，其磁化率 m的变化范围很大，可以达到106量级。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.6.5 3.6.5 磁介质中恒定磁场基本方程磁介质中恒定磁场基本方程 基本方程本构方程HBS0dSB（磁通连续原
42、理）0 BIllH d（安培环路定律）JH 恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的旋涡源第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 磁矢位 A 及泊松方程由00 BBAA A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。221/()()AHJ BAJAAAAJ由JA2（矢量）泊松方程 02A（矢量）拉普拉斯方程 当 J=0 时0 A取库仑规范（Coulombs gauge)矢量恒等式：20 20 第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 例例 3 8 同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图 3-16 所示。设内、外导体分别流过反向的电流I，两导体之间介质的
43、磁导率为，求各区域的H、B、M。图 3-16 同轴线示意图 cab第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 22222IaIrHrra)(ar 解：解：以后如无特别声明，。因同轴线为无限长，则其磁场沿轴线无变化，该磁场只有分量，且其大小只是 r 的函数。分别在各区域使用介质中的安培环路定律 ，求出各区的磁场强度 ，然后由 求出 和 。当ra时，电流I在导体内均匀分布，且流向+z方向。cSHdlJ dSMHHB22IrHea)(ar 2IJa由安培环路定律得第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 考虑这一区域的磁导率为0，可得 00220IrBHeaM(r a)(r
44、 a)当arb时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，22IHerIBer002IMer(arb)(arb)(arb)0BHM可得 cab第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 当bc时，这一区域的 为零。MBH、cab第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.7 3.7 恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件 图 3-17 Bn的边界条件 d0 S BS由1n2nBB得210SS BnB n即21()0nBB或1.B 的边界条件B112B2l12n说明：分界面上 B的法向分量连续。0l 当第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 dd CSH
45、lJS由得21()d Sl 0H-HlJS0lb n2.H 的边界条件b b1H1H22若界面上电流可看成面电流，则：d sSl JSJb即21()Sb n HHJb于是有：21()Sll 0H-HlJb第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 1t2tHHb b1H1H22即21()SnHHJ说明：分界面上 H的切向分量不连续。若界面上无电流，则：21()0nHH或CCA BACBAB21()SHHJb nb21()SbHJnHb第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 1212tantan静电场和恒定电流的场比较1t2tHH1122sinsinHH1n2n BB
46、1122coscosBB由所以：若1 2，则20结论：在铁磁性材料（1 0）与空气的分界面上，空气中的B垂直于分界面。3.折射定律条件：媒质均匀、各向同性，分界面 J=0111222,BHBH又：2111212tantan1212tantan第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.8 3.8 标标 量量 磁磁 位位m标量磁位;单位：A（安培）0HmH磁标位m 仅适合于无自由电流区域;等磁位面（线)方程为m=常数，等磁位面（线）与磁场强度 H 线垂直;式中的负号是为了与静电位对应而人为加入的。由（3.60）式：HJ在无电荷区域 J=0，则：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒
47、定电流的电场和磁场 均匀介质中，由式(3-60)、(3-61)和(3-72)可得：2mm()00 BHHH磁场的边界条件用磁标位表示时，为：212121mmnnBBnn用微分方程求磁标位时，也同静电位一样，是求拉普拉斯方程的解。磁标位主要用来计算永磁体的磁场。2121ttmmHH第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 对非均匀介质，在无源区(J=0)，引入磁荷的概念后，磁标位满足泊松方程，即mm2式中：Mm第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.9 3.9 互互 感感 和和 自自 感感 1.电感的定义sdBS当曲面固定不变时，磁通与磁感应强度B成正比：S B
48、0CdIBl由环路定律当环路C不变时，磁感应强度B与电流强度I 成正比：BI第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 如果回路由N匝导线绕成，则总磁通量是各匝的磁通之和。称，用表示。对于密绕线圈，有=N。在线性磁介质中，穿过任意回路的磁通量与回路电流成正比。电感：穿过某电流回路的磁通量与回路中电流强度之比称（电感系数），用L表示，即：LIH（亨利）L第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 2.自感：若某回路C载流为I，其产生的磁场穿过回路C自身所形成的磁链为，则定义回路C的自感系数为：LIH（亨利）自感的大小决定于回路的尺寸、形状 以及介质的磁导率。若回路导线直径
49、较粗，则：L=Li+Le式中：Li为回路内自感，由导体内部磁场与部分电流交链而成。Le为回路外自感，由导体外部磁场与回路交链而成。关于回路自感的讨论：第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 3.互感：互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关。C2C1 C1与C2的互感：12121MIC2与C1 的互感：21212MI4.诺伊曼公式：（简单互感间的计算公式）条件：导线直径远小于回路的尺寸及两回路间的最近距离。第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 设回路 C1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为：C2C
50、110 11124CIdR lA穿过回路 C2 的磁通为：22210 1112121212224SCCCIddddR lBSAllC1 与C2的互感为：21012121214CCddMIR ll-由上式知：1221MM()SSCdddB SASA l第三章第三章 恒定电流的电场和磁场恒定电流的电场和磁场 4.外自感的诺伊曼表达式：设电流 I I 集中在导线的轴线 C1上，磁通穿过外表面轮廓 C2 所限定的面积。C1C2电流 I 在 C2 上产生的磁矢位为:1011d4cIR lA与 C2 交链的磁通为:2210122ddd4cccIR llAl外自感210120dd4ccLIR ll第三章第三
