1、函数的基本性质函数的基本性质函数的基本性质函数的基本性质函数的单调性与最值函数的单调性与最值函数的函数的奇偶性奇偶性单调性的定义单调性的定义判断函数判断函数单调性单调性求函数单调区间和最值求函数单调区间和最值复合函数的复合函数的单调性单调性判断判断奇偶奇偶性的定义性的定义奇偶奇偶性的性的图像与性质图像与性质函数奇偶性函数奇偶性的的判断判断1、函数的单调性的定义、函数的单调性的定义单调性是局部性质21xx 任意 21xfxf增函数21xx 任意 21xfxf减函数2.函数的单调区间函数的单调区间，和，531 531,，和注意：两个增（减）区间之间用“和”或“，”连接二、函数的最大（小）值二、函数
2、的最大（小）值题型题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解函数单调性的判断及单调区间的求解121 xx证：设 1111222121xxxfxf1122212122xxxx121 xx，02122xx，0121x0121x，01122212122xxxx 21xfxf即 上是单调减函数在区间,1xf021 xx证：设 221121xkxxkxxfxf2121xkxkxx211221xxxxkxx21211xxkxx212121xxkxxxx021 xx002121xxxx，时当kxx120021kxx ，21xfxf 上为减函数，在即kxf0时当kxx21021kxx ，21xfxf 上为增函数
3、，在即kxf1202xxyx时，当1202xxyx时，当 1,13,和函数的单调减区间为，和函数的单调增区间为11,3,10,1和函数的单调减区间为 1,01,和函数的单调增区间为0322 xx,31,函数的定义域为 322xxttyxf合函数可以看作两个函数的复解：31xx或上为增函数在0tty上为增函数，上为减函数，在在31,322xxt 上为增函数，上为减函数，在在31,xf 112xxttyxf合函数可以看作两个函数的复解：012 xxRxR函数的定义域为上为减函数在01tty上为增函数上为减函数，在在,2121,12xxt 上为减函数上为增函数，在在,2121,xf1xt解：令012
4、ttx tttf122222tt8154122t 上单调递增在,0ttf 20mintft时，212的最小值为函数xxxf 1112xxxf解：112x4,2x5,31x31,5111x51,3111x59,35112x 352,59442ff最小值为上最大值为，在区间上单调递减，在区间4211x上单调递增，在区间4211x上单调递增，在区间42112xax解：函数的对称轴为时即当2,2aa时，有最小值为2xaf462时即当23,32aa时，有最小值为ax22aaf时即当3,3aa时，有最小值为3x af61131x解：函数的对称轴为时，当1t时，有最小值为tx 222tttftg时即当10,
5、11ttt时，有最小值为1x 11 ftg时即当0,11tt时，有最小值为1tx 112ttftg 上单调递增在1,ttxxf 0,110,11,2222tttttttg综上所述：轴定区间动问题轴定区间动问题题型题型3 函数单调性的应用函数单调性的应用 220 xxfa时，当 上单调递减在4,xf时，当0a 上单调递减是二次函数，在区间4,xf410aaa510a51,0a综上所述：B 30,21ff21mD 上的增区间是定义在区间1,1xf可得由xfxf1211112112xxxx231:x解得231，易错点易错点1.忽略定义域求错单调区间忽略定义域求错单调区间 xxxf121112x1x是
6、单调减函数xy12 内是单调减函数在定义域1112xxxxf,11,和易错点易错点2.忽略参数的分类讨论忽略参数的分类讨论时，即当21,024aa 上是单调增函数在1,2xf 9141maxafxf2 a时，即当21,024aa 上是单调减函数在1,2xf 9782maxafxf41 a412或的值为综上，a412或专题二函数的奇偶性专题二函数的奇偶性题型题型1 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断是关于原点对称的函数的定义域为,Rxxf2x 2 xfxf 是偶函数xf不关于原点对称函数的定义域为,1xx 是非奇非偶函数xf是关于原点对称的函数的定义域为,0 xx221xxxf221xx xfxf
7、 是偶函数xf是关于原点对称的或函数的定义域为,00 xxxxxxxxf220,x0,x0,0,22xxxxxx 0 xfxf 是奇函数xf是关于原点对称的函数的定义域为,R22xxxf22xx 0 xfxf 是奇函数xf是关于原点对称的函数的定义域为,R111122xxxxxf111122xxxx 0 xfxf 是奇函数xf010122xx12 x是关于原点对称的函数的定义域为,1xx 012xfx代入可得将 xfxfxf 是既奇又偶函数xf是关于原点对称的或函数的定义域为,00 xxx12112122xxxf0,x0,x0,1210,12122xxxx 0 xfxf 是奇函数xf题型题型2
8、 奇偶函数图像的应用奇偶函数图像的应用-1-3-3 3,11,3BC题型题型3 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 xaxxxf1xaxxxf1xaxx1 是奇函数xf xfxfxaxxxaxx111a解得：xaxaxxaxax1122aa11Aaxxxf322axx322 是偶函数xf xfxfaa0aDaxxaxx323222即 108222235baf8122235ba 8222235baf8122235ba81826A 2xfxg3222fg12 f 是奇函数xf 122ff 12 fA0,0 xx则令 1202xxxfx时，当122xxxf0122xxx 上的奇函数是Rxf 122xx
9、xfxf 0122xxxxf 000fx时，奇函数满足当 0,120,00,1222xxxxxxxxf 0,120,00,1222xxxxxxxxf xxxfx20时，当0,0 xx则令xxxf202xxx 上的偶函数是Rxf 02xxxxfxfxx 2题型题型4 函数奇偶性的综合应用函数奇偶性的综合应用 数上的奇函数，又是减函是定义域1,1xf0112afafafaf1121af1111111122aaaa1,0a解得：1,0am1m222121mmmm211m解得：21,1为偶函数2xf22xfxf 131ffx代入得将 上单调递增在2,xf 3101ffffAD易错点易错点1.含参数函数的奇偶性判断时忽略对参数的讨论含参数函数的奇偶性判断时忽略对参数的讨论是关于原点对称的函数的定义域为,0 xxxaxxf2，时，当20 xxfa 是偶函数函数xf 函数既不是奇函数也不是偶时，当xfa0易错点易错点2.未综合考虑奇偶函数的对称性而致错未综合考虑奇偶函数的对称性而致错 可得由0 xxf 00 xxf 00 xxf或A
