1、4.2 指数函数指数函数郑州外国语学校郑州外国语学校 郭洪涛郭洪涛1.理解指数函数的概念和意义；2.能画出具体的指数函数的图像，并根据指数函数的图像探索和理解指数函数的性质；3.能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题；课时目标：课时目标：4.2.1 指数函数的概念指数函数的概念 我是电脑病毒，在传播时我可以由一个复制成二个，二个复制成四个，我复制x次后，得到的病毒个数y与x有怎样的函数关系？问题一:分裂次数病毒个数123842x?病毒个数y与分裂次数x的函数关系为：y=2x .引入：引入：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为：问题
2、二:y=0.85x探究：问题一中函数y=2x的解析式与问题二中函数y=0.85x的解析式有什么共同特征？以上两个函数解析式都可以表示为：指数为自变量y=ax底数a是一个大于0且不等于1的常数引入：引入：一般地，函数一般地，函数y=ax（a0，且，且a1）叫做指数）叫做指数函数，其中函数，其中x为自变量，定义域为为自变量，定义域为R.注意：（1）形如y=ax ；一、指数函数概念一、指数函数概念例1：下列函数中，哪些是指数函数？y=4x y=x4 y=-4x y=4x+1例2：已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为_2例3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f
3、(x)的解析式。y=2x（2）底数a0，且a1一、指数函数概念一、指数函数概念一、指数函数概念一、指数函数概念A）下列说法正确的是（：已知函数例,2)(5xxf)()()(.nfmfmnfA)()()(.nfmfmnfB)()()(.nfmfnmfC)()()(.nfmfnmfDD 为什么规定a0,且a1呢？则当x0时，xa=0；时，0 xa无意义.当x则对于x的某些数值，可使xa 无意义.如x)2(，这时对于，41x在实数范围内函数值不存在.若a=0，若a0且a1)(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式探究探究新知新知二、指数型函数模型二、指数型函数模型 形如_(kR，且k0
4、；a0且a1)的函数是指数型函数模型ykax4.2.2 指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质第一课时第一课时思考：怎样得到指数函数图像?在直角坐标系中画出下列函数的图象：(1)y=2x (2)y=(12)x(3)y=3x (4)y=(13)x 思考：指数函数图像的特点?通过图像，你能发现指数函数的哪些性质?探究探究新知新知 图 象 性 质定 义 域:值 域:恒 过 点：在 R 上单调递增在 R 上单调递减a10a1(0,+)(0,1)6 5 4 3 2 1-1-4-2 2 4 6 0 1yx1x 6 5 4 3 2 1-1-4-2 2 4 6 0 1y1奇偶性:非奇非偶一、指数函数的图像及
5、性质一、指数函数的图像及性质思考：思考：1y10 y1y10 y题型一：指数函数的图像题型一：指数函数的图像例1：如图所示是下列指数函数的图象：(1)yax；(2)ybx；(3)ycx；(4)ydx.则a，b，c，d与1的大小关系是()Aab1cdBba1dcC1abcd Dab1dcB总结：指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大题型一：指数函数的图像题型一：指数函数的图像1.3)(.2bAbxfx）不经过第四象限，则（三象限，的图像经过第一、二、若函数例01.bB10.bC1.bDB）的图像只可为（与指数函数在图中，二次函数例xbaybxaxxf
6、)()(.32C解解析析当当0k1时，时，方程方程有两解有两解当当k1，y1.8x在R上为增函数，又2.23，1.82.20.4，0.70.30.70.4.方法总结：利用单调性比大小方法总结：利用单调性比大小题型二：幂式比大小题型二：幂式比大小解析(3)法一：构造幂函数y=x3.2，在第一象限单调递增，0.50.6，0.53.23.8-4.1.方法总结：在第一象限底大值大方法总结：在第一象限底大值大题型二：幂式比大小题型二：幂式比大小解析(5)1.90.41.90=1,0.92.40.92.4方法总结：找中间值方法总结：找中间值题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题题型三：指数型函数定义域
7、、值域（最值）问题 115)2(3)1(xxyy.432)(,21,1|222的值域求函数：已知例AxxfmmyyAxx4,16043,8,2,231|2xyttyttyyA设解：题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题 解：解：若若a1，则则f(x)在在1,21,2上上递增，递增，若若0a1，若若0a0且且a1，函数，函数ya2x2ax1在在 1,11,1上上的的最大最大值是值是14，求，求a的值的值利用换元法，转化为一元二次函数的最值问题来求解则原函数化为则原函数化为y(t1)22 令令tax,当当0a1时，时，f(t)maxf(a)此时此时f(t)为增函数为增函数此时此时f(t)为增函数为增函数(a1)2214，(舍舍)解解析析(舍舍)注意点 换元之后要注意新元等价性函数yaf(x)定义域、值域的求法(1)定义域函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同(2)值域换元，令tf(x)；求tf(x)的定义域xD；求tf(x)的值域tM；利用yat的单调性求yat，tM的值域总结总结
