1、山东省烟台市2020届高三数学4月模拟考试（一模）试题（扫描版）2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. A 8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD三、填空题13. 14. 15. 16. ，四、解答题17解：（1）因为，由正弦定理得 所以, 1分即 ， 2分又，所以所以， 3分而，所以， 所以. 4分 （2）因为 5分 将，代入，得. 6分由余弦定理得，于是， 8分即 ，解得或. 10分18解：设等比数列的公比为（），则，于是， 2分即，解得，（舍去）. 4分若选：则，解得， 6
2、分所以， 8分， 9分于是10分令，解得，因为为正整数，所以的最小值为. 12分若选：则，解得.下同.若选：则，解得. 6分于是， 8分， 9分于是， 10分令，得，注意到为正整数，解得，所以的最小值为. 12分19解：（1）证明：延长交于点,点为的中点，因为分别是棱的中点, 所以是的中位线，所以， 2分又，所以. 同理可证. 3分又，所以平面， 4分因为，所以. 5分（2）连接，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，以与向量垂直的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分设，则， ， . 7分设平面的一个
3、法向量为，则，即，令，得，于是取 9分又平面的一个法向量为 ，则，即，令，得，于是取 11分设平面与平面的所成的角二面角的大小为，则.所以平面与平面的所成的锐二面角的余弦值为. 12分20解：（1）由调查数据，问卷得分不低于分的比率为， 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为. 2分不太了解比较了解男性250330女性150270（2）由题意得列联表如下：3分的观测值 5分因为5.542 所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. 6分（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性人，女性人. 7分随机变量的所有可能取值为，其中，, 9分所以随机变量的分布列为0123 10分
4、,可得，解得. 12分21解：（1）由可得，令，则， 1分当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得最大值， 3分要使，只需，故的取值范围为， 4分显然，当时，有，即不等式在上成立，令，则有，所以，即：； 6分（2）由可得，即，令，则， 8分当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得最大值， 10分又当时，当时， 11分所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解. 12分22解：（1）将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为 3分（2）设.因为以为直径的圆恒过点，所以，即. 4分因为点在椭圆上，所以.（i）将代入椭圆，得，于是,. 5分因为当且仅当，即时，取等号.所以的取值范围为. 7分（ii）存在.定圆的方程为. 假设存在满足题意的定圆，则点到直线的距离为定值.因为，所以直线方程为，整理可得， 8分所以到直线的距离， 9分由（i）知，得，注意到，知.所以， 10分又， 11分所以，因此，直线与圆恒相切. 12分12
