第2讲 充分必要条件和命题 讲义（学生版+教师版）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第 2 讲 充分必要条件和命题玩前必备1充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件pq 且 qpp 是 q 的必要不充分条件pq 且 qpp 是 q 的充要条件pqp 是 q 的既不充分也不必要条件pq 且 qp2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示3全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对 M 中任意一个 x，有p(x)成立xM，p(x)x0M，綈 p(x0)特称命题存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立x0M，p(x0)xM，綈 p(x)玩转典例题型一题型一 充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断例 1例 1(1)(2019天津高考)设 xR R，则“x25x0”是“|x1|0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件（3）（2020 安徽省合肥市第一中学）不等式22530 xx成立的一个充分不必要条件是（）A0 x B0 x 或2xC2x D12x 或3x【玩转跟踪】1.设集合1,Aa，1,2,3B，则“3a”是“BA”的（)A充分条件B必要条件C没有充分、必要性D既是充分又是必要条件2（2020 届山东省烟台市高考诊断性测试）设xR，则“|2|1x”是“2230 xx”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（2021吕梁一模）已知 a，bR，下列选项中，使 ab0 成立的一个充分不必要条件是（）Aa0 或 b0Ba10 且 b2Ca，b 同号且不为 0Da+b0 或 ab0题型二题型二 根据充要条件求解参数的取值范围根据充要条件求解参数的取值范围例例 2（2020 秋南阳期末）已知 p：a2xa+2，q：1x7若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 【玩转跟踪】1已知1:12px，:|2qxa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为（）A(,4B1,4C(1,4D(1,4)2（河南省高中毕业班阶段性测试（四）理科数学试）关于x的不等式30 xax成立的一个充分不必要条件是11x，则a的取值范围是（）A1a B0aC2a D1a 题型三题型三 充分必要条件的证明充分必要条件的证明例例 3（2020 秋鹤城区校级期中）已知 ab0，求证：a+b1 的充要条件是 a3+b3+aba2b20【玩转跟踪】1（2020 春孝感期中）证明：a2+b2+c2ab+bc+ca 的充要条件是ABC 为等边三角形这里 a，b，c 是ABC 的三条边题型四含有一个量词的命题命题点 1全称命题、特称命题的真假例 4(1)(2020沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()AnR，n2nBn0R，mR，mn0mCnR，m0R，m2 0nDnR，n2n(2)给出下列四个命题：有理数是实数；有些平行四边形不是菱形；xR，x22x0；xR，2x+1 为奇数；以上命题的否定为真命题的序号依次是（）A B C D命题点 2含一个量词的命题的否定例 5(1)命题 p：，的否定是 A：，B：，C：，D：，(2)命题，的否定是（）ABCD玩转跟踪1.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论 m 取何实数，方程 x2xm0 必有实数根；(2)所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被 8 整除的数能被 4 整除2.写出命题“，使得”的否定_题型五全称和特称命题中参数的取值范围【例【例 6】（】（1）（）（2020湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“1,2x，20 xa”为真命题的一个充分不0:pxR2000 xxp2000,0 xR xx2,0 xR xx 2,0 xR xx 2000,0 xR xxxA 2230 xx-=必要条件是（）A4a B5a C3a D5a（2）（2020浙江高一课时练习）若命题“xR ，使21()10 xax”是假命题，则实数a的取值范围为()A13aB13aC33aD11a玩转跟踪1（2020浙江高一课时练习）若命题“2,10 xR xax ”是真命题，则实数 a 的取值范围是（）.A2|2aaB22|a aa 或C2|2aa D22|a aa 或2（2020 春承德期末）已知 p：关于 x 的方程 x2+mx+10 有两个不等的负实数根，若p 是真命题，则实数 m 的取值范围是 玩转练习1下列哪一项是“1a”的必要条件（)A2a B2a C0a D0a 2已知:p A，:q AB，则p是q的（)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（2020 届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题）已知1223p xqx：，：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.（上海市格致中学 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题）若“3x”是“xa“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_.5已知集合 Ax|a+1x2a+3，Bx|x23x40若 xA 是 xB 的充分条件，则实数 a 的取值范围是_6（2019 版导学教程一轮复习数学（人教版）已知命题 p：axa1，命题 q：x24x0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_7（山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试）已知22|320,0Ax xaxaa,2|60Bx xx,若xA是xB的必要不充分条件,求实数a的取值范围 .8（2020浙江高一课时练习）下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（）A斜三角形的内角是锐角或钝角 B至少有一个实数x，使30 x C任一无理数的平方必是无理数 D存在一个负数x，使12x9（2020全国高一课时练习）判断下列命题的真假：（1）2,320 xR xx（2）2,10 xx R（3）,|0 xQxx （4）22,421 3xRxxx （5）(7,3),7,3)xx （6）2(,2,1xx 10（2020河南开封.高三二模（文）已知:0px，10 xx，则p为（）A00 x，0010 xxB00 x，0010 xxC0 x，10 xxD00 x，10 xx11（2020浙江高一单元测试）命题“0 xR，0012xx”的否定形式是（）.AxR，12xxBxR，12xxCxR，12xxDxR，12xx12（2020定远县民族学校高二月考（理）命题“xR，使得20 xmxm”为真命题，则实数m的取值范围为（）A0,4B(0,4)C 4,0D(4,0)13（2020江西省都昌县第一中学高二期中（文）已知命题p：xR，2110mx，命题q：xR，210 xmx 恒成立.若pq为假命题，则实数m的取值范围为（）A2m B2m 或1m C2m 或2m D12m 14命题2:03xPx；命题2:2210q xaxab（1）若4b 时，22210 xaxab 在xR上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分必要条件，求出实数 a，b 的值15已知非空集合2230Ax xaa xa，集合211xBxx，命题:p xA命题:q xB（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）当实数a为何值时，p是q的充要条件第 2 讲 充分必要条件和命题玩前必备1充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件pq 且 qpp 是 q 的必要不充分条件pq 且 qpp 是 q 的充要条件pqp 是 q 的既不充分也不必要条件pq 且 qp2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示3全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对 M 中任意一个 x，有p(x)成立xM，p(x)x0M，綈 p(x0)特称命题存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立x0M，p(x0)xM，綈 p(x)玩转典例题型一题型一 充分条件与必要条件的判断充分条件与必要条件的判断例 1例 1(1)(2019天津高考)设 xR R，则“x25x0”是“|x1|0，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件（3）（2020 安徽省合肥市第一中学）不等式22530 xx成立的一个充分不必要条件是（）A0 x B0 x 或2xC2x D12x 或3x 解析(1)由“x25x0”可得“0 x5”；由“|x1|1”可得“0 x2”由“0 x5”不能推出“0 x2”，但由“0 x2”可以推出“0 x5”，所以“x25x0”是“|x1|0，b0，若 ab4，2ab ab4.ab4，此时充分性成立当 a0，b0，ab4 时，令 a4，b1，则 ab54，这与 ab4 矛盾，因此必要性不成立综上所述，当 a0，b0 时，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件故选 A.（3）解不等式22530 xx，得3x 或12x ，结合四个选项，D 是其充要条件，AB 是其既不充分也不必要条件，C 选项2x 是其充分不必要条件.故选：C.答案(1)B(2)A(3)C【玩转跟踪】1.设集合1,Aa，1,2,3B，则“3a”是“BA”的（)A充分条件B必要条件C没有充分、必要性D既是充分又是必要条件【答案】A【解析】当3a，集合1,3A，1,2,3B，所以BA正确，即“3a”是“BA”的充分条件，所以正确选项为 A.2（2020 届山东省烟台市高考诊断性测试）设xR，则“|2|1x”是“2230 xx”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】|2|1x，解得13x，2230 xx，解得3x 或1x，“13x”成立，则“3x 或1x”成立，而“3x 或1x”成立，“13x”不一定成立，所以“|2|1x”是“2230 xx”的充分不必要条件.故选：A3（2021吕梁一模）已知 a，bR，下列选项中，使 ab0 成立的一个充分不必要条件是（）Aa0 或 b0Ba10 且 b2Ca，b 同号且不为 0Da+b0 或 ab0【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：对于 A：a0 或 b0 不能够推出 ab0，故 a0 或 b0 不是 ab0 的充分条件，故 A 错误，对于 B：a10 且 b2，能够推出 ab0，ab0 不能够推出 a10 且 b2，故 a10 且 b2，是 ab0的充分不必要条件，故 B 正确，对于 C：a，b 同号且不为 0ab0，故 a，b 同号且不为 0 是 ab0 的充要条件，故 C 错误，对于 D：a+b0 或 ab0 与 ab0 互相推不出，故 a+b0 或 ab0 与 ab0 是既不充分也不必要条件，故 D 错误故选：B题型二题型二 根据充要条件求解参数的取值范围根据充要条件求解参数的取值范围例例 2（2020 秋南阳期末）已知 p：a2xa+2，q：1x7若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是 【分析】根据 p 是 q 的充分不必要条件，所以（a2，a+2）（1，7），然后建立关系式，解之即可【解答】解：p：a2xa+2，q：1x7，因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以（a2，a+2）（1，7），则+2 7 2 1即 1a5故答案为：1，5【玩转跟踪】1已知1:12px，:|2qxa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围为（）A(,4B1,4C(1,4D(1,4)【答案】C【解析】由112x，即302xx，解得23x，由|2xa得22axa，若p是q的充分不必要条件，则2223aa，解得14a，实数a的取值范围为1,4，故选：C.2（河南省高中毕业班阶段性测试（四）理科数学试）关于x的不等式30 xax成立的一个充分不必要条件是11x，则a的取值范围是（）A1a B0aC2a D1a【答案】D【解析】由题可知1,1是不等式30 xax的解集的一个真子集.当3a 时，不等式30 xax的解集为3x x，此时1,13x x；当3a 时，不等式30 xax的解集为,3,a，1,1,3，合乎题意；当3a 时，不等式30 xax的解集为,3,a，由题意可得1,1,a，此时13a.综上所述，1a.故选：D.题型三题型三 充分必要条件的证明充分必要条件的证明例例 3（2020 秋鹤城区校级期中）已知 ab0，求证：a+b1 的充要条件是 a3+b3+aba2b20【分析】我们先假设，a+b1 再证明 a3+b3+aba2b20 成立，即命题的必要性，再假设 a3+b3+aba2b20 再证明 a+b1 成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到 a+b1 的充要条件是 a3+b3+aba2b20【解答】证明：先证必要性：a+b1，b1aa3+b3+aba2b2a3+（1a）3+a（1a）a2（1a）2a3+13a+3a2a3+aa2a21+2aa20再证充分性：a3+b3+aba2b20（a+b）（a2ab+b2）（a2ab+b2）0即：（a2ab+b2）（a+b1）0ab0，a2ab+b2=(12)2+3420，a+b10，即 a+b1综上所述：a+b1 的充要条件是 a3+b3+aba2b20【玩转跟踪】1（2020 春孝感期中）证明：a2+b2+c2ab+bc+ca 的充要条件是ABC 为等边三角形这里 a，b，c 是ABC 的三条边【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性成立即可【解答】证明：充分性：（2 分）如果ABC 为等边三角形，那么 abc，所以，（ab）2+（bc）2+（ca）20，所以，a2+b2+c2abbcca0，所以 a2+b2+c2ab+bc+ca（5 分）必要性：（7 分）如果 a2+b2+c2ab+bc+ca，那么 a2+b2+c2abbcca0，所以（ab）2+（bc）2+（ca）20，所以 ab0，bc0，ca0即 abc（10 分）题型四含有一个量词的命题命题点 1全称命题、特称命题的真假例 4(1)(2020沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()AnR，n2nBn0R，mR，mn0mCnR，m0R，m2 0nDnR，n2n答案B解析对于选项 A，令 n12，即可验证其不正确；对于选项 C，D，可令 n1 加以验证，均不正确，故选 B.(2)给出下列四个命题：有理数是实数；有些平行四边形不是菱形；xR，x22x0；xR，2x+1 为奇数；以上命题的否定为真命题的序号依次是（）A B C D【答案】D【解析】有理数是实数命题正确，则命题的否定为假命题；有些平行四边形不是菱形，为真命题，则命题的否定是假命题；xR，x22x0 为假命题，当 x0 时，不 等式不成立，则命题的否定是真命题；xR，2x+1 为奇数为真命题，则命题的否定是假命题；故满足条件的序号是，故选：D命题点 2含一个量词的命题的否定例 5(1)命题 p：，的否定是 A：，B：，C：，D：，答案 D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，命题 p：，的否定是“，。故选：D(2)命题，的否定是（）ABCD【答案】B【解析】因命题为“，”，它是存在性命题，故其否定为：，选 B.玩转跟踪1.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论 m 取何实数，方程 x2xm0 必有实数根；(2)所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被 8 整除的数能被 4 整除【答案】见解析【解析】(1)这一命题可以表述为“对所有的实数 m，方程 x2xm0 都有实数根”，其否定为“存在实数m，使得 x2xm0 没有实数根”，注意到当 14m0，即 m 时，一元二次方程没有实根，因此其否定是真命题(2)命题的否定是“存在末位数字是 0 或 5 的整数不能被 5 整除”，是假命题(3)命题的否定是“任一个梯形的对角线都不互相平分”，是真命题(4)命题的否定是“存在一个数能被 8 整除，但不能被 4 整除”，是假命题2.写出命题“，使得”的否定_【答案】，都有【解析】根据含特称量词命题的否定可得该命题的否定为：，都有本题正确结果：，都有题型五全称和特称命题中参数的取值范围0:pxR2000 xxp2000,0 xR xx2,0 xR xx 2,0 xR xx 2000,0 xR xxp0 xR2000 xx2,0 xR xx xA 2230 xx-=xA 2230 xxxA 2230 xxxA 2230 xx【例【例 6】（】（1）（）（2020湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“1,2x，20 xa”为真命题的一个充分不必要条件是（）A4a B5a C3a D5a（2）（2020浙江高一课时练习）若命题“xR ，使21()10 xax”是假命题，则实数a的取值范围为()A13aB13aC33aD11a【答案】（1）B（2）B【解析】（1）1,2x，214x，要使20 xa恒成立，则2ax恒成立，即4a，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有 B 符合.故选：B.（2）由题得，原命题的否命题是“xR，使21()10 xax”，即2(1)40a，解得13a选 B.玩转跟踪1（2020浙江高一课时练习）若命题“2,10 xR xax ”是真命题，则实数 a 的取值范围是（）.A2|2aaB22|a aa 或C2|2aa D22|a aa 或【答案】B【解析】命题“2,10 xR xax ”是真命题，则需满足240a，解得2a 或2a .故选：B.2（2020 春承德期末）已知 p：关于 x 的方程 x2+mx+10 有两个不等的负实数根，若p 是真命题，则实数 m 的取值范围是 【分析】求出命题 p 是真命题时 m 的取值范围，再得出p 是真命题时 m 的取值范围即可【解答】解：命题 p：关于 x 的方程 x2+mx+10 有两个不等的负实数根，设 x1，x2是方程的两个负实数根，则 01+2=012=10，即2 400；解得 m2；当p 是真命题时，m 的取值范围是（，2故答案为：（，2玩转练习1下列哪一项是“1a”的必要条件（)A2a B2a C0a D0a【答案】D【解析】由题意，“选项”是“1a”的必要条件，表示“1a”推出“选项”，所以正确选项为 D.2已知:p A，:q AB，则p是q的（)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由已知AAB，反之不成立，得p是q的充分不必要条件，所以正确选项为 A.3（2020 届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题）已知1223p xqx：，：，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意:1212pxx 或121xx 或3x ，由“1x 或3x ”不能推出“23x”；由“23x”可推出“1x 或3x ”；故p是q的必要不充分条件.故选：B.4.（上海市格致中学 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题）若“3x”是“xa“的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_.【答案】3a【解析】因为“3x”是“xa”的充分不必要条件，3a 故答案为：3a 5已知集合 Ax|a+1x2a+3，Bx|x23x40若 xA 是 xB 的充分条件，则实数 a 的取值范围是_【答案】1,2【解析】Bx|x23x40 x|1x4，若 xA 是 xB 的充分条件，AB，若 A，则 2a+3a+1，即 a2 时，满足题意；若 A，则满足223411aaa ，即2122aaa ，此时2a12综上 a12故答案为1,26（2019 版导学教程一轮复习数学（人教版）已知命题 p：axa1，命题 q：x24x0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_【答案】0,3【解析】令 Mx|axa1，Nx|x24x0 x|0 x4p 是 q 的充分不必要条件，MN，014aa，解得 0a3.故填0,37（山东省青岛市第二中学2019-2020学年高一上学期期末数学试）已知22|320,0Ax xaxaa,2|60Bx xx,若xA是xB的必要不充分条件,求实数a的取值范围 .【答案】302a【解析】解出|23Bx xx 或，|20Ax xaxaa或，因为xA是xB的必要不充分条件，所以 B 是 A 的真子集.所以2323020aaaa 故答案为：302a8（2020浙江高一课时练习）下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（）A斜三角形的内角是锐角或钝角 B至少有一个实数x，使30 x C任一无理数的平方必是无理数 D存在一个负数x，使12x【答案】B【解析】选项 A，C 中的命题是全称命题,选项 D 中的命题是特称命题，但是假命题只有 B 既是特称命题又是真命题,选 B.9（2020全国高一课时练习）判断下列命题的真假：（1）2,320 xR xx（2）2,10 xx R（3）,|0 xQxx （4）22,421 3xRxxx （5）(7,3),7,3)xx （6）2(,2,1xx 【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题；（5）真命题；（6）真命题【解析】(1)2320 xx有1x 或2x，故(1)为假命题.(2)22101xx 无实数解，故(2)为假命题.(3)当1x 时有|20 xx 成立，故(3)为真命题.(4)当1x 时22421 3xxx，故(4)为假命题.(5)因为(7,3)7,3)，故(5)为真命题.(6)当1x 时,满足2(,2,1xx，故(6)为真命题.10（2020河南开封.高三二模（文）已知:0px，10 xx，则p为（）A00 x，0010 xxB00 x，0010 xxC0 x，10 xxD00 x，10 xx【答案】A【解析】因为1:0,0pxxx，是全称命题，故p为：00 x，0010 xx；故选：A11（2020浙江高一单元测试）命题“0 xR，0012xx”的否定形式是（）.AxR，12xxBxR，12xxCxR，12xxDxR，12xx【答案】D【解析】命题的否定为:改为,改为,故否定形式为xR，12xx,故选 D.12（2020定远县民族学校高二月考（理）命题“xR，使得20 xmxm”为真命题，则实数m的取值范围为（）A0,4B(0,4)C 4,0D(4,0)【答案】B【解析】由题意得，要使“xR，使得20 xmxm”为真命题，则对应的方程20 xmxm满足240mm，解得04m，故选 B.13（2020江西省都昌县第一中学高二期中（文）已知命题p：xR，2110mx，命题q：xR，210 xmx 恒成立.若pq为假命题，则实数m的取值范围为（）A2m B2m 或1m C2m 或2m D12m【答案】B【解析】当命题p为真时，10m，解得1m ；当命题q为真时，24 1 10m ，解得22m，当命题p与命题q均为真时，则有12122mmm .命题pq为假命题，则命题q与命题p至少有一个为假命题.所以此时2m 或1m .故选：B.14命题2:03xPx；命题2:2210q xaxab（1）若4b 时，22210 xaxab 在xR上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）若 p 是 q 的充分必要条件，求出实数 a，b 的值【答案】（1）(1,3)；（2）52a ，12b。【解析】（1）若22230 xaxa在xR上恒成立，则244 230aa，所以有13a，所以实数a的范围为1,3；（2）2023033xxxxx或2x，根据条件22210 xaxab 的解集是,23,，即方程22210 xaxab 的二根为 2 和 3，根据韦达定理有525,221612aaabb ，所以52a ，12b。15已知非空集合2230Ax xaa xa，集合211xBxx，命题:p xA命题:q xB（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）当实数a为何值时，p是q的充要条件【答案】（1）1001（，）（，）；（2）1a .【解析】（1）解不等式211xx，即101xx，解得11x，则11Bxx.由于p是q的充分不必要条件，则AB，20Ax xaxa，当2aa时，即当0a 或1a 时，A，不合题意；当2aa时，即当0a或1a 时，2Ax axa，AB，则211aa，解得10a，又当1a ，11AxxB，不合乎题意.所以10a；当2aa时，即当01a时，AB，则211aa，此时01a.综上所述，实数a的取值范围是1001（，）（，）；（2）由于p是q的充要条件，则1,1AB，所以，1和1是方程2230 xaa xa的两根，由韦达定理得2301aaa，解得1a .