1、第一章 岩土弹塑性力学 参考书参考书材料受力三个阶段：材料受力三个阶段：弹性弹性 塑性塑性 破坏破坏 弹性力学弹性力学 塑性力学塑性力学 破坏力学破坏力学 断裂力学等断裂力学等1-1 1-1 概述概述 弹性阶段弹性阶段：内力与变形存在着完全对应的关系，外力：内力与变形存在着完全对应的关系，外力消除后变形就完全恢复。消除后变形就完全恢复。应力与应变之间的关系是一应力与应变之间的关系是一一对应的，知道了应力立即可求应变。这种应力和应一对应的，知道了应力立即可求应变。这种应力和应变之间能建上一一对应关系的称全量关系。变之间能建上一一对应关系的称全量关系。塑性阶段塑性阶段：研究材料在塑性阶段内的受力与
2、变形，这阶：研究材料在塑性阶段内的受力与变形，这阶段内的应力应变关系要受到加载状态、应力水平、应力段内的应力应变关系要受到加载状态、应力水平、应力历史与应力路径的影响。历史与应力路径的影响。差别：差别：在应力与应变之间的物理关系不同，即本构关系在应力与应变之间的物理关系不同，即本构关系不同。不同。本质差别：在于材料是否存在不可逆的塑性变形本质差别：在于材料是否存在不可逆的塑性变形弹性阶段：应力与应变之间的关系是一一对应的，这种应力和弹性阶段：应力与应变之间的关系是一一对应的，这种应力和应变之间能建上一一对应关系的称全量关系应变之间能建上一一对应关系的称全量关系塑性阶段：塑性阶段：由于塑性变形中
3、加卸载规律不一样，当由于塑性变形中加卸载规律不一样，当一定时，由一定时，由于加载路径不同，可以对应不同的于加载路径不同，可以对应不同的（图（图a)。给定。给定值时，也可以值时，也可以对应于不同的对应于不同的(图图b)。即进入塑性状态后如不给定加载路径是。即进入塑性状态后如不给定加载路径是无法建立应力无法建立应力应变之间的全量关系，通常在塑性理论中建立应应变之间的全量关系，通常在塑性理论中建立应力增量与应变增量的增量关系而只有一些简单加载情况力增量与应变增量的增量关系而只有一些简单加载情况(例如不例如不卸载卸载)才可能建下全量关系。才可能建下全量关系。1864年年Tresca公布了最大剪应力屈服
4、准则公布了最大剪应力屈服准则塑性力学作为一门独立学科开始塑性力学作为一门独立学科开始(1)金属材料简单拉压试验金属材料简单拉压试验A点：材料的比例极限点：材料的比例极限PB点：材料的弹性极限点：材料的弹性极限CD点：材料的强度极限点：材料的强度极限b金属材料的基本试验金属材料的基本试验C点卸载：沿点卸载：沿CFG从从G点重新开始拉伸，沿点重新开始拉伸，沿GFC，超过超过c点的应力以后才又发生新的点的应力以后才又发生新的塑性变形。表明经过前次塑件变形以后弹性极限提高了塑性变形。表明经过前次塑件变形以后弹性极限提高了为与初始屈服应力相区别，称为加载应力为与初始屈服应力相区别，称为加载应力这种现象称
5、为加工硬化或应变硬化这种现象称为加工硬化或应变硬化G对对J：低碳钢材料，在：低碳钢材料，在屈服阶段中，卸载后重新加载并没有上述强化现象，被称屈服阶段中，卸载后重新加载并没有上述强化现象，被称为理想为理想塑性或塑性流动阶段。塑性或塑性流动阶段。s+s(2)静水压力静水压力(各向均匀受压各向均匀受压)试验结果试验结果勃里奇曼勃里奇曼(Bridgman)通过试验曾对静水压力对变形过程影响作通过试验曾对静水压力对变形过程影响作较全面的研究。较全面的研究。试验表明，在压力不太大的情况，体积应变实际上与静水压试验表明，在压力不太大的情况，体积应变实际上与静水压力成线性关系；对于一般金属材料，可以认为体积变
6、化基本上力成线性关系；对于一般金属材料，可以认为体积变化基本上是弹性的，除去静水压力后体积变形可以完全恢复，没有残余是弹性的，除去静水压力后体积变形可以完全恢复，没有残余的体积变形。因此，在传统塑性理论中常假定不产生塑性体积的体积变形。因此，在传统塑性理论中常假定不产生塑性体积变形而且在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比往往变形而且在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比往往是可以忽略的是可以忽略的。Bridgman和其他研究人员的实验结果确认：在静水压力不大条和其他研究人员的实验结果确认：在静水压力不大条件下、静水压力对材料屈服极限的影响完全可以忽略。因此在件下、静水压力对材料屈服极限的
7、影响完全可以忽略。因此在传统塑性力学中，完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。传统塑性力学中，完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。岩石类介质的压缩试验结果岩石类介质的压缩试验结果OA段段:压密阶段，曲线缓慢增大，反映岩石试件压密阶段，曲线缓慢增大，反映岩石试件内裂缝逐渐压密，体积缩小。内裂缝逐渐压密，体积缩小。AB段段:弹性阶段，曲线斜率为常数或接近常数，弹性阶段，曲线斜率为常数或接近常数，此时体积仍有所压缩，此时体积仍有所压缩，B点称为屈服强度点称为屈服强度BC段段:破坏的先行阶段，随着荷载继续增大，变破坏的先行阶段，随着荷载继续增大，变形和荷载呈非线性关系，这种非弹性变形是由于形和荷载呈非线
8、性关系，这种非弹性变形是由于岩石内微裂隙的发生与发展，以及结晶颗粒界曲岩石内微裂隙的发生与发展，以及结晶颗粒界曲的滑动等塑性受形两者共同产：从的滑动等塑性受形两者共同产：从B点开始，岩石点开始，岩石就出现剪胀现象就出现剪胀现象(即在剪应力作用下出现体积膨胀即在剪应力作用下出现体积膨胀)的趋势的趋势CD段段:曲线下降，岩石开始解体，岩石强度从峰曲线下降，岩石开始解体，岩石强度从峰值强度下降至残余强度，这种情况叫做应变软化值强度下降至残余强度，这种情况叫做应变软化这是岩土类材料区别于金属材料的一个特点。在这是岩土类材料区别于金属材料的一个特点。在软化阶段内，岩土材料成为不稳定材料，传统塑软化阶段内
9、，岩土材料成为不稳定材料，传统塑性力学不适应性力学不适应岩石类介质的压缩试验结果岩石类介质的压缩试验结果围压对三轴应力应变曲线和岩体塑围压对三轴应力应变曲线和岩体塑性性质有明显影响。当围压低时性性质有明显影响。当围压低时屈服强度低，软化现象明显。随着屈服强度低，软化现象明显。随着围压增大，岩石的峰值强度和屈服围压增大，岩石的峰值强度和屈服强度都增高，塑性性质明显增加。强度都增高，塑性性质明显增加。假定试样土粒本身体积不假定试样土粒本身体积不变，土的压缩仅由于孔隙变，土的压缩仅由于孔隙体积的减小，因此土的压体积的减小，因此土的压缩变形常用孔隙比缩变形常用孔隙比e的变化的变化来表示。来表示。压力压
10、力p与相应的稳定孔隙比与相应的稳定孔隙比的关系曲线称为压缩曲线的关系曲线称为压缩曲线土与岩石土与岩石样，其体应变不是样，其体应变不是纯弹性的，与金属材料不同纯弹性的，与金属材料不同土的压缩试验结果土的压缩试验结果在三轴情况下，随土性和应力路径不同，应力在三轴情况下，随土性和应力路径不同，应力应变曲线有两应变曲线有两种形式：一是硬化型，一般为双曲线；另一为软化型，种形式：一是硬化型，一般为双曲线；另一为软化型，般为般为驼峰曲线。驼峰曲线。1在一定范围内，岩土抗剪强度和刚度随压应力的增大而增在一定范围内，岩土抗剪强度和刚度随压应力的增大而增大，这种特性可称为岩土的压硬性。大，这种特性可称为岩土的压
11、硬性。岩土的抗剪强度不仅由粘结力产生，而且由内摩擦角产生。这岩土的抗剪强度不仅由粘结力产生，而且由内摩擦角产生。这是因为岩土由颗粒材料堆积或胶结而成，属于摩擦型材料，因是因为岩土由颗粒材料堆积或胶结而成，属于摩擦型材料，因而它的抗剪强度与内摩擦角及压应力有关，而金属材料不具这而它的抗剪强度与内摩擦角及压应力有关，而金属材料不具这种特性，抗剪强度与压应力无关。种特性，抗剪强度与压应力无关。2岩土为多相材料，岩土颗粒中含有孔隙，因而在各向等岩土为多相材料，岩土颗粒中含有孔隙，因而在各向等压作用下，岩土颗粒中的水、气排出，就能产生塑性体变，出压作用下，岩土颗粒中的水、气排出，就能产生塑性体变，出现屈
12、服，而金属材料在等压作用下是不会产生体变的。这种持现屈服，而金属材料在等压作用下是不会产生体变的。这种持性可称为岩土的等压屈服特性。性可称为岩土的等压屈服特性。岩土类材料的基本力学特点岩土类材料的基本力学特点3 与金属材料不同岩土的体应变还与剪应力有关，即剪应力与金属材料不同岩土的体应变还与剪应力有关，即剪应力作用下，岩土材料会产生塑性体应变作用下，岩土材料会产生塑性体应变(膨胀或收缩膨胀或收缩)，即岩土的，即岩土的剪胀性剪胀性(包含剪缩性包含剪缩性)。反之，岩土的剪应变也与平均应力有关。反之，岩土的剪应变也与平均应力有关，在平均压应力作用下引起负剪切变形，导致刚度增大，这也，在平均压应力作用
13、下引起负剪切变形，导致刚度增大，这也是压硬性的一种表现。是压硬性的一种表现。4土体塑性变形依赖于应力路径。即土的本构模型，土体塑性变形依赖于应力路径。即土的本构模型，计算参数计算参数的选用都与应力路径相关。应力路径的突然转折会引起塑性应的选用都与应力路径相关。应力路径的突然转折会引起塑性应变增量方向的改变。即：塑性应变增量的方向与应力增量的方变增量方向的改变。即：塑性应变增量的方向与应力增量的方向有关，而不像传统塑性仪势理论中规定的塑性应变增量方向向有关，而不像传统塑性仪势理论中规定的塑性应变增量方向只与应力状态有关，而与应力增量无关。且，当主应力值不变只与应力状态有关，而与应力增量无关。且，
14、当主应力值不变，主应力轴方向发生改变时土体也会产生塑性变形。，主应力轴方向发生改变时土体也会产生塑性变形。经典塑性理论对材料性质的假设经典塑性理论对材料性质的假设(1)静水压力只产生弹性体积变化，不产生塑性体应变；因静水压力只产生弹性体积变化，不产生塑性体应变；因此，材料屈服与静水压力无关。此，材料屈服与静水压力无关。(2)材料属于理想塑性材料或应变硬化塑性材料材料属于理想塑性材料或应变硬化塑性材料(即稳定性材料即稳定性材料)，故不可能发生软化现象故不可能发生软化现象(不稳定性材料不稳定性材料)（3）抗拉屈服极限与抗压屈服极限相同）抗拉屈服极限与抗压屈服极限相同(4)材料具有材料具有Bausc
15、hinger效应效应(5)塑性应变增量方向服从正交流动塑性应变增量方向服从正交流动法则，即塑性应变增量方向沿着屈服法则，即塑性应变增量方向沿着屈服面的梯度或外法线方向面的梯度或外法线方向岩土塑性力学与经典塑性力学的不同点岩土塑性力学与经典塑性力学的不同点(1)岩土材料的压硬性决定了岩土的剪切屈服与破坏必须考虑岩土材料的压硬性决定了岩土的剪切屈服与破坏必须考虑平均应力与岩土材料的内摩擦。采用不同于金属材料的屈服平均应力与岩土材料的内摩擦。采用不同于金属材料的屈服准则、破坏准则。准则、破坏准则。(2)传统塑性力学只考虑剪切屈服，而岩土塑性力学不仅考虑剪传统塑性力学只考虑剪切屈服，而岩土塑性力学不仅
16、考虑剪切屈服，还要考虑体积屈服。表现在屈服面上，传统塑性力学切屈服，还要考虑体积屈服。表现在屈服面上，传统塑性力学是开口的单一的剪切屈服面、而岩土塑性力学需考虑剪切屈服是开口的单一的剪切屈服面、而岩土塑性力学需考虑剪切屈服面与体积屈服面，以及在等压情况下产生屈服。面与体积屈服面，以及在等压情况下产生屈服。(3)根据岩土的剪胀性，不仅静水压力可能引起塑性体积变化，根据岩土的剪胀性，不仅静水压力可能引起塑性体积变化，而且偏应力也可能引起体积变化；反之，平均应力也可能引起而且偏应力也可能引起体积变化；反之，平均应力也可能引起塑性剪切变形。即岩上的球应力与偏应力之间存在着交叉影响塑性剪切变形。即岩上的
17、球应力与偏应力之间存在着交叉影响(4)传统塑性力学的基础是传统的塑性流动法则，它只具有一个传统塑性力学的基础是传统的塑性流动法则，它只具有一个塑性势面，服从塑性应变增量方向与应力的惟一性假设。岩土塑性势面，服从塑性应变增量方向与应力的惟一性假设。岩土塑性力学基于广义塑性流动法则，它以应力分量方向为塑性势塑性力学基于广义塑性流动法则，它以应力分量方向为塑性势，在不考虑应力主轴旋转时有三个塑性势面，不服从塑性应变，在不考虑应力主轴旋转时有三个塑性势面，不服从塑性应变增量方向与应力的惟一性假设。增量方向与应力的惟一性假设。(5)传统塑性力学中，塑性势函数与屈服函数相同，称为关联流传统塑性力学中，塑性
18、势函数与屈服函数相同，称为关联流动法则，这时塑性应变增量方向与屈服面正交。岩土塑性力学动法则，这时塑性应变增量方向与屈服面正交。岩土塑性力学中，塑性势函数与屈服函数不同，属于非关联流动法则，这时中，塑性势函数与屈服函数不同，属于非关联流动法则，这时塑性应变增量方向与屈服面不正交，但仍保持着与塑性势面正塑性应变增量方向与屈服面不正交，但仍保持着与塑性势面正交。交。（6)传统塑性力学中，势函数确定了塑性应变增量总量的方向传统塑性力学中，势函数确定了塑性应变增量总量的方向，屈服函数确定了总量的大小；岩土塑性力学中势函数确定，屈服函数确定了总量的大小；岩土塑性力学中势函数确定了塑性应变增量了塑性应变增
19、量3个分量的方向，相应的三个屈服函数确定了个分量的方向，相应的三个屈服函数确定了分量的大小，因而岩土塑性力学采用了分量理论。分量的大小，因而岩土塑性力学采用了分量理论。(7)岩土塑性力学中应力路径的影响较传统塑性力学中更为复岩土塑性力学中应力路径的影响较传统塑性力学中更为复杂，塑性变形应力路径的相关性也更为明显。在传统塑性力杂，塑性变形应力路径的相关性也更为明显。在传统塑性力学中，假设塑性应变增量的主轴与应力主铀一致；而在岩土学中，假设塑性应变增量的主轴与应力主铀一致；而在岩土塑性力学中一般应当考虑两者不共主轴产生的塑性变形即塑性力学中一般应当考虑两者不共主轴产生的塑性变形即应考虑主应力轴旋转
20、产生的塑性交形。应考虑主应力轴旋转产生的塑性交形。(8)传统塑性力学中，只考虑稳定材料，无应变软化现象；岩土塑传统塑性力学中，只考虑稳定材料，无应变软化现象；岩土塑性力学可以是稳定材料也可以是不稳定材料，它不受稳定材料性力学可以是稳定材料也可以是不稳定材料，它不受稳定材料的限制亦即允许出现应变软化。的限制亦即允许出现应变软化。(9)传统塑性理论中，材料的弹性系数与塑性变形无关，称为弹塑传统塑性理论中，材料的弹性系数与塑性变形无关，称为弹塑性不耦合。而岩土塑性理论中，有时要考虑弹塑性耦合，即弹性性不耦合。而岩土塑性理论中，有时要考虑弹塑性耦合，即弹性系数随塑性变形发展而减少系数随塑性变形发展而减
21、少岩土塑性力学的基本内容岩土塑性力学的基本内容(1)岩土类材料的塑性岩土类材料的塑性本构关系理论与模型本构关系理论与模型(2)岩土类材料的极限分析理论岩土类材料的极限分析理论(3)它们在岩土工程设计和施工中的应用它们在岩土工程设计和施工中的应用弹性本构关系的基本特征弹性本构关系的基本特征塑性本构关系的类型与特征塑性本构关系的类型与特征基本特征基本特征是材料的屈服与硬化都与静水压力无关；是材料的屈服与硬化都与静水压力无关；而且材料只可能产生硬化（强化）不产生软化而且材料只可能产生硬化（强化）不产生软化塑性变形的基本特性塑性变形的基本特性无论是理想塑性材料、应变硬化或软化型塑性材料，其塑无论是理想
22、塑性材料、应变硬化或软化型塑性材料，其塑性本构关系和变形都有如下的特征：性本构关系和变形都有如下的特征：(1)应力值必须达到或超过某一临界值发生塑性变形；应力值必须达到或超过某一临界值发生塑性变形；(2)塑性变形是不可逆的塑性变形是不可逆的(3)应力与应变之间无唯一对应关系。这是由于塑性应应力与应变之间无唯一对应关系。这是由于塑性应力应变关系受应力历史和应力路径影响的结果力应变关系受应力历史和应力路径影响的结果(4)应力应力应变关系的非线性和由此而引起的应力和应应变关系的非线性和由此而引起的应力和应变的不可叠加性变的不可叠加性(5)在塑性变形阶段，在塑性变形阶段，加载和卸载时应力加载和卸载时应
23、力应应变之间服从不同的本构变之间服从不同的本构关系关系粘性本构关系粘性本构关系材料的应力或应变随时间而变化材料的应力或应变随时间而变化常常和弹性或塑性性质同时发生，因此常常和弹性或塑性性质同时发生，因此,材料的粘性本构材料的粘性本构方程分为方程分为在工程中，常称材料的粘性性质为在工程中，常称材料的粘性性质为流变流变应力下变形随时间的不断变化为材料的应力下变形随时间的不断变化为材料的蠕变蠕变应变下应力随时间的下降为应变下应力随时间的下降为应力松弛应力松弛粘弹性粘弹性粘塑性粘塑性粘弹塑性粘弹塑性塑性力学和弹性力学在基本假设和研究方法相同点有：(1)假设都相同：连续性、小变形。(2)平衡方程、几何方
24、程相同。(3)解题方法基本相同：通过求解基本方程组得到应力和位移本质区别：本构关系的不同。弹性力学：本构关系遵循广义虎克定律塑性力学：变形的不可恢复性，导致了塑性力学中的本构关系是多方面的，比较复杂。弹性塑性粘性岩石力学性质体力和面体力和面力力Fi，Ti位移位移ui应力应力 ij应变应变 ij平衡平衡相容性相容性（几何）（几何）本构关系本构关系固体力学问题解法中各种变量的相互关系固体力学问题解法中各种变量的相互关系1-2 1-2 应力状态应力状态 333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij应力状态一点所有截面应力矢量的集合。1 应力张量mzxyzxyzmyyxxzx
25、ymxmmmij000000张量和运算法则张量和运算法则ijijmijS应力球形张量应力球形张量应力偏斜张量应力偏斜张量)(31zyxm平均正应力：jijiKronecij01ker符号：在弹性理论和经典塑性理论中在弹性理论和经典塑性理论中:应力球张量只产生体应变，即受力体应力球张量只产生体应变，即受力体只发生体积变化而不发生只发生体积变化而不发生 形状变化；形状变化；应力偏张量则产生剪变形，即应力偏张量则产生剪变形，即只引起物体形状变化而不发生体只引起物体形状变化而不发生体积大小的变化。积大小的变化。在经典塑性理论中，体应变常常假设为弹性的。体应变就只有在经典塑性理论中，体应变常常假设为弹性
26、的。体应变就只有弹性分量，而与塑性无关，只有剪应变有塑性分量，使研究大弹性分量，而与塑性无关，只有剪应变有塑性分量，使研究大为简化。为简化。斜切面上的应力斜切面上的应力时当031dhdhdsdv 0 x对四面体对四面体nmlpzxyxxx0Xdvndsmdsldsdspzxyxxx同理：同理：nmlpzyyxyynmlpzyzxzz斜面上的正应力；斜面上的正应力；2222Nzyxvpppnlmnlmnmlnpmplpxzyzxyzyxzyxv222222斜面上的剪应力斜面上的剪应力2 主应力与应力主方向0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxnmlpzxyxxxnml
27、pzyyxyynmlpzyzxzz斜面ABC为主微分面，面上只有正应力mpylpxnpz投影到坐标轴上0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即0zzyzxyzyyxxzxyx展开 032213III032213IIIzyxI1其中：其中：主元之和主元之和 ij2222xzyzxyxzzyyxI代数主子式之和代数主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxI3应力张量元素构成应力张量元素构成的行列式的行列式主应力特征方程求解主应力特征方程得主应力求解主应力特征方程得主应力i i（i=1i=1，2 2，
28、3 3）0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx1222nml上式任意二个方程主方向主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；应力状态特征方程确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数
29、。根据三次方程性质可以证明。任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。l不变性l实数性l正交性zyxI12222xzyzxyxzzyyxIzzyzxyzyyxxzxyxI3mzxyzxyzmyyxxzxymxijs应力偏斜张量不变量应力偏斜张量不变量zzyzxyzyyxxzxyxij031mzyxJ)(6)()()(612222222zxyzxyyxyxyxJmzzyzxyzmyyxxzxymxJ33 八面体及八面体应力应力应力应力空间中中8个象限有个象限有8个等倾斜
30、面：个等倾斜面：31nmlnlmnlmnmlnpmplpxzyzxyzyxzyxv2222222222Nzyxvppp1321831)(31)(31Imzyx222113322123212132322218326231)(6)(231)()()(31JII八面体正应力八面体正应力=平均正应力平均正应力八面体剪应力与应力偏量有关八面体剪应力与应力偏量有关2122323222128)()()(21323Jq广义剪应力广义剪应力4 4 偏量平面及偏量平面应力偏量平面及偏量平面应力等压力线(等倾线)：在主应力空间中，与三个坐标轴等倾（l=m=n=）的 空间曲线31常数321偏平面：与等压力线垂直的平面
31、平面：与等压力线垂直的平面，且经过原点0321应力点NPPmoo3)(31321822121112322212232)(31JOOOPPO偏平面上的应力：应力空间中向量OP，分量为：OO、OP平面上的应力：与应力球张量有关与应力偏张量有关物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。5 5 平衡微分方程平衡微分方程),(zyxfx),(zydxxfx.)(),(211),(),(),(222dxxzyxfdxxzyxfzyxfzydxxf级数展开dxxxxx略去高阶微分项切应力互等定理 jiij0,bjiijF0bxzxyxxFzyx00bzzyzzbyzyyxyFzyxFzyx(ij)1 变形与应变
32、概念 位移形式 刚体位移：变形位移1-3 1-3 应变状态应变状态 xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx几何方程几何方程(柯西方程柯西方程)几何方程几何方程位移导数表示的应变位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变原因是没有考虑单元体位置的改变单元体的刚体转动单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动刚性位移可以分解为平动与转动 刚性位移不产生变形刚性位移不产生变形zzyzxyzyyxxzxyxxyxzyzxwxwxwzvyvxvzuyuxu2121212121
33、21000)(21,)(21,)(21yuxvxwzuzvywzyx转动矢量描述微分单元体的刚性转动 转动分量 刚体转动变形几何方程2 应变张量 333231232221131211212121212121zzyzxyzyyxxzxyxijmzxyzxyzmyyxxzxymxmmmij212121212121000000ijijmije张量和运算法则张量和运算法则应变球形张量应变球形张量应变偏斜张量应变偏斜张量)(31zyxm平均正应变：jijiKronecij01ker符号：应变球张量：代表只发生体积变化的应变状态只发生体积变化的应变状态应变偏张量：代表只发生形状变化的应变状态只发生形状变化
34、的应变状态应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。主应变与应变主轴 切应变为0的方向 应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变20)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx应变状态特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零 0212121212121zzyzxyzyyxxzxyx032213JJJ展开展开 3 应变不变量应变不变量第一，第二和第三应变不变量 ijzxyzxyxzxyyxzyxiiJJJ
35、322221)(414 体积应变体积应变.zwyvxu1)1()1()1(*JdxdydzdxdydzdzdydxVVVzyxzyx引入体积应变有助于简化公式引入体积应变有助于简化公式5 应变协调方程xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx几何方程：6个应变分量通过3个位移分量描述力学意义:变形连续yvxuyx23222322xyvxyxuyyxyxxvyuyxxyxyyx22222)(xwzuzvywyuxvzxyzxyyxwyzuyxzvxywxzyuzxvzzxyzxy222222yxwzyxxyzxyz22分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式 yxzyxzzxzyxy
36、zyzyxxzxxzzyzyyxyxzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxzzxyzyzxyxy2222222222222222222)(2)(2)(应变协调方程圣维南 （Saint Venant）方程 物体在载荷作用下 应变、应力位移法：先确定位移，由几何方程确定应变，因连续方程由几何方程推出，自然满足力法：先确定应力，变形必须要连续方程1.4 边界条件弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。持弹性体表面的平衡。边界面力已知：边界面力已知：F Fsjsj应力边界条件应力边界条件 设物体表面为S 位移
37、已知边界Su 面力已知边界S确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。量的关系。面力边界条件描述弹性体表面的平衡描述弹性体表面的平衡平衡微分方程描述弹性体内部的平衡描述弹性体内部的平衡这种平衡只是这种平衡只是静力学可能的平衡真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件 iijsjnFnmlFzxyxxsjxnmlFzyyxysjynmlFzyzxzsjz位移边界条件位移边界条件边界位移已知：边界位移已知：位移边界条件就是弹性体表面的就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边
38、界位移相等弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等 wwuvuuwuuq应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。q边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。q位移边界条件表面的位移或变形与已知边界位移或变形相等。混合边界条件混合边界条件弹性体边界弹性体边界 SS Su部分边界位移已知部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知部分边界面力已知面力边界S 一、一、广义虎克定律广义虎克定律 弹性体内任一点的应力一应变关系都可写为弹性体内任一点的应力一应变关系都可写为 ：zxyzxyzyxxcccccc 161514131211 zxyzxyzyxycccccc 262524232221
39、 zxyzxyzyxzcccccc 363534333231 zxyzxyzyxxycccccc 464544434241 zxyzxyzyxyzcccccc 565554535251 zxyzxyzyxzxcccccc 666564636261 （1 1）1.5 1.5 线弹性本构关系线弹性本构关系 66636261363332312623222116131211ccccccccccccccccD用矩阵表示用矩阵表示 为：为：D称为应变列阵称为应变列阵 TzxyzxyzyxTzxyzxyzyx称为应力列阵称为应力列阵式中式中：称为弹性矩阵，由称为弹性矩阵，由6 66 63636个弹性常数组个
40、弹性常数组成的成的6 66 6阶矩阵。阶矩阵。D（2 2）二、极端各向异性体的本构方程二、极端各向异性体的本构方程 1 1、极端各向异性体、极端各向异性体物体内任一点沿任何两个不物体内任一点沿任何两个不同方向的弹性性质都互不相同。同方向的弹性性质都互不相同。2 2、特点：任何一个应力分量都会引起、特点：任何一个应力分量都会引起6 6个应变分量。个应变分量。也就是说正应力不仅能引起线应变，还能引起剪应变。也就是说正应力不仅能引起线应变，还能引起剪应变。3 3、本构方程：、本构方程：zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa 666261363231262221161211（3
41、3）A 即：即：为了说明问题，将为了说明问题，将6 6个应力分量编号为：个应力分量编号为：x x y y z z xy xy yz yz zxzx 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6将将6 6个应个应变变分量产生的位置编号为：分量产生的位置编号为：X X轴轴 y y轴轴 z z轴轴 x-yx-y面面 y-zy-z面面 z-xz-x面面 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 则：则：x x 所引起的所引起的6 6个应变分量为：个应变分量为：在在x x轴引起的线应变为轴引起的线应变为:a a1111x x 在在y y轴引起的线应变为轴引起的线应变为:a a2121x x 在在
42、z z轴引起的线应变为轴引起的线应变为:a a3131x x 在在x-yx-y面引起的剪应变为面引起的剪应变为:a a4141x x 在在y-zy-z面引起的剪应变为面引起的剪应变为:a a5151x x 在在z-xz-x面引起的剪应变为面引起的剪应变为:a a6161x x 即即 上式用应力表示应变。上式用应力表示应变。1 ADijijca1 式中：式中：a aijij代表第代表第j j个应力个应力分量等于分量等于1 1个单位时在个单位时在i i方向方向所引起的应变分量，如所引起的应变分量，如a a3131表表示示x x等于一个单位时在等于一个单位时在z z方方向引起的应变分量。向引起的应变
43、分量。可 以 证 明，可 以 证 明，c ci ji j=c=cj i;j i;a aijij=a=ajiji,是对称矩阵。是对称矩阵。3636个弹个弹性常数中只有性常数中只有2121个是独立的。个是独立的。三、正交各向异性体三、正交各向异性体 1 1、概念、概念 （1 1）弹性对称面：在任意两个与某个面对称的方向上，材料的弹性相）弹性对称面：在任意两个与某个面对称的方向上，材料的弹性相同（弹性常数相同），那么，这个面就是对称面。同（弹性常数相同），那么，这个面就是对称面。（2 2）弹性主向：垂直于弹性对称面的方向为弹性主向。）弹性主向：垂直于弹性对称面的方向为弹性主向。（3 3）正交各向异性
44、体：弹性体中存在）正交各向异性体：弹性体中存在3 3个互相正交的弹性对称面，在个互相正交的弹性对称面，在各个对称面的对称方向上，弹性相同，但在这各个对称面的对称方向上，弹性相同，但在这3 3个弹性主向上的弹性并不个弹性主向上的弹性并不相同，这种物体称为正交异性体。相同，这种物体称为正交异性体。2 2、特点：由于对称关系，正应力分量只能引起线应变，、特点：由于对称关系，正应力分量只能引起线应变，不能引起剪应变。剪应力不会引起线应变，并且，只不能引起剪应变。剪应力不会引起线应变，并且，只能引起相对应的剪应变分量的改变，不会影响其它方能引起相对应的剪应变分量的改变，不会影响其它方向的剪应变向的剪应变
45、.以三个正交的弹性对称面为坐标面，以三个正交的弹性对称面为坐标面，x,y,zx,y,z坐标坐标轴为弹性主向。根据对称性，轴为弹性主向。根据对称性，正应力分量只能引起线正应力分量只能引起线应变，不能引起剪应变。应变，不能引起剪应变。则有：则有：000635343625242615141 aaaaaaaaa zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa 665544333231232221131211000000000000000000000000只有只有9 9个独立的弹性常数。个独立的弹性常数。同样，作用在正交各向异性体上的剪应力不会引起线应同样，作用在正交各向异性体上的剪应力不
46、会引起线应变的变化，并且，只能引起相对应的剪应变分量的改变，不变的变化，并且，只能引起相对应的剪应变分量的改变，不会影响其它方向的剪应变会影响其它方向的剪应变.即即xyxy只引起只引起xyxy的变化。则有：的变化。则有：000564636261665453525156454342414 aaaaaaaaaaaaaaa3 3、正交各向异性体的本构方程：、正交各向异性体的本构方程：由（由（3 3）式得：）式得：（4 4）四、横观各向同性体四、横观各向同性体 1 1、概念、概念 各向同性面各向同性面：某一平面内的所某一平面内的所有各方向的弹性性质相同，这个面为有各方向的弹性性质相同，这个面为各向同性
47、面。各向同性面。横观各向同性体横观各向同性体：具有各向同性：具有各向同性面，但垂直此面的力学性质是不相同面，但垂直此面的力学性质是不相同的，这类物体称为横观各向同性体。的，这类物体称为横观各向同性体。2 2、特点、特点 在平行于各向同性面的所有各个方向（横向）都具在平行于各向同性面的所有各个方向（横向）都具有相同的弹性。有相同的弹性。层状岩体属于横观各向同性体，平行于层面的各个层状岩体属于横观各向同性体，平行于层面的各个方向是横向，垂直层面的方向是纵向。方向是横向，垂直层面的方向是纵向。设设x-zx-z平面为各向同性面，平面为各向同性面，根据横观各向同性体的特点，根据横观各向同性体的特点，z
48、z方向和方向和x x方向的弹性性质相同，则：方向的弹性性质相同，则：(1)(1)单位单位z z所引起的所引起的z z等于单位等于单位x x所引起的所引起的x x,即即a a3333=a=a1111 (2 2)单位单位z z所引起的所引起的y y等于单位等于单位x x所引起的所引起的y y,即即a a2323=a=a2121 (3 3)单位单位xyxy所引起的所引起的xyxy等于单位等于单位zyzy所引起的所引起的zyzy,即即a a4444=a=a55 55 3 3、横观各向同性体的本构方程、横观各向同性体的本构方程 由（由（4 4）式得：）式得：（5 5）zxyzxyzyxzxyzxyzyx
49、aaaaaaaaaaaa 664444111213122212131211000000000000000000000000 可见：在矩阵可见：在矩阵 AA中只剩下中只剩下a a1111,a,a1212,a,a1313,a,a2222,a,a4444,a,a6666六个常六个常数项，并且由弹性力学公式有：数项，并且由弹性力学公式有：(单位单位x x在在X X轴上产生的变形）轴上产生的变形）1111Ea(单位单位y y在在y y轴上产生的变形）轴上产生的变形）2221Ea(单位单位z z在在X X轴上产生的变形）轴上产生的变形）1113Ea (单位单位xyxy在在X X-Y-Y面上产生的剪应变）面
50、上产生的剪应变）2441Ga 单位单位zxzx在在Z-XZ-X面上产生的剪应变）面上产生的剪应变）1661Ga(单位单位y y在在X X轴上产生的变形）轴上产生的变形）2212Ea 可见，横观各向同性体只有可见，横观各向同性体只有5 5个独立的弹性常数：个独立的弹性常数：E E1 1、E E2 2、1 1、2 2 、G G2 2 。E E1 1、1 1 分别为各向同性面内岩石的弹性模量和泊分别为各向同性面内岩石的弹性模量和泊松比，松比，E E2 2、2 2分别为垂直于各向同性面方向的弹性分别为垂直于各向同性面方向的弹性模量和泊松比模量和泊松比。并且：并且：)1(2111 EG(在横观各向同性面
