1、现代决策方法现代决策方法第第7 7章章 交互式决策方法交互式决策方法第第7 7章章 交互式决策方法交互式决策方法n7.1 7.1 交互式决策方法概述交互式决策方法概述n7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n7.3 7.3 序贯解法序贯解法n7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法7.1 7.1 交互式决策方法概述交互式决策方法概述n交互式决策方法一般都具有这样的特点：即在问题求解过程中，交互式决策方法一般都具有这样的特点：即在问题求解过程中，这类方法需要决策者与决策分析者不断对话，持续地参与决策过程，这类方法需要决策者与决策分析者不断对话，持续地参与
2、决策过程，在决策者和分析者的相互作用中，逐步获得决策者的偏好结构，最在决策者和分析者的相互作用中，逐步获得决策者的偏好结构，最后得出最满意的决策。由于描述决策者偏好的具体方式不同，如可后得出最满意的决策。由于描述决策者偏好的具体方式不同，如可以用参考点、置换率等，形成了多种不同的决策方法。以用参考点、置换率等，形成了多种不同的决策方法。7.1 7.1 交互式决策方法概述交互式决策方法概述n交互式决策方法的一般步骤如下：交互式决策方法的一般步骤如下：（1 1）明确决策问题，将问题用数学模型描述。）明确决策问题，将问题用数学模型描述。（2 2）对现有决策问题，求出一个决策者比较偏好的可行的非劣解。
3、）对现有决策问题，求出一个决策者比较偏好的可行的非劣解。（3 3）与决策者交换信息，征求决策者对当前解的意见。）与决策者交换信息，征求决策者对当前解的意见。（4 4）如果决策者很满意当前解或决策过程的终止判断被满足，当前解）如果决策者很满意当前解或决策过程的终止判断被满足，当前解即为现有决策问题的最佳调和解，决策过程结束。否则，按下述步骤即为现有决策问题的最佳调和解，决策过程结束。否则，按下述步骤继续进行。继续进行。（5 5）根据决策者的意见，修改决策方法，求出在相应偏好下新的比较）根据决策者的意见，修改决策方法，求出在相应偏好下新的比较偏好的非劣解，返回第（偏好的非劣解，返回第（3 3）步。
4、）步。7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n基本原理基本原理逐步进行法（逐步进行法（Step Method)Step Method)是是BenayounBenayoun提出的，求解线性多目标决提出的，求解线性多目标决策问题最早的利用局部偏好信息的交互式决策方法之一，也是一种策问题最早的利用局部偏好信息的交互式决策方法之一，也是一种最直观、决策者易于理解的对话方法。若目标函数的个数为最直观、决策者易于理解的对话方法。若目标函数的个数为n n，那，那么这种方法可以在不大于么这种方法可以在不大于n n步内得到满意解。这种交互式决策方法步内得到满意解。这种交互式决策方法是以最佳调和解距离理想点是以最佳
5、调和解距离理想点 有最小的组合偏差为前提去寻找出有最小的组合偏差为前提去寻找出这个最佳调和解。这个最佳调和解。*f7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n设线性多目标决策问题的数学模型如下：设线性多目标决策问题的数学模型如下：（7-2-17-2-1）n若用向量形式表示，则为若用向量形式表示，则为 121111max,.1,01,mmmiiiiniiiiimkiikiic xc xc xsta xbkNxim12max,xb.x0nC x C xC xst 7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n求解步骤求解步骤用逐步进行法求解问题的步骤如下用逐步进行法求解问题的步骤如下：（1 1）求理想点，构造支
6、付表；）求理想点，构造支付表；令迭代次数计算器令迭代次数计算器 ，分别对，分别对 求解求解n n个单目标优化问个单目标优化问题：题：（7-2-27-2-2）1q1,jn11max().1,01,mjijiimkiikiifxc xsta xbkNxim7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n求解问题（求解问题（7-1-27-1-2）所得的最优解分别记为）所得的最优解分别记为 ，其对应的目，其对应的目标函数值标函数值 。把以上结果列入支付表。把以上结果列入支付表7-17-1中的中的 ，即表中第即表中第 列元素为目标函数列元素为目标函数 在不同的在不同的 处的值，而第处的值，而第 行的元行的元素为各
7、个目标函数在素为各个目标函数在 处的值。处的值。,1,jxjn*,1,jfjn()jjjjffxijfjxjjx 表表7-1 7-1 支付表支付表 1fjfnf1x*1f1jf1nfjx1jf*jfjnfnx1nfn jf*nf7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n（2 2）对）对 ，形成优化问题，求出比较偏好的非劣解，形成优化问题，求出比较偏好的非劣解 根据前根据前述讨论，其最佳调和解应是下列优化问题的解述讨论，其最佳调和解应是下列优化问题的解：（7-2-37-2-3）问题（问题（7-2-37-2-3）等价于下面的线性规划问题：）等价于下面的线性规划问题：（7-2-47-2-4）1q*111
8、minmax().,1,0,1,jjji nmNki ikiiff xst xXxRa xb kN xim*1min.()1,0jjjs tffxjnxX7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n 在式（在式（7-2-47-2-4）中参数）中参数 是各个目标函数的实际值距其理想值的是各个目标函数的实际值距其理想值的偏差加权后上确界，求得的解偏差加权后上确界，求得的解 将使上确界将使上确界 为极小；权被定义为为极小；权被定义为 （7-2-57-2-5）式中式中 （7-2-67-2-6）x,1,jjn 1jjnjj*min12*2*1min*12*2*1()0()0NjjijjjjjNjjijjjjf
9、fcffffcff如果如果7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n(3)(3)决策者对当前解作出反应，发表意见决策者对当前解作出反应，发表意见决策者对当前方案的目标函数值与理想点进行比较，得出以下三种决策者对当前方案的目标函数值与理想点进行比较，得出以下三种情况：情况：决策者认为当前解非常满意，这样当前解为最佳调和解，决策过决策者认为当前解非常满意，这样当前解为最佳调和解，决策过程结束。程结束。如果决策者认为所有目标均不满意或者如果决策者认为所有目标均不满意或者 ，且决策者仍没有，且决策者仍没有找到他的满意解，说明这种方法不能求出该问题的最佳调和解，决找到他的满意解，说明这种方法不能求出该问题的
10、最佳调和解，决策过程结束。策过程结束。如果决策者认为当前方案的某些目标与理想点相比非常满意，而如果决策者认为当前方案的某些目标与理想点相比非常满意，而另一些目标与理想点相比不满意，则决策者要在这另一些目标与理想点相比不满意，则决策者要在这n n个目标之间进行个目标之间进行权衡，以换取主要目标的改进，使得对各个目标函数值均比较满意。权衡，以换取主要目标的改进，使得对各个目标函数值均比较满意。qn7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n(4)(4)求出新的比较偏好的非劣解求出新的比较偏好的非劣解由决策者的反应形成新的优化问题，新问题的约束条件为由决策者的反应形成新的优化问题，新问题的约束条件为 式中
11、式中 （7-2-87-2-8）相应的各个目标的权重为相应的各个目标的权重为 （7-2-97-2-9）（7-2-107-2-10）第第q q次交互迭代计算求解的问题为次交互迭代计算求解的问题为 式中式中 ，令，令 返回返回 （3 3）继续进行。）继续进行。1qqqXXX*()(),()(),1,qllqlllqXxX f xf xf f xf xjn jl0l1jjnjjjl*11min.(),qjjjqs tffxjJxX100,1,2,qJJl Jn1qq7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n【例例7-17-1】用逐步进行法求解下面的两目标决策问题用逐步进行法求解下面的两目标决策问题 112
12、212121212max()2max()3.6290405f xxxf xxxstxxxxxx7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n（1 1）求解问题）求解问题 得其解为：得其解为：求解问题求解问题 得其解为得其解为 。由上述计算结果得该。由上述计算结果得该 问题的支付表如表问题的支付表如表7-27-2。12121212max().|6,29,04,05f xst xXxRxxxxxx1*1111212(1,5),()11,()8Txff xff x2max().fxs txX2*2222121(4,1),()13,()6Txff xff x7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法 表表7-2 7
13、-2 支付表支付表 （2 2）利用式（）利用式（7-2-67-2-6）和式（）和式（7-2-57-2-5）计算得，）计算得，。这样这样 。形成第一个优化问题为。形成第一个优化问题为求解该问题得求解该问题得 1186131f2f1(1,5)Tx 2(4,1)Tx 120.122,0.17011122212/()0.42,/()0.58 11212min.0.42(112)0.58(133)astxXXaxxaxx*11121(2.8,3.2),()9.2,()11.6Txf xfx7.2 7.2 逐步进行法逐步进行法n（3 3）让决策者将）让决策者将 与与 比较。这里假定决比较。这里假定决策者愿
14、意将目标函数策者愿意将目标函数 的值降低的值降低1 1个单位，即从个单位，即从11.611.6降低到降低到10.610.6。（4 4）形成新的约束集）形成新的约束集 为为 式中，式中，。由此，新的优化问题为。由此，新的优化问题为 求解该问题得求解该问题得 。返回第（返回第（3 3）步。）步。（5 5）如果决策者对当前解）如果决策者对当前解 满意，停止决策过程，满意，停止决策过程，即为最佳即为最佳调和解。否则，返回（调和解。否则，返回（3 3）继续进行。）继续进行。*1121(),()(9.2,11.6)f xf x*(11,13)Tf2()f x2X211XXX121212310.6,29.2
15、Xx Rxxxx212min.112astxXaxx*222(2.3,3.7),()10.6xf x*2x*2x7.3 7.3 序贯解法序贯解法n基本原理基本原理多目标决策问题的序贯解法（多目标决策问题的序贯解法（SEMOP)SEMOP)是一种能被用来求解非线性多是一种能被用来求解非线性多目标决策问题的交互式决策方法。它在每次迭代计算时，根据决策目标决策问题的交互式决策方法。它在每次迭代计算时，根据决策者的意见去修改目标的目的值，并力图使目标函数值对给定的目的者的意见去修改目标的目的值，并力图使目标函数值对给定的目的偏差为极小。基于这种方法，决策者提供的目的值是一个区间，而偏差为极小。基于这种
16、方法，决策者提供的目的值是一个区间，而不是一个固定值，因此作为目的偏差的测度不再能使用前述的范数不是一个固定值，因此作为目的偏差的测度不再能使用前述的范数形式，需要采用目标函数的实际值和相应的区间目的的界值比。形式，需要采用目标函数的实际值和相应的区间目的的界值比。7.3 7.3 序贯解法序贯解法n决策者标定的区间目的及相应的区间测度有决策者标定的区间目的及相应的区间测度有5 5中类型，见如下表中类型，见如下表7-37-3，除第一种情况外，除第一种情况外，都是目标函数的非线性函数。都是目标函数的非线性函数。表表7-3 7-3 区间目的的偏差测度区间目的的偏差测度 jd决策者标定的目的的类型决策
17、者标定的目的的类型偏差测度偏差测度（1）上界（至多）上界（至多）（2）下界（至少）下界（至少）（3）相等相等 （4）在一区间之内）在一区间之内（5）在一区间之外）在一区间之外()jjfxb()/jjjdfxb()jjaf x/()jjjdafx()jjfxA()12()jjjjjfxAdAfx()jjjafxb()()jjjjjjjjbafxdabfxb 1()()jjjjjjjjabafxdbfxb(),()ajjjjjjf xa f xbb7.3 7.3 序贯解法序贯解法n序贯解法是一种迭代的算法，在第序贯解法是一种迭代的算法，在第 次迭代时，不仅要求决次迭代时，不仅要求决策者提供区间目的
18、的值，还要求规定什么目标函数的值应严格处在策者提供区间目的的值，还要求规定什么目标函数的值应严格处在区间之内。令目标的下标集为区间之内。令目标的下标集为 。设。设 为为 的子集，决策的子集，决策者要求在第者要求在第 次迭代的数学规划问题（称为主问题）为次迭代的数学规划问题（称为主问题）为 （7-3-17-3-1）（7-3-27-3-2）上式中的上式中的q q表示第表示第q q次迭代，次迭代，表示第表示第q q次迭代时第次迭代时第j j个目标函数的值个目标函数的值自其区间目的的偏差，自其区间目的的偏差，对于每个对于每个 严格处在标定的区间目的内严格处在标定的区间目的内 。(1,2)q q1,Jn
19、qIJqmin Sqqqjj Jd.xXqstqjdqqJJIqXxX,()qjjIfx7.3 7.3 序贯解法序贯解法n为帮助决策者在迭代过程中调整区间目的，还需要向他提供另外的为帮助决策者在迭代过程中调整区间目的，还需要向他提供另外的信息。这种信息是若干个辅助的子问题得到的。在信息。这种信息是若干个辅助的子问题得到的。在q q次迭代时，辅助次迭代时，辅助问题共有问题共有 个，其中第个，其中第 个辅助问题（个辅助问题（）为）为 （7-3-37-3-3）（7-3-47-3-4）式中式中 对于每个对于每个 严格处在标定的区间目的内，此外严格处在标定的区间目的内，此外 也应严格处在标定的区间目的内
20、也应严格处在标定的区间目的内 。qJlqlJmin Sqqqljj Jj ld.xXqlstqlXx X,()qjj If x()lf x7.3 7.3 序贯解法序贯解法n由以上对辅助问题所作的规定可知，辅助问题和主问题的区别是，由以上对辅助问题所作的规定可知，辅助问题和主问题的区别是，在辅助问题中多了一个约束条件，即规定第在辅助问题中多了一个约束条件，即规定第 个目标，个目标，应严，应严格处在它的区间目的内。把主问题和辅助问题对比就可以知道，对格处在它的区间目的内。把主问题和辅助问题对比就可以知道，对某一个目标，例如第某一个目标，例如第 个目标的区间目的作了调整，将对其它目标个目标的区间目的
21、作了调整，将对其它目标产生何种影响。产生何种影响。lqlJl7.3 7.3 序贯解法序贯解法n序贯解法的计算步骤序贯解法的计算步骤 第一次迭代第一次迭代 令令 ，解以上的主问题和辅助问题：，解以上的主问题和辅助问题：（1 1）主问题）主问题 （7-3-57-3-5）（7-3-67-3-6）（2 2）辅助问题（第）辅助问题（第 个，个，）（7-3-7)7-3-7)(7-3-8)(7-3-8)而而 严格处于其区间目的内严格处于其区间目的内 。1q 111min Snjid1.xXstXl1,ln1111min Snljiid1.xXlst1()llXx X f x7.3 7.3 序贯解法序贯解法n
22、第第q q次迭代解以下主问题和辅助问题：次迭代解以下主问题和辅助问题：主问题主问题 （7-3-97-3-9）（7-3-107-3-10）辅助问题（第辅助问题（第 个，个，）（7-3-11)7-3-11)(7-3-12)(7-3-12)迭代继续进行，直到决策人得到最佳调和解为止。迭代继续进行，直到决策人得到最佳调和解为止。lmin Sqqqjj Jd.xXqstqlJ1min Sqqqljj Jjd.xXqlst7.3 7.3 序贯解法序贯解法n【例例7-27-2】求解以下多目标决策问题：求解以下多目标决策问题：设该问题中两个目标的目的为上界（至多）型的，且它们的上界设该问题中两个目标的目的为上
23、界（至多）型的，且它们的上界分为分为 。由此可定义各目标的偏差测度为由此可定义各目标的偏差测度为 112212min()152min()153f xxxfxxx121212.x6 2x9 0 x4 0 x5stxx12()5,()3f xf x1212()(),53f xfxdd7.3 7.3 序贯解法序贯解法n第一次迭代第一次迭代 主问题为主问题为 求解该问题得解集为求解该问题得解集为 11112min Sdd2121212.xX=6,2x9,0 x4,0 x5stxR xxx1111212(4,2),d1.4,d0.333,S1.733,()7,()1xf xf x7.3 7.3 序贯解法
24、序贯解法（2 2）求解两个辅助问题）求解两个辅助问题 第一个辅助问题为第一个辅助问题为 其解为其解为 第二个辅助问题为第二个辅助问题为 其解为其解为 将上述计算结果送给决策者判断，设决策者最终接受的第二个目标将上述计算结果送给决策者判断，设决策者最终接受的第二个目标 目的值的上界为目的值的上界为4 4。1112min Sd1.xX ()5stf x11112112(2,4),1,1.667,1.667,()5,()5xddSf xf x1121min Sd2.xX ()3stfx11112212(3,3),1.2,1,1.2,()6,()3xddSf xf x7.3 7.3 序贯解法序贯解法n
25、第二次迭代第二次迭代 在第二次迭代中，只要求解主问题为在第二次迭代中，只要求解主问题为 求解该问题得求解该问题得将该结果送给决策者，由于各个目标的实际值与其区间目的值比较将该结果送给决策者，由于各个目标的实际值与其区间目的值比较一致，决策人对一致，决策人对 的方案比较满意，该方案为最佳调和解的方案比较满意，该方案为最佳调和解。如果决策者对该方案不满意，可以修改区间目的值，继续计算。如果决策者对该方案不满意，可以修改区间目的值，继续计算。221min S=d212.xX ()15 34stf xxx2221212(2.5,3.5),1.1,1,1.1,()5.5,()4xddSf xf x(2.
26、5,3.5)x7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法nZiontsWalleniusZiontsWallenius法（以下简称法（以下简称ZWZW法）是法）是ZiontsZionts和和WalleniusWallenius提提出的一种处理一类多目标决策问题的交互式方法，这一类问题有如出的一种处理一类多目标决策问题的交互式方法，这一类问题有如下特征。下特征。（1 1）所有约束是线性的，约束集合构成凸多面体。）所有约束是线性的，约束集合构成凸多面体。（2 2）所有目标函数是线性的或凸的（求极小值）。）所有目标函数是线性的或凸的（求极小值）。（3 3）决
27、策者的价值函数或选好函数不能用公式表达出来，但是，知）决策者的价值函数或选好函数不能用公式表达出来，但是，知道这一函数的形式。这一形式是目标函数线性相加形式，或者是线道这一函数的形式。这一形式是目标函数线性相加形式，或者是线性目标函数的凹函数。性目标函数的凹函数。7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n基本原理基本原理 这一算法的原理可以用线性问题来说明。设有如下线性多目标问题：这一算法的原理可以用线性问题来说明。设有如下线性多目标问题：（7-4-17-4-1）式中式中 假设决策者的选好函数具有加法形式。虽然不知道这一函数的具体方程假设决策者的选好
28、函数具有加法形式。虽然不知道这一函数的具体方程的参数，但是知道这一函数有如下形式：的参数，但是知道这一函数有如下形式：（7-4-27-4-2）12min(),(),()min s.t.0nf xfxfxcxxbXx 1()njijjjfxc x11(,)nnjjjv fff 7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n搜索最优搜索最优 的方法的方法 假设有式（假设有式（7-4-27-4-2）形式的选好函数，则式（）形式的选好函数，则式（7-4-17-4-1）的多目标最优化）的多目标最优化问题将变成如下标量最优化问题：问题将变成如下标量最优化问题：（7-
29、4-37-4-3）由于假设由于假设 ，显然，式（，显然，式（7-4-37-4-3）的最优解是非劣解。这一方法是）的最优解是非劣解。这一方法是建立在如下主要思想之上的。建立在如下主要思想之上的。由于式（由于式（7-4-37-4-3）是一个线性加权问题，其最优点必位于凸多面体（可）是一个线性加权问题，其最优点必位于凸多面体（可行域行域X X）的极点和由极点连接的边和面上。因此，用式（）的极点和由极点连接的边和面上。因此，用式（7-4-37-4-3）搜索选）搜索选好最优解，只需在好最优解，只需在 的所有非劣极点或极射线中进行搜索即可。的所有非劣极点或极射线中进行搜索即可。j11max(,)()nnj
30、jjv fffx.xXst0jX7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n为了进一步说明，设已求得一个非劣极点为了进一步说明，设已求得一个非劣极点 ，其相应的单纯形表如表，其相应的单纯形表如表7-47-4所示。所示。表表7-4 7-4 单纯形表单纯形表 x11112112121111211221222 x x b111BDmmNmmmmmmNmmmNmmNpxaaabxxaaabfcccffcccf 212pmpmpNpfcccf7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n由多目标线性规划的原理，得出如下结论
31、由多目标线性规划的原理，得出如下结论:（1 1）在单纯形表）在单纯形表7-47-4中，如果非基本变量列中，如果非基本变量列j j中，所有判别数中，所有判别数 则将这一非基变量则将这一非基变量 引入基底各目标值均变坏，显然引入基底各目标值均变坏，显然，这一非基变量，这一非基变量 不能引入。不能引入。（2 2）如果有非基变量列）如果有非基变量列j j，其中，其中 不全大于零，即有的为正不全大于零，即有的为正，有的为负，则将这一非基变量引入基底，将使有的目标变坏，有的目，有的为负，则将这一非基变量引入基底，将使有的目标变坏，有的目标变好，如果至少有一个标变好，如果至少有一个 ，则这种非基变量才有可能
32、，则这种非基变量才有可能进入基底。进入基底。0,i=1,2,mijc jxjx,i=1,2,mijc0,i=1,2,mijc 7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n设由单纯形表求得一个非劣极点设由单纯形表求得一个非劣极点 ，这时，由相应的单纯形表的判别，这时，由相应的单纯形表的判别数构造如下线性规划问题：数构造如下线性规划问题：（7-4-47-4-4）若若 ，最优解，最优解 ，则，则 是有效非基变量，将是有效非基变量，将 引入基底，将引入基底，将得到得到 的一个相邻非劣极点。的一个相邻非劣极点。x11 min.-0,1,1 ,0jjnjikkin
33、jjjstcknm0j0jxjx x7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n（3 3）在单纯形表）在单纯形表7-47-4中，判别数中，判别数 表示当将非基变量表示当将非基变量 引入基底时引入基底时，非基变量变化一单位，非基变量变化一单位，的变化率。因此，列向量的变化率。因此，列向量 表示将表示将 引入基底时，各目标函数之间的折中关系，即各目标的改善或变坏的引入基底时，各目标函数之间的折中关系，即各目标的改善或变坏的数量关系。如果决策者愿意进行这一折中，那就表示将数量关系。如果决策者愿意进行这一折中，那就表示将 引入基底，引入基底，决策者的潜在的选好
34、函数值将有所改善。如果决策者不愿意进行这一折决策者的潜在的选好函数值将有所改善。如果决策者不愿意进行这一折中，这就表示将中，这就表示将 引入基底，决策者的潜在的选好函数值变坏。如果引入基底，决策者的潜在的选好函数值变坏。如果决策者对这一折中认为与目前解没有差别，则表示将决策者对这一折中认为与目前解没有差别，则表示将 引入基底，决引入基底，决策者的潜在的选好函数不变。策者的潜在的选好函数不变。ijcjxjf12(,)jjnjc ccjxjxjxjx7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n（4 4）设决策者的潜在的选好函数为设决策者的潜在的选好函数为
35、这一函数的参数这一函数的参数 是不知道的，决策者不能给出具体数值。但是，是不知道的，决策者不能给出具体数值。但是，如果引入如果引入 决策者感到他的选好函数值有所改善，那就表示决策者感到他的选好函数值有所改善，那就表示 （7-4-57-4-5）但是，如果引入但是，如果引入 决策者感到他的选好函数值变坏，那就表示决策者感到他的选好函数值变坏，那就表示 （7-4-67-4-6）如果引入如果引入 ，决策者感到他的选好函数没有变化，那就表示，决策者感到他的选好函数没有变化，那就表示 （7-4-77-4-7）1,11()nmnjjjijjjiv fffc x jjx10njijijxvcx jx10nji
36、jjjxvcx jx10njijjjxvcx 7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n（5 5）根据（）根据（3 3）和（）和（4 4）的两个关键概念，可以给出搜索最优值的方法）的两个关键概念，可以给出搜索最优值的方法如下。引入基底会产生相邻非劣极点的非基变量为有效非基变量，将这如下。引入基底会产生相邻非劣极点的非基变量为有效非基变量，将这一列的折中列向量提供给决策者，决策者经过判断，给出是否愿意进行一列的折中列向量提供给决策者，决策者经过判断，给出是否愿意进行折中的信息。折中的信息。如果愿意进行这一折中（引入这一非基变量如果愿意进行这一折中（引入
37、这一非基变量 ），表示他的选好函），表示他的选好函数有数有 ；如果他不愿意进行这一折中，表示他的选好函数有如果他不愿意进行这一折中，表示他的选好函数有 ；如果他认为这一折中没有什么差别，表示他的选好函数有如果他认为这一折中没有什么差别，表示他的选好函数有 因此，根据决策者是否愿意折中这一选好信息，可以由式（因此，根据决策者是否愿意折中这一选好信息，可以由式（7-4-57-4-5）式（式（7-4-77-4-7）搜索决策者潜在最优权值。）搜索决策者潜在最优权值。jx0jxvx0jxvx0jxvx7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n求解步骤求解步骤（
38、1 1）选择一个适当的权向量）选择一个适当的权向量 ，求解（，求解（7-4-37-4-3），得到一个），得到一个初始非劣极点初始非劣极点 ，设，设 。（2 2）求）求 得所有导致相邻非劣极点的非基列。设这些非基列中尚未得所有导致相邻非劣极点的非基列。设这些非基列中尚未考查过的列下标集合为考查过的列下标集合为 。（3 3）将每一个）将每一个 的折中向量的折中向量 提供给决策者，询问提供给决策者，询问决策者是否愿意进行折中。决策者是否愿意进行折中。（4 4）用单纯形法求解以前循环中构成的式（）用单纯形法求解以前循环中构成的式（7-4-57-4-5）式式 （7-4-77-4-7）的可行解，要求满足的
39、可行解，要求满足 ，。令可行解为。令可行解为 。令。令 返回（返回（2 2）。）。0,1jjqx1q qx()qJ x()qjJ x12(,)jjnjccc0j11njj1q1,1qq q 7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n【例例7-37-3】求解产品生产问题。生产安排的数学模型如下：求解产品生产问题。生产安排的数学模型如下：为了对话需要，假设决策者潜在的选好函数为为了对话需要，假设决策者潜在的选好函数为 112min()0.40.3f xxx 21min()fxx 121212400s.t.2500,x0 xxxxXx1212(,)0.85
40、0.15v ffff 7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n（1 1）任意选择）任意选择 ，构成加权问题，构成加权问题 用单纯形法求解，初始单纯形表用单纯形法求解，初始单纯形表7-57-5所示。所示。(0.5,0.5)w12121max(,)0.5(0.40.3)0.5()v ffxxx 121212400s.t.2500,x0 xxxxXx7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法 表表7-5 7-5 初始单纯形表初始单纯形表 将将 引入基，引入基，退出基，经枢纽变换后的单纯形表退出基，经枢纽变换后的单
41、纯形表7-67-6所示。所示。12343412 x x x x b111040021015000.40.301000.70.150iixxffw f 1x4x7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法 表表7-6 7-6 枢纽变换后的单纯形表枢纽变换后的单纯形表 得到非劣极点得到非劣极点 ，目标值为，目标值为 。令令 。12343112 x x x x b00.510.515010.500.525000.10.210000.50.525000.20.35175iixxffw f11112(,x)(250,0)xx1(100,250)f 1q 7.4 Z
42、ionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n第一循环：第一循环：（2 2）求相邻非劣极点。有两个非基变量）求相邻非劣极点。有两个非基变量 和和 。在在 列中，其判别数为列中，其判别数为 ，全部为正，故将，全部为正，故将 引入基底将使两引入基底将使两个目标均变坏。故引入个目标均变坏。故引入 不能得到非劣极点。不能得到非劣极点。在在 列中，其判别数为列中，其判别数为 ，故可将，故可将 引入基底。为判别将其引入基底。为判别将其引入基底后相邻极点的非劣性，可构造如下线性规划问题。引入基底后相邻极点的非劣性，可构造如下线性规划问题。2x4x4x(0.2,0.5)4x4x2
43、x(0.1,0.5)2x7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n第一循环：第一循环：（2 2）求相邻非劣极点。有两个非基变量）求相邻非劣极点。有两个非基变量 和和 。在在 列中，其判别数为列中，其判别数为 ，全部为正，故将，全部为正，故将 引入基底将使两引入基底将使两个目标均变坏。故引入个目标均变坏。故引入 不能得到非劣极点。不能得到非劣极点。在在 列中，其判别数为列中，其判别数为 ，故可将，故可将 引入基底。为判别将其引入基底。为判别将其引入基底后相邻极点的非劣性，可构造如下线性规划问题。引入基底后相邻极点的非劣性，可构造如下线性规划问题。求解后
44、得求解后得 2x4x4x(0.2,0.5)4x4x2x(0.1,0.5)2x122124.-0.10.50 -0.20.50stwwww12241,w0,i=1,2,0iww1251,w66w 7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n（3 3）对话阶段。决策者的选好函数不能以显式表达，为模拟决策者的）对话阶段。决策者的选好函数不能以显式表达，为模拟决策者的对话过程，假设它的选好函数为对话过程，假设它的选好函数为 将计算得到的数据提供给决策者：目前的最优解是将计算得到的数据提供给决策者：目前的最优解是 。如将。如将 引入基底，则折中向量为引入基底，则
45、折中向量为 ，即，即B B产品增加一件，将使产品增加一件，将使 减小减小0.10.1，使，使 增加增加0.50.5。问决策者是否愿意这一折中。问决策者是否愿意这一折中。决策者回答愿意这一折中，因为决策者判断其选好值将增加。决策者回答愿意这一折中，因为决策者判断其选好值将增加。于是可以构成式（于是可以构成式（7-4-57-4-5），），即 或 1212(,)0.850.15v ffff 1(250,0),(100,250)xf 2x2(0.1,0.5)c 1f2f1122220.850.15(0.85)(0.1)(0.15)(0.5)0.01xvccx 2210i iiwc1 12222()0w
46、cw c7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n（4 4）求解新的权值。由）求解新的权值。由 可行解中取可行解中取 ，令，令 。返回（。返回（2 2）。）。1212(0.10.5)0 w1 w0,i=1,2iwww(0.85,0.15)w2q7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n第二循环第二循环（5 5）求相邻非劣极点。构造加权问题：）求相邻非劣极点。构造加权问题：用单纯形法求解，由表用单纯形法求解，由表7-67-6，将，将 引入基，引入基，退出基，经枢轴变换，得退出基，经枢轴变换，得表表7-77-7
47、。12121max(,)0.85(0.40.3)0.15()v f fxxx121212400.2500,0 xxstxxXxx2x3x7.4 Zionts-Wallenius7.4 Zionts-Wallenius法法n 表表7-7 7-7 枢轴变换后的单纯形表枢轴变换后的单纯形表 得到非劣极点，得到非劣极点，非基变量有非基变量有 和和 ，只有，只有 可以引入基。可以引入基。由于由于 引入导致相邻非劣极点已经研究过，故没有可以再引入的非基引入导致相邻非劣极点已经研究过，故没有可以再引入的非基 变量。所以最优选好解为变量。所以最优选好解为 。12342112 x x x x b01213001011100000.20.11300011100010.020.235125.5iixxffw f 22(100,300),(130,100)xf 3x4x3x3x(100,300),(130,100)xf
