1、4 4 定积分的换元法与分部积分法定积分的换元法与分部积分法定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在,上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当当t在在区区间间,上上变变化化时时，)(tx 的的值值在在,ba上上变变化化，且且a)(、b)(，则则 有有dtttfdxxfba )()()(.一、定积分换元法一、定积分换元法应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:“换元同时换限”“换元同时换限”的改变。的改变。时，积分限也相应时，积分限也相应换成新变量换成新变量把变量把变量用用txtx)()1(然然后后相相减减就就行行了了。入入
2、的的积积分分上上、下下限限分分别别代代数数，而而只只要要把把新新变变量量的的函函变变换换成成原原变变量量计计算算不不定定积积分分那那样样再再把把后后，不不必必象象的的一一个个原原函函数数求求出出)()()()()()2(ttxttttf 例例1 1 求下列定积分求下列定积分 11ln1exdxx 、11(1ln)exdxx 1(1ln)(ln)ex dx lnux 令令 (1)0,()1uu e 10(1)u du 120112u32 cos202sinxexdx 、cosux 令令 2(0)1,()0uu 01ue du 10ue 1ecos20cosxedx 10ue du 4113sin
3、xdxx、411sinxdxx 412sinxdx ux 令令 (1)1,(4)2uu 212sinudu 212 cosu 2(cos1cos2)例例2 2 计算计算解解401.1dxx 令令,tx 0 x ,0 t4x 2,t 2,2,xtdxtdt 42001211tdxdttx 201 121tdtt 201211dtt 2200121dtdtt 202 2ln 1t 2 2ln 3 三、定积分的分部积分法三、定积分的分部积分法()()()()()()bbbaaau x v x dxu x v xu x v x dx 可按以下列表方式进行计算可按以下列表方式进行计算()u x()v x
4、()u x()v x ba 求导过程求导过程积分过程积分过程即得即得()()()()()()bbbaaau x v x dxu x v xu x v x dx 例例6 6 求下列定积分求下列定积分 211lnexxdx、解解2()v xx ()lnu xx 31()3v xx 1()u xx 1e 21lnexxdx 331111 1ln33eexxx dxx 3211133eex dx 32199e2202xxe dx、()u xx()1u x ()0ux 2()xv xe 21()2xvxe 22()4xvxe 220 xxe dx 2202xxe 2204xe 4 2403sin2xxd
5、x 、2()u xx()2u xx ()2ux ()sin2v xx 11cos22vx 21sin24vx 031cos28vx 4201cos22xx 402sin24xx 402cos28x 240sin2xxdx 184 课堂练习课堂练习求下列定积分求下列定积分2201xxedx 、12202xx edx 、2201xxedx 、222012xedx 2ux 令令 (0)0,(2)4uu4012ue du 4012ue 4112e 4112e 12202xx edx 、2()p xx()2p xx ()2px 2()xf xe 2112xFe 2214xFe 02318xFe 1220
6、 xx edx 221012xx e 21024xxe 21028xe 21154e 6 6 定积分的几何应用定积分的几何应用xyo()yf x abxyo()yg x()yf x ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(该图形的面积该图形的面积()()baAf xg x dx 一、平面图形的面积一、平面图形的面积例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解两曲线的交点两曲线的交点(0,0),(8,16)
7、262yxxyx 2468-55101520252yx 26yxx例例 2 2 计算由两条抛物线计算由两条抛物线26yxx 和直线和直线2yx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.820(26)Axxx dx 832043xx1853 xyodc()xy yxcd)(yx )(yx dcdyyyAyydcdycyyxyx)()()()(,(,),(),(图图形形面面积积为为围围成成的的平平面面及及直直线线由由曲曲线线曲边梯形的面积曲边梯形的面积()dcAy dy 例例3：求由曲线：求由曲线 ，以及直线，以及直线 围成平围成平面图形的面积。面图形的面积。1xy ,3yx yxyo1yx yx
8、3y 解解两曲线的交点两曲线的交点(1,1)1x yyx 31所求面积所求面积311()Aydyy 3211ln2yy4ln3.例例 4 4 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy 2102(2)Axx dx 1218.AAAxy22 4 xy1A2A 8222(4)Axxdx 383 163 xy22 4 xy24242yAydy 18.求平面图形面积的步骤：求平面图形面积的步骤：1、画出由各曲线围成的平面图形，并求出曲线的交点；、画出由各曲线围成的平面图形，并求出曲线的交点；
9、2、选择适当的积分变量，并确定积分区间；、选择适当的积分变量，并确定积分区间；3、写出该平面图形面积的定积分表达式；、写出该平面图形面积的定积分表达式；4、求出定积分的值即为所求面积。、求出定积分的值即为所求面积。另解另解例例5：求椭圆的面积：求椭圆的面积xyo1Aab10aAydx 02xt 0 xat0102sincosaAydxbtdat 022202sinsinabtdtabtdt 201cos22tabdt 4ab 14AAab 22221xyab设椭圆的方程为设椭圆的方程为解：解：14AA 由对称性可得由对称性可得cos,sinxat ybt 椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为课堂练
10、习课堂练习22yxyx 求求抛抛物物线线与与直直线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积-112-2-11234yxyx 22yx 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、旋转体的体积二、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取
11、小区上任取小区间间,dxxx，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy y例例 1 1 连连接接坐坐标标原原点点O及及点点),(rhP的的直直线线、直直线线hx 及及x轴轴围围成成一一个个直直角角三三角角形形将将它它绕绕x轴轴旋旋转转构构成成一一个个底底半半径径为为r、高高为为h的的圆圆锥锥体体，计计算算圆圆锥锥体体的的体体积积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx 在在,0h上任取小区间上任取小区间,dxxx，x
12、o直线直线 方程为方程为OP以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxyo1Aab210aVy dx 222200221aaxVy dxbdxa 243ab 解：解：12VV 由对称性可得由对称性可得例例2：求椭圆：求椭圆 绕绕 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积22221xyabx2222(1)xyba而而定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间),a上连续，上连续，取取xa，如果极限，如果极限lim()xaxf t
13、dt 存在，则称此存在，则称此极限为函数极限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),a上的广上的广义积分，记作义积分，记作 adxxf)(.adxxf)(lim()xaxf t dt 当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.8 8 无穷限的广义积分无穷限的广义积分类类似似地地，设设函函数数)(xf在在区区间间,(b上上连连续续，取取xb，如如果果极极限限lim()bxxf t dt 存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间,(b上上的的广广义义积积分分，记记作作 bdxxf)(.bdxxf)
14、(lim()bxxf t dt 当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散.设设函函数数)(xf在在区区间间),(上上连连续续,如如果果广广义义积积分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收敛敛，则则称称上上述述两两广广义义积积分分之之和和为为函函数数)(xf在在无无穷穷区区间间),(上上的的广广义义积积分分，记记作作 dxxf)(.dxxf)(0)(dxxf 0)(dxxf0lim()xxf t dt 0lim()yyf t dt 极极限限存存在在称称广广义义积积分分收收敛敛；否否则则称称广广义义积积分分发发散散.
15、例例1 1 计算广义积分计算广义积分0cos.xdx 解解0limcosxxtdt 0lim sinxxt lim sinxx 0cos xdx 极限不存在极限不存在所以，该广义积分发散所以，该广义积分发散例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx211limsinxxdtt 21lim cosxxt 1lim coscos2xx .1 例例 3 3 证明广义积分证明广义积分 11dxxp当当1 p时收敛，时收敛，当当1 p时发散时发散.证证,1)1(p11dxx 1lim lnxxt,1)2(p 11dxxp11lim1xp
16、xtp 1,111,ppp因此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.11limxxdtt 例例 4 4 证明广义积分证明广义积分 apxdxe当当0 p时收敛，时收敛，当当0 p时发散时发散.证证 apxdxelimxptaxedt limxptxaep limpapxxeepp 0,0,pppeap即即当当0 p时时收收敛敛，当当0 p时时发发散散.11.Adxx 211.Bdxx 311.Cdxx 41.Dx dx 1.xAedx 21.xBedx 1.xCe dx 31.xDe dx 以下广义积分收敛的是（以下广义积分收敛的是（），发散的是（），发散的是（）以下广义积分收敛的是（以下广义积分收敛的是（），发散的是（），发散的是（）课堂练习课堂练习
