1、课程内容 第1章：绪论绪论 第2章：聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 第3章：聚合物流动方程聚合物流动方程 第4章：流变学基础方程的初步应用流变学基础方程的初步应用 第5章：挤出机头设计挤出机头设计绪论 1.1 流变学的定义 1.2 流变学的发展历史 1.3 高聚物流变学的研究内容 1.4 高聚物流变学的研究意义 1.5 高聚物流变学在塑料加工中的应用 1.1 流变学的定义1.1 流变学的定义1.1 流变学的定义变形：是指施加适当的力系于物质上而使其 形状或大小发生变化。变形固体弹性贮存能量形变可以恢复有记忆效应Hookes定律瞬时响应E1.1 流变学的定义 流动：当变形的程度
2、随时间而连续变化时就成为流动。流动液体粘性耗散能量产生永久形变无记忆效应 Newtons定律时间过程01.1 流变学的定义1.1 流变学的定义 实际材料：实际材料：沥青、粘土、橡胶、石油、蛋清、血浆、食品化工原材料、泥石流、地壳、高分子材料等。既能流动，又能变形；既能流动，又能变形；既有粘性，又有弹性；既有粘性，又有弹性；变形中会发生粘性损耗，流动时又有弹性记忆效变形中会发生粘性损耗，流动时又有弹性记忆效应应 粘弹性结合，流变性并存。粘弹性结合，流变性并存。牛顿定律或胡克定律已无法全面描述其复杂的力牛顿定律或胡克定律已无法全面描述其复杂的力学响应关系学响应关系1.1 流变学的定义流变学：研究材
3、料流动和变形的学科。变形：是指施加适当的力系于物质上而使其 形状或大小发生变化。流动：当变形的程度随时间而连续变化时就成为流动。聚合物流变学：研究聚合物液体，主要指聚合物熔体、聚合物溶液，在流动状态下的非线性粘弹行为，以及这种行为与材料结构及其它物理、化学性质的关系。流变学是一门既古老又年青的学科。流变学是一门既古老又年青的学科。古老：古老：原始的流变学概念（水钟、弓箭、陶器）年青：年青：流变学作为一门学科只有几十年几十年的历史（诞生于1928年）1.2 流变学的发展历史1.2 流变学的发展历史 公元前1500年，对流变学有肤浅的认识。例如：埃及人发明了一种“水钟”，用以测定容器内水层的高度与
4、时间的关系，以及温度对流体黏度的影响。16世纪至18世纪，流变学的发展较快。19世纪，建立的泊肃叶方程，在流变学的发展史上是一个很重要的标志。1.2 流变学的发展历史1.2 流变学的发展历史 1678年 胡克弹性定律1687年 牛顿粘性定律1928年 流变学概念的提出1929年 流变学协会的成立 流变学杂志1948年 第一届国际流变学会议1950年以后 流变学领域研究迅速发展1.2 流变学的发展历史 流变学的发展主要体现在三个方面：流变学研究队伍日趋壮大学术组织、会员队伍 流变学学术交流日趋频繁学术会议、学术期刊 流变学研究领域日趋广泛理论性、实践性、综合性1.2 流变学的发展历史1.2 流变
5、学的发展历史1.2 流变学的发展历史1.2 流变学的发展历史2.795(2013)1.226(2013)1.626(2013)1.567(2013)1.2 流变学的发展历史1.2 流变学的发展历史1.2 流变学的发展历史1.2 流变学的发展历史1.3 高聚物流变学的内容1.4 高聚物流变学的研究意义1.4 高聚物流变学的研究意义1.4 高聚物流变学的研究意义1.4 高聚物流变学的研究意义1.4 高聚物流变学的研究意义1.4 高聚物流变学的研究意义1.4 高聚物流变学的研究意义1.5 流变学在塑料加工中的应用 1.5.1 挤出模塑成型 1.5.2 模压成型 1.5.3 注射模塑2 聚合物熔体的基
6、本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 2.1 2.1 聚合物的非牛顿流动聚合物的非牛顿流动 2.2 2.2 影响剪切粘度的因素影响剪切粘度的因素 2.3 2.3 拉伸流动拉伸流动 2.4 2.4 高聚物熔体的弹性高聚物熔体的弹性 2.5 2.5 高聚物剪切粘度的测定高聚物剪切粘度的测定2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 2.1 2.1 聚合物的非牛顿流动聚合物的非牛顿流动 2.1.1 2.1.1 聚合物粘流态的主要特点聚合物粘流态的主要特点 当温度升至粘流温度当温度升至粘流温度(或称流动温度或称流动温度)T)Tf f之之后，线型聚合物就从高弹态转变为粘流态后，线型聚合物就从高弹
7、态转变为粘流态(流动态流动态)。聚合物的流动有如下主要特点：2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 1）流动机理是分段移动；2）粘度大，流动困难，而且粘度不是一个常数；3）流动时有构象变化，产生“弹性记忆效应”。2.1.2 流动的类型2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 高聚物熔体在成型条件下的流速、外部作用力形式、流道的几何形状和热量传递情况的不同，可表现出不同的流动类型。（1）层流和湍流 Re2300时则转变为湍流。高聚物熔体在成型条件下的雷诺准数1，一般呈现层流状态。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能（2）稳定流动和不稳定流动 凡在输送通道
8、中流动时，流体在任何部位的流动状态保持恒定，不随时间而变化，一切影响流体流动的因素都不随时间而改变，此种流动称为稳定流动。凡流体在输送通道中流动时，流动状态都随时间而变化。影响流动的各种因素，有随时间而变动的情况，此种流动称为不稳定流动。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能（3）等温流动和非等温流动 等温流动是指流体各处温度保持不变情况下的流动。在此情况下，流体与外界可以进行热量传递，但传入和输出热量应保持相等。在塑料成型的实际条件下，高聚物熔体的流动一般均呈现非等温状态。一方面是由于成型工艺有要求将流程各区域控制在不同的温度下；另一方面，是粘性流动过程中有生热和热效应，使流体
9、在流道径向和轴向存在一定的温度差。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能（4）一维流动、二维流动和三维流动 一维流动：流体内质点的速度仅在一个方向上变化。二维流动：流道截面上各点的速度需要两个垂直于流动方向的坐标表示。三维流动：流体在截面变化的通道中流动，其质点速度不仅沿通道截面的纵横两个方向变化，而且也沿主流动方向变化，流体的速度要用三个相互垂直的坐标表示。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能（5）拉伸流动和剪切流动 按照流体内质点速度分布与流动方向关系，可将高聚物加工时的熔体流动分为拉伸流动和剪切流动两类。剪切流动：质点速度仅沿着与流动方向垂直的方向发生变化。
10、如图2-1(a)。拉伸流动：指点速度仅沿流动方向发生变化，如图2-1(b)。图2-1 剪切流动和拉伸流动的速度分布（长箭头所指为流动方向）（a）剪切流动 （b）拉伸流动2 2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能（6）拖曳流动和压力流动 剪切流动按流动的边界条件可分为拖曳流动和压力流动。拖曳流动：由边界的运动而产生的流动称为拖曳流动。如运转滚筒表面对流体的剪切摩擦而产生的流动，也被称为库爱特流动（Couette flow）。压力流动：边界固定，由外压力作用于流体而产生的流动，称为压力流动。如塑料熔体注射成型和挤塑成型等，在流道内的
11、流动属于压力梯度引起的剪切流动，也被称为泊肃叶流动（Poiseuille flow）。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 2.1.3 牛顿型流动（线性粘性流动）从稳定的简单剪切流动的分析开始，讨论线性黏性流动的牛顿定律。牛顿型流动的流动曲线如图所示。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 牛顿型流动的特征是：当切比力0时，切变速率 ，它遵循牛顿粘度定律，即切应力与切变速率成正比：牛顿型流体有如下特点：1）流体的变形随时间不断发展，有时间依赖型。2）粘性流体的变形是永久性的，在外力移除后，变形不能回复。02 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 3）对
12、抵抗变形的粘性力所做的功，在流动中转为热能而散失。4）剪切应力与剪切速率成正比，粘度与剪切速率无关。2.1.4 非牛顿型流动 凡是不服从牛顿粘性定律的流体称为牛顿流体，非牛顿流体的流动称为非牛顿流动。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 根据与呈非线性关系的不同特征，可将非牛顿型流体分为三大类：粘性系统、有时间依赖性的系统和粘弹性系统。粘性系统的流体，其切变速率只依赖于所施加的切应力，即切变速率与切应力有函数关系，而与切应力施加的时间长短无关。有时间依赖性的系统，其特点是切变速率不仅依赖于所施加切应力的大小，而且还依赖于切应力施加的时间长短。这类非牛顿型流体有两种：触变性流体和
13、震凝性流体。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 纯粘性系统的非牛顿流体可分为宾汉流体、膨胀性流体和假塑性流体。1）宾汉流体（曲线D）宾汉流体在流动前存在一个剪切屈服应力y，只有当剪切应力高于y时，宾汉流体才开始流动。p称为宾汉粘度 )(ypy2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 图2-2 非牛顿流动的流动曲线2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 2）假塑性流体（曲线B）剪切速率的增加比剪切应力增加的快，并且不存在屈服应力，流动曲线弯向切变速率坐标轴。其特征是粘度随剪切速率或剪切应力的增大而降低，常称为剪切变稀的流体。橡胶和绝大多数高聚物及其塑料
14、的熔体和浓溶液，都属于假塑性流体。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 3）膨胀性流体（曲线C）它的流动曲线弯向剪切应力坐标轴，不存在屈服应力。剪切速率增加比剪切应力增大要慢一些。其特征是粘度随剪切速率或剪切应力的增大而升高，故称为剪切增稠的流体。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 2.1.5 非牛顿流体的幂律方程(1)宾汉流体 (2)假塑性流体和膨胀型流体 n=1n=1时，为牛顿型流体，时，为牛顿型流体，k k相当于牛顿粘度；相当于牛顿粘度；n1n1n1时，为膨胀型流体时，为膨胀型流体 nKpyyy时，当时，当02 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流
15、变性能 将上述幂律方程与牛顿流体的流变方程 进行比较，化成：此时a为非牛顿流体的表观粘度，单位是PaS。)(1nK1naK2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能(3)幂律方程的另一种变换公式 k为流动度或流动常数，k值越小，表明流体越粘稠，亦即流动越困难。K随温度的升高而减小，n随温度的升高而增大。2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 表观粘度的另一种表达是：2.1.6 假塑性流体的流动曲线mmmak112 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能2 聚合物熔体的基本流变性能聚合物熔体的基本流变性能 2.2 2.2 影响剪切粘度的因素影响剪切粘度的因素 2
16、.2.1 链结构（1）极性 极性聚合物的分子间作用力比非极性聚合物的大，流动性差。（2）分子量 分子量越大，分子间力越大，粘度就大，可塑性小，流动性就差。2 聚合物熔体的基本流变性能（3）相对分子量分布 分布窄的，分子链发生相对位移的温度范围较窄，粘流温度Tf较高，而分布宽的，分子链发生相对位移的温度范围较宽，同时因低分子量级分的内增塑作用，故Tf较低，流动性和加工性能较好。（4）支化 对于短支链，支链越多越短，粘度就越低；对于长支链，当起在超过临界相对分子质量的2-4倍后，粘度增大。通过改变支链长度和分子量的方法，可以调节聚合物的粘度和弹性。2 聚合物熔体的基本流变性能 2.2.2 2.2.
17、2 温度温度 当TTg+100时，高聚物熔体粘度对温度的依赖性，可用阿伦尼乌斯方程表示（Arrhenius）。视剪切速率恒定或剪切应力恒定的粘性流动的活化能不同。粘度分别表示为：=Aexp(E/RT)RTEAexp2 聚合物熔体的基本流变性能2 聚合物熔体的基本流变性能 在较低的温度（TgTg+100）范围内，高聚物熔体的粘度与温度的关系用WLF方程描述：2.2.3 2.2.3 剪切速率、静压力和添加剂影响剪切速率、静压力和添加剂影响（1）剪切速率nEE)(6.51)(44.17lglgTgTTgTgT2 聚合物熔体的基本流变性能 剪切速率增加，剪切粘度下降。（2）静压力 静压力提高，粘度上升
18、。压力的影响系数定义为：对于热塑性高聚物熔体，压力对粘度的影响系数平均值等于0.033MPa-1dpdlnppe2 聚合物熔体的基本流变性能（3）添加剂 1）增塑剂 加入增塑剂会降低成型过程中熔体的粘度。2）润滑剂 加入润滑剂可改善流动性。3）填料 填料的加入，一般会使高聚物熔体的流动性降低。2 聚合物熔体的基本流变性能 2.3拉伸流动 变形的基本形式有三种，压缩、剪切和拉伸。拉伸流动对高聚物的成型加工具有重要意义。通常研究的拉伸流动有三种：单轴拉伸、双轴拉伸和平面拉伸。2.3.1 单轴拉伸流动 单轴拉伸流动又称简单拉伸流动，其变形的特点是一个方向被拉长，其余两个方向因这一拉长而缩短。2 聚合
19、物熔体的基本流变性能拉伸粘度：拉伸应变：拉伸应变速率：单拉=3切 拉拉lnln00LLldlLLldtdldtddtLLddtdlnln02 聚合物熔体的基本流变性能 在恒温、稳态情况下，对聚合物熔体的单轴拉伸流动实验结果，按照拉伸粘度与拉伸应力之间的关系可分为三类：1）拉伸粘度与拉伸应力无关，其值为零剪切粘度的3倍，大多数聚合物属于此种类型。如PMMA,PS,PSF,PET聚对苯二甲酸乙二醇酯。2）拉伸粘度是随拉伸应力的增加而增大的，这种材料也可说是拉伸硬化，如LDPE。3）拉伸粘度随拉伸应力的增加而降低。拉伸软化。如HDPE,PP等。2 聚合物熔体的基本流变性能 2.3.2 等幅双轴拉伸流
20、动 在两个方向拉力下，两个轴向同时被拉长，因而轴向变薄。单拉=6切 2.4 高聚物熔体的弹性 2.4.1 熔体弹性理论 研究熔体弹性，一般从应力的回复和法向应力的效应入门。2 聚合物熔体的基本流变性能（1）应力的回复 高聚物熔体受剪切应力或拉伸应力作用，不但有效耗能量的流动，同时也储存能量。一旦作用应力去除，储存的能量会产生可回复的形变。对于高聚物熔体的拉伸流动：RGRE2 聚合物熔体的基本流变性能（2）法向应力效应 高聚物熔体的流动，在受剪切力作用时会产生法向应力差，从而呈现一些弹性现象。最早发现法向应力效应是爬杆现象，又称为魏森贝格效应。非牛顿流体在剪切流动时，被剪切倾斜变形的流动单元具有
21、弹性恢复力，产生了包轴爬竿现象。2 聚合物熔体的基本流变性能图2.4-1 聚合物熔体和浓溶液的爬竿现象2 聚合物熔体的基本流变性能 2.4.2 入口效应 即便所挤出的聚合物熔体，只通过一极短的狭窄的口模，也会产生于想不到之大的压力降，此种现象称为入口效应（Entry effect）。高聚物熔体从大直径料同进入小直径口模时会有能量损失。在料筒内某一点与口模出口之间的总压力降P，可由三部分组成：2 聚合物熔体的基本流变性能 Pen由三部分原因造成：1）进入口模时，由于熔体粘滞流动线在入口处产生收敛所引起的能量损失，从而所造成的压力降；2）在入口处有高聚物熔体产生弹性变形，造成的压力降；3）流经入口
22、处，由于剪切速率的剧烈增加引起流体流动骤变，为达到稳定的流速分布而造成的压力降。exdienPPPP2 聚合物熔体的基本流变性能 入口修正：由于高聚物熔体的粘弹性，使得口模的真实长度比实际长度长。2.4.3 离模膨胀 从口模中被挤出的高聚物熔体断面积远比口模面积大，此种现象称为离模膨胀，也成为巴拉斯效应。口模膨胀定义为充分松弛的挤出物直径d与口模直径D之比。DdB 2 聚合物熔体的基本流变性能 离模膨胀是由于熔体在流动期间就存在可回复的弹性变形。（1）离模膨胀比通常在13的范围内。当口模长径比恒定时，B随剪切速率而增加。（2）剪切速率恒定时，离模膨胀比随温度的升高而降低。但PVC随温度的升高而
23、升高。（3）剪切速率恒定时，离模膨胀比随口模长径比的增大而降低。（4）离模膨胀比受分子参数的影响比较复杂。2 聚合物熔体的基本流变性能 2.4.4 熔体破裂 当挤出速率逐渐增加时，挤出物表面将出现不规则现象，甚至使内在质量受到破坏，此类现象称为熔体破裂（melt fracture）。（1）鲨鱼皮现象2 聚合物熔体的基本流变性能 挤出物周边表面具有周期性的皱褶波纹，但这些波纹并不影响挤出物的内部材料结构，易于发生在线性低密度聚乙烯。造成其发生的原因如下：1）口模出口区高聚物熔体分子的不稳定性。2）口模径向尺寸越大，易产生鲨鱼皮症。3）升高温度是挤塑成功的有效方法。4）口模壁面的表面粗糙度越低，可
24、减少鲨鱼皮症。2 聚合物熔体的基本流变性能（2）熔体破裂现象 熔体破裂不仅在挤出物外观出现畸变、支离和断裂，而且破坏到挤出物内部。各种聚合物的熔体破裂大致可分为两大类型：LDPE型和HDPE型。影响因素：1）温度。发生不稳定流动现象所确定的临界剪切应力随着温度升高略有增加。2 聚合物熔体的基本流变性能2）口模的入口角。入口角减小，临界剪切速率提高。3）临界剪切速率随着口模长径比的增加而增大。4）口模制造材料。5)重均相对分子量。6)临界剪切速率随相对分子质量增加而降低。2 聚合物熔体的基本流变性能 2.5 2.5 高聚物剪切粘度的测定高聚物剪切粘度的测定 2.5.1 概述 流变测量的目的至少可
25、归纳为三个方面：（1）物料的流变学表征（2）工程的流变学研究和设计（3）检验和指导流变本构方程理论的发展。常用的流变测量仪器可分以下几种类型：（1）毛细管型流变仪2 聚合物熔体的基本流变性能（3）混炼机型转矩流变仪（4）振荡型流变仪（2）转子型流变仪根据物料的形变历史，流变测量实验可分为：（1）稳态流变实验（2）动态流变实验（3）瞬态流变实验根据物料的流动形式来分类2 聚合物熔体的基本流变性能（1）圆形管道中的切应力及其分布(1)剪切流场测量(2)拉伸流场测量2.5.2毛细管流变仪的测量原理和方法优点：操作简单，测量准确，测量范围广阔(10-2s-1104s-1）。2 聚合物熔体的基本流变性能
26、 假定流动是稳定的层流，即流体内每个质点的流动速度不随时间变化。在无限长的管中取长度为l，两端压力差为p的液柱。22rprllrp2剪切应力在流体中的分布于半径成正比，在管壁处有最大值。2 聚合物熔体的基本流变性能（2）切变速率 为了求除非牛顿流体的剪切速率，先推导出牛顿流体的剪切速率（表观剪切速率）1)牛顿流体的剪切速率lprdrdv2drlprdrdv2lrRprdrlpdrlprdvrvrRrRv4)(22)(2202 聚合物熔体的基本流变性能)2(rdrvdqvrdrrRlprdrlrRprdrvdqqRRRRvv02202200)(4224)()2(lpRqv84ww34Rqvwa2
27、）非牛顿流体 nnKlprKdrdv11)2()(drrKlpdvnn11)2(2 聚合物熔体的基本流变性能)()2(1)2(111110nnnnnrRnnvrRKlpnndrrKlpdvvv)(1)2(1111nnnnnRrRKlpnnrdrrRKlpnnrdrvqRnnnnnRv2)()2(1201110nnnRKlpnn131)2(1313)2()13(nnnvRKlpnnq)2()13()(3lpRnnKRqnnvnvRqnnKlpR)13(23nvwRqnnK)13(32 聚合物熔体的基本流变性能nwwKavvnnRqnnRqnn41344131333nananwKnnK)413(n
28、vRqKlpR)4(23KnnK)413(流变指数n的求法：2 聚合物熔体的基本流变性能34lg2lglglgRqdlpRdddnvaw132)4(nnvnRlqKp毛细管流变仪可测得圆管壁上的剪切应力,有 RRaaR故定义表观粘度a和管壁真实黏度R如下：)(RRRRaRa2 聚合物熔体的基本流变性能（3）流变实验2 聚合物熔体的基本流变性能（4）流变曲线曲线曲线曲线aaaRvqplglg2 聚合物熔体的基本流变性能（5）流变曲线的校正 1）入口校正（巴格里修正）2）非牛顿修正（雷比诺维茨修正）avnnRqnn413)4(4133aRvRddRqddnlnln)4ln(ln33 聚合物流动方程
29、聚合物流动方程 3.1 基本物理量 3.2 流动场的连续性方程 3.3 运动方程 3.4 流动场的能量守恒方程 3.5 本构方程初步 3 聚合物流动方程聚合物流动方程 3.1 基本物理量 3.1.1张量初步认识（1）标量、矢量、张量在选定了测量单位以后，仅由数值大小所决定的(说明其性质的)物理量叫数量或标量(scalar)例如，温度、质量、时间、电压、电阻、密度、静止流体中一点的压强等均为标量。3 聚合物流动方程聚合物流动方程 既有方向又有大小的量称为矢量。即在选定了测量单位后，既需要知道测得的数值，又要知道在空间的一定方向，才能说明其性质的物理量叫矢量（vector）例如速度、位移和温度梯度
30、等都为矢量。矢量的表示方法：ai=a=axi+ayj+azk 在一点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张量。例如应力、应变均是张量。3 聚合物流动方程聚合物流动方程张量的表示方法：333231232221131211ij3 聚合物流动方程聚合物流动方程（2）几个特殊的张量单位张量的表达式：1）单位张量ij100010001ij称为克朗内克符号，定义为：jijiij当当,0,13 聚合物流动方程聚合物流动方程2）对称张量二阶张量的下标i和j互换后所代表分量不变，称为二阶对称张量。即jiij332322131211333231232221131211ij3）反对称张量3 聚合物流动方程聚合物流动
31、方程二阶反对称张量的分量满足：jiijpp对角线各元素为零，从而只有三个独立分量，有000323123211312pppppppij（2）张量的代数计算3 聚合物流动方程聚合物流动方程1）张量相等2）张量的加减3）张量与标量的乘（除）4）向量和张量的乘积5）张量与张量的张量乘积（单点积）6）张量与张量的标量乘积（双点积）3 聚合物流动方程聚合物流动方程(3)哈密尔顿算子：具有微分和矢量双重运算的算子。zkyjxi(4)拉普拉斯算子：2222222zyx(5)梯度：是标量场不均匀的量度，记为gradkzjyixgrad梯度的计算法则：3 聚合物流动方程聚合物流动方程为常数）CCC()(2121）
32、（122121）（)()(FF(6)散度：是矢量场中任一点通过所包围界面的通量，并除以此微元体积。记为div v,为一标量。vzvyvxvvdiv321uvuv）（散度的计算法则：3 聚合物流动方程聚合物流动方程vvv）（iiixvv对于速度场散度：div vi=0,称为无源场，具有不可压缩特性。常用的速度散度经常写成：3 聚合物流动方程聚合物流动方程3.23.2流动场的连续性方程流动场的连续性方程 连续性方程是质量守恒原理在流体运动中的表现形式。是质量不灭定律的数学表达式。在直角坐标系中取一个边长为dx、dy、dz的无限小的体积单元，称为控制体。3.2.1 方程的推导3 聚合物流动方程聚合物
33、流动方程 设流场中任一点（x,y,z）,在t时刻的速度为vi，其三个速度分量分别为vx，vy，vz。流体密度为。单位时间内从x,y,z方向进入体积元的质量流量分别为:dydxvdxdzvdydzvzyx,单位时间内从x,y,z方向流出体积元的质量流量分别为:dydxvdxdzvdydzvdzzdyydxx,单位时间内质量的累积量=进入量-流出量 3 聚合物流动方程聚合物流动方程dydxvvdxdzvvdydzvvdxdydztdzzzdyyyxdxxx)()()(dxxvvvxxdxxdyyvvvyydyydzzvvvzzdzz)(zvyvxvtzyx 微元体积在单位时间内的质量累积量（增量）
34、等于单位时间内净流入该体积内的流体质量。3 聚合物流动方程聚合物流动方程 输出的质量流率-输入的质量流率+累积的质量流率=0连续性方程的向量表示：vdivvzvyvxvtizyx)()(0)(ivt连续性方程的全微分形式：密度是时间t和空间x,y,z的函数，即=（t,x,y,z），则根据全微分定义可得：3 聚合物流动方程聚合物流动方程dzzdyydxxdttd)(VtVtdtd)(tVdtd)(zvyvxvvdivdtdzyx全导数形式的连续性方程:3 聚合物流动方程聚合物流动方程zvyvxvtVtdtdzyx 由时间变化而引起的质量变化，是由于长的不稳定性引起的质量变化，是局部项；t zvy
35、vxvzyx 由空间位置改变而引起的质量变化，是由场的不均匀性而引起的质量变化，是迁移项。3.2.2 方程的讨论3 聚合物流动方程聚合物流动方程随体导数 是一种“全微-偏微分关系算符”，又称（实质微分算符）dtd表示方法：zvyvxvtVtDtDzyx)(任意物理量F的随体导数为：zFvyFvxFvtFFVtFDtDFzyx3 聚合物流动方程聚合物流动方程 随体导数是指物理量随着流体质点随时间的变化一起运动时所产生的变化率。随体导数由两部分组成，其一是物理量的局部变化（第一项，称为局部导数或当地导数），即该量在空间一个固定点上随时间的变化，由流动的不稳定性引起的。第二项（称为对流导数迁移导数）
36、是物理量的对流变化，即该量由于流体质点的运动，从一点转移到另一点时发生的变化，是由场的不均匀性引起的。随体导数也曾被称为拉格朗日导 数。3 聚合物流动方程聚合物流动方程 连续性方程在流变学适用于：理想流体(无粘度的假想流体)、实际流体(牛顿型的或非牛顿型的，可压缩的或不可压缩的)，适用于定常流动(即流动场内各运动参数与时间无关的运动)，也适用于不定常流动的短一瞬间。3 聚合物流动方程聚合物流动方程3.3 3.3 运动方程运动方程3.3.1 3.3.1 动量与力动量与力动量守恒原理要求动量守恒原理要求流体系统的变化率等于该流体系统的变化率等于该系统上的全部作用力，表达成：系统上的全部作用力，表达
37、成：iimdtdFv)(公式的物理意义为公式的物理意义为质点的动量变化率质点的动量变化率等于质点等于质点所受的外力和所受的外力和。3 聚合物流动方程聚合物流动方程随体导数形式：随体导数形式：iimDtDFv)(1)(1)质量力质量力3.3.2 3.3.2 应力张量应力张量 应力应力通常定义为材料内部单位面积上的响应力。通常定义为材料内部单位面积上的响应力。单位为单位为PaPa或或MPaMPa。流体运动中作用外力分为流体运动中作用外力分为质量力质量力和和表面力表面力。作用于流体质量上的非接触力，于流体内部每个作用于流体质量上的非接触力，于流体内部每个质点上。质点上。3 聚合物流动方程聚合物流动方
38、程zzgzyygyxxgxgdxdydzmgFgdxdydzmgFgdxdydzmgF)()()(设单位质量力设单位质量力mgmg作用于控制体的流体上，作用于控制体的流体上，则各轴线方向的质量力则各轴线方向的质量力:3 聚合物流动方程聚合物流动方程作用于各轴线方向的净表面力：作用于各轴线方向的净表面力：dxdydzzyxFdxdydzzyxFdxdydzzyxFzzyzxzxzyyyxyyzxyxxxx)()()(（2 2）表面力）表面力 为流体通为流体通过接触面而施加在另一部分流体上的过接触面而施加在另一部分流体上的作用力。表现为粘性流动阻力，用应力张量作用力。表现为粘性流动阻力，用应力张量
39、ijij表示。表示。3 聚合物流动方程聚合物流动方程 表面应力的定义：以表面应力的定义：以法线法线n为方向，包围点为方向，包围点M的面元的面元S上的表面力上的表面力F,其极限就是其极限就是M M点处的表面应力点处的表面应力（n)n)表面应力可以分解为表面应力可以分解为法向应力法向应力和和切向应力。切向应力。因为过因为过一点的作用面可以任意方向选取，于是一点出的表面一点的作用面可以任意方向选取，于是一点出的表面应力的大小与方向也就随之改变。应力的大小与方向也就随之改变。3 聚合物流动方程聚合物流动方程 过过M点取微小曲面点取微小曲面S,其法线方向为其法线方向为n，所受作用应力，所受作用应力为为，
40、当过，当过M M点另取一个不同方位的微小曲面点另取一个不同方位的微小曲面S时，设时，设其法线方向为其法线方向为n，则所受作用应力就为，则所受作用应力就为，3 聚合物流动方程聚合物流动方程 物体受力后任一点的应力状态需要由九个分量组成物体受力后任一点的应力状态需要由九个分量组成的一个应力张量来描述，如下图所示。的一个应力张量来描述，如下图所示。zzzyzxyzyyyxxzxyxx3 聚合物流动方程聚合物流动方程 当物体处于平衡状态时，即不发生旋转，根据切应当物体处于平衡状态时，即不发生旋转，根据切应力互等定律。力互等定律。yzzyxzzxyxxy,在上述九个分量中，只有六个是独立的，可表示为：在
41、上述九个分量中，只有六个是独立的，可表示为：zzyzyyxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx即此时应力张量是对称张量。即此时应力张量是对称张量。3 聚合物流动方程聚合物流动方程3.3.33.3.3运动方程运动方程（1 1）推导）推导控制体的质量：控制体的质量：dxdydzmDtDdxdydzDtDmDtDdxdydzDtDmDtDdxdydzDtDmzzyyxx各轴线方向的动量变化率：各轴线方向的动量变化率：3 聚合物流动方程聚合物流动方程各轴线方向分量的动量方程：各轴线方向分量的动量方程：zyxgDtDzyxgDtDzyxgDtDzzyzxzzzzyyyxyyyzxyxxxxx用
42、张量表示上述方程，则有：用张量表示上述方程，则有：ijiijjiiigDtDvxgDtDv或3 聚合物流动方程聚合物流动方程（2 2）运动方程的讨论）运动方程的讨论与与F=maF=ma相比，动量方程是从单位体积推导出来的。相比，动量方程是从单位体积推导出来的。aDtDviFgiji)(m动量守恒方程是动量守恒方程是任何流体流动任何流体流动（包括高聚（包括高聚物流动）的动量守恒方程。物流动）的动量守恒方程。3 聚合物流动方程聚合物流动方程（3 3）运动方程的展开）运动方程的展开对于粘性流动，一点处的应力张量：对于粘性流动，一点处的应力张量：ijijijp即：即：粘性流动与理想流动在表面方向有偏离
43、。粘性流动与理想流动在表面方向有偏离。ppppzzzyzxyzyyyxxzxyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxxij1000100013 聚合物流动方程聚合物流动方程实用得剪切流动得粘性流体动量方程：实用得剪切流动得粘性流体动量方程：ijiipgDtDv展开得此动量方程在直角坐标系种的展开式：展开得此动量方程在直角坐标系种的展开式：x x方向：方向：表面粘性力压力重力体积动量局部动量)()(xyxxpgzvvyvvxvvtvDtDvzxyxxxxxzxyxxxi3 聚合物流动方程聚合物流动方程y y方向：方向：)()(xyxypgzvvyvvxvvtvDtDvzyyyxyyyzyyyxy
44、iz z方向：方向：)()(xyxzpgzvvyvvxvvtvDtDvzzyzxzzzzzyzxzi（4 4）运动方程的物理意义和应）运动方程的物理意义和应用用3 聚合物流动方程聚合物流动方程 流变学动量方程表述为流变学动量方程表述为微元控制体单位体积微元控制体单位体积流体上的局部增长率流体上的局部增长率与与通过微元控制体的单位通过微元控制体的单位体积流体的动量输出量体积流体的动量输出量之和，等于控制体之和，等于控制体上单位体积流体的上单位体积流体的质量力质量力和和表面力表面力之和。之和。-单位体积的质量单位体积的质量相当于力DtDvi称之为称之为惯性力项，惯性力项，反映单位时间流体的动量反映
45、单位时间流体的动量的增量。的增量。3 聚合物流动方程聚合物流动方程p是是静压力项静压力项，反映静压力对动量的贡献；，反映静压力对动量的贡献；是是黏性力项，黏性力项，反映流体的粘性对动量的反映流体的粘性对动量的贡献；贡献；gg是是重力项，重力项，反映重力对动量的贡献。反映重力对动量的贡献。运动方程的物理意义可以看作：运动方程的物理意义可以看作：惯性力惯性力=静压力粘性力重力静压力粘性力重力3 聚合物流动方程聚合物流动方程3.4 3.4 能量方程能量方程 能量方程（energy equationenergy equation）是能量守恒）是能量守恒原理在流体运动中的表现形式。原理在流体运动中的表现
46、形式。3.4.1 3.4.1 流动场的能量方程的推导流动场的能量方程的推导 总能量变化率总能量变化率单位体积的流动能量单位体积的流动能量E E1 1热能净流量热能净流量E E2 2应力做功应力做功E E3 3（1 1）单位体积的流动能量）单位体积的流动能量E E1 1单位时间内从单位时间内从x x方向进入控制体的能量为：方向进入控制体的能量为：3 聚合物流动方程聚合物流动方程dydzEx单位时间内从单位时间内从x x方向流出控制体的能量为：方向流出控制体的能量为：dxdydzxEdydzExx)(沿沿x x轴方向的流入的净流动能量：轴方向的流入的净流动能量：dVxEdxdydzxEdxdydz
47、xEdydzEdydzExxxxx)()()(沿沿y y轴，轴，z z轴方向流入的净能量分别为：轴方向流入的净能量分别为：dVyEy)(dVzEz)(3 聚合物流动方程聚合物流动方程单位时间单位体积的总流动能量：单位时间单位体积的总流动能量：)(1iEE（2 2）热能净流量）热能净流量E E2 2 设沿着设沿着x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴方向在单位时间、轴方向在单位时间、单位面积流入的热流密度（即热通量）为单位面积流入的热流密度（即热通量）为q qx,x,qy,qz沿沿x x轴流出的热通量为：轴流出的热通量为：dxxqxxq沿沿x x轴方向的净热能量为：轴方向的净热能量为：3 聚合物流
48、动方程聚合物流动方程dVxqdydzdxxqqdydzqxxxx)(同理，沿同理，沿y y轴，轴，z z轴方向的净热能量分别为：轴方向的净热能量分别为：dVyqydVzqz单位时间单位体积吸取的净热能量为：单位时间单位体积吸取的净热能量为：)(1iqE（3 3）应力做功）应力做功E E3 3 控制体受到应控制体受到应力张量各个分量的作用在单位力张量各个分量的作用在单位时间内做功，等于时间内做功，等于应力分量应力分量乘以乘以沿应力作用沿应力作用方向上速度变化率方向上速度变化率。3 聚合物流动方程聚合物流动方程流体控制体所做功：流体控制体所做功：dVxzxzyxyxxx)(dVyzyzyyyxyx
49、)(dVzzzzyzyxzx)(jiijjijixx)(3iijjiijvxvE3 聚合物流动方程聚合物流动方程流动场的能量方程的张量表达式：流动场的能量方程的张量表达式：)()()(iijiivqEtE 三个部分组成：三个部分组成：单位体积的质量力的流动功率、单位体积的质量力的流动功率、热通量矢量、表面力的功率（粘性流体的发热）。热通量矢量、表面力的功率（粘性流体的发热）。3.4.2 3.4.2 实用的能量方程（全微分形式的能量方程实用的能量方程（全微分形式的能量方程）EUK单位体积能量变化率：单位体积能量变化率：dtdKdtdUdtdE3 聚合物流动方程聚合物流动方程单位质量流体的动能的变
50、化率：单位质量流体的动能的变化率：)(dtdvvdtdKii（1 1）能量变化率）能量变化率tEtEtE)(EvdtdEtE)(用随体导数的算符运算：用随体导数的算符运算：)(vEtE整理得能量变化率陈述的能量方程：整理得能量变化率陈述的能量方程：3 聚合物流动方程聚合物流动方程)(iijiqdtdE（2 2）能量变化率）能量变化率)(iijiqdtdKdtdU内能变化率陈述的能量方程内能变化率陈述的能量方程:)()(ijiiijivqdtdUiijivqdtdU:iijiivvpqdtdU:3 聚合物流动方程聚合物流动方程（3 3）能量变化率）能量变化率 内能内能U U是温度是温度T T和体
