1、第三章第三章 短期聚合风险模型短期聚合风险模型风险理论风险理论第一节 短期聚合风险模型的概念 设N是给定时期中风险事故发生次数，Xi 是第 i次风险事故的损失，则这一时期的总损失为 S=X1+X2+XN 一般情况下，风险事故发生次数N为随机变量，因此短期聚合风险模型表现为一个随机过程。第二节 短期聚合风险模型的特点短期个别风险模型短期个别风险模型与短期聚合风险模型短期聚合风险模型的区别区别：假设有10个风险载体，标号分别为#1、#2、#10。在1年内共发生5次损失事故。第 i 次事故 1 2 3 4 5 损失 0.65 1.24 1.19 0.30 2.47 风险载体标号#7#2#3#5#7
2、试计算总损失量S。第二节 短期聚合风险模型的特点个体模型：S=X1+X2+X10其中 Xi为第i个风险载体的损失量。S=第1号个体损失+第2号个体损失 +第10号个体损失 =0+1.24+1.19+0+0.30 +0+(0.65+2.47)+0+0+0 =5.85聚合模型:S=X1+X2+X5其中 Xi为第i次事故导致的损失量；S=第1次事故损失+第2次事故损失 +第5次事故损失 =0.65+1.24+1.19+0.30+2.47 =5.85教材短期个体风险模型书后练习1（参见课件第2章）X=抛5次硬币获得的正面朝上数；Y=抛X个骰子获得的点数；求：EY和VarY解1：利用短期个体风险模型 理
3、解为：分别抛理解为：分别抛5个硬币，对于所抛的每个硬币，如果朝向就抛一个骰子，个硬币，对于所抛的每个硬币，如果朝向就抛一个骰子，记记下点数下点数W。于是 Y=W1+W2+W3+W4+W5。其中，Wi是第i个硬币朝上时抛骰子所获得的点数。W=IB，I=硬币朝上的值（0或1），q=Pr(I=0)=Pr(I=1)=1/2 B=骰子的点数（16），P(B=j|I=1)=1/6,j=1,2,6 =EB|I=1=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2 EB2|I=1=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6 2=VarB|I=1=35/12 EY=5q=5(7/2)(1/2)=35/4 VarY=5
4、q(1-q)+2q=5(47/4)(1/2)(1/2)+(35/12)(1/2)=1085/48解2：利用短期聚合风险模型481085)25)(1235()45()27()(|43545)211)(21(52521521)1Pr()0Pr(1235,2722511XEZVarXVarZEZXVarEZXEVarXYVarEXYEVarYVarZEXEYEXVarXEIIIIXZVarZEZZYjjXii为硬币朝上值，且为骰子点数，且第三节 总损失S的分布X的k阶原点矩为 pk=EXk；X的矩母为Mx(t)=EetX;N的矩母为MN(t)=EetN;S的矩母为MS(t)=EetS;ES=EES|
5、N=EENi=1Xi|N=ENEXi=ENp1=p1EN;VarS=EVarS|N+VarES|N=ENvarX+VarNEX =ENVarX+VarN(E X)2 =(p2-p12)EN+p12VarN;第三节 总损失的分布)(ln)(|)()(ln11tMMeEtMEeEENeEENeEEeEtMXNtMNNXNitXXttStSSXiNii练习1设理赔次数N服从几何分布，即 Pr（N=n）=pqn;n=0,1,2,其中，p=1-q，0q1。试用个体损失X的矩母表示总损失S的矩母。解MN(t)=EetN=n=0etnPr(N=n)=n=0 p(qet)n =p n=0(1-qet)(qet
6、)n/(1-qet)=p/(1-qet)MS(t)=MN(lnMX(t)=p/(1-q exp(lnMX(t)=p/(1-qMX(t)全概率=1第三节 总损失S的分布S的概率分布为：)Pr()()()()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()(21*0*2010 xXXXxfnfsfnNnNsXXXnNnNsSsSxfnnXNinXnnnS例题某风险载体在确定期间发生0、1、2、3次损失事故的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。损失量答1、2和3的概率分别为0.5、0.4和0.1。计算总损失量的分布。N：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 f
7、N(n)0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x)0.5 0.4 0.1解 N：0,1,2,3 X：1,2,3 N=n 0 1 2 3 X=x 1 2 3 fN(n)0.1 0.3 0.4 0.2 fX(x)0.5 0.4 0.1因N最大为3，X最大为3，所以S最大为9。fS(x)=Pr(S=x)=n=0,1,2,3f*n(x)fN(n)f*n(x)=Pr(X1+X2+Xn=x)=all yx Pr(X1+X2+Xn-1+Xn=x|Xn=y)Pr(Xn=y)=all yx f*(n-1)(x-y)f(y)特别地，f*0(x)=Pr(0=x)当且仅当x=0时,f*0(0)=1 f*1(x)=Pr
8、(X1=x)f*2(x)=Pr(X1+X2=x)f*3(x)=Pr(X1+X2+X3=x)例题（续）xf*0f*1f*2=f*ff*3=f*2*ffS(x)01.00.0 0.00.100010.5 0.50.150020.4 0.40.250.220030.1 0.1 0.400.1250.215040.260.3000.164050.080.3150.095060.010.1840.040870.0630.012680.0120.002490.0010.0002N=n0123-Pr(N=n)0.10.30.40.2-练习1N服从几何分布，即 Pr（N=n）=pqn，n=0,1,2,p=1-
9、q,0q0试证明：MS(t)=p+q p/(p-t)答案tdxeedxxFedxxfeeEtMtqMpqeptMqepqeqeqepqeppqeeEtMxtxtxtxtXXXtMStnntttnntnntntNNX11)()()()()(11)(11)(1(1)()()()(000)(ln000答案(续)0(1)1(1)()(1)(1)(1)(2211xqeeqpxFtppqptppqtpptpppptptpptpqptqMptMpxpxStXS0的矩母指数分布(=p)的矩母第四节 N的分布的选择事故发生次数N的分布 对于EN=VarN的情形,选N服从泊松分布泊松分布;对于VarNEN的情形,
10、选N服从负二项分布负二项分布.（1）对于N服从泊松分布的情形:称S服从复合泊松分布复合泊松分布 ES=EES|N=EX=p1 VarS=VarES|N+EVarS|N =VarN EX+EN VarX =(EX)2VarN+VarXEN =p12+(p2-p12)=p2当S复合泊松时:ES=p1VarS=p2第四节 N的分布的选择当S服从复合 泊松分布时，MS(t)=MN(lnMX(t)=exp(elnMx(t)-1)=exp(MX(t)-1)第四节 N的分布的选择（2）N服从参数为的泊松分布，而的概率密 度为 u(),0 则 EN=EEN|=E；VarN=EVarN|+VarEN|=E+Va
11、r。MN(t)=E(etN)=EEetN|=Eexp(et-1)=M(et-1)练习2对于总损失量S=X1+X2+XN，已知1）X的分布为 x f（x）1 p 2 1-p2）服从泊松分布，参数为1/p；3）当=时，N服从泊松分布，参数为；4）N与Xi 相互独立；5）Var（S）=19/2求：p。答案Var(S)=Var(E(S|)+E(Var(S|)=Var(p1)+E(p2)=(p1)2Var()+p2E()p1=(1)(p)+(2)(1-p)=2-p;P2=(1)2(p)+(2)2(1-p)=4-3p;Var()=1/p;E()=1/p答案（续）(2-p)2(1/p)+(4-3p)(1/p
12、)=19/2p2-16.5p+8=0(p-16)(p-0.5)=0p=16(舍)，p=1/2第五节 X的分布的选择因为)Pr()()()()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()(21*0*2010 xXXXxfnfsfnNnNsXXXnNnNsSsSxfnnXNinXnnnS第五节 X的分布的选择 可见，X的分布的选择将决定卷积运算的难度和复杂程度。所以，应当尽量选择方便卷积运算的分布。通常选择通常选择X为离散型随机变量为离散型随机变量。第六节 复合泊松分布的性质 从上节的讨论看，通常选择X为离散性随机变量将方便运算；对于N服从泊松分布的情况，我们可以有哪些方法计算呢？1）卷积法；2）
13、利用复合泊松分布的一些特性（本节介绍）；3）其他方法。)()(11xFxFimiimii第六节 复合泊松分布的性质 定理：定理：如果S1、S2、Sm是相互独立随机变量，Si是参 数、分布函数Fi(x),(i=1,2,m)的复合泊松分布随机变 量。则，S=S1+S2+Sm 是复合泊松分布随机变量，且其 参数和分布函数分别为定理证明得证。相互独立，、由于，则有为的矩母）中的个体损失量即子集对应的矩母设miiimiiiiiiitMtMmiSSmtMSiiieetMtMSSSetMtMXSxf11 1)(1)(121 1)()()()()()(思考题本定理中，请选择：1）Fi(x)是哪个随机变量的分布
14、函数？2）F(x)是哪个随机变量的分布函数？3）i 是哪个随机 变量的泊松分布参数？4）是哪个随机 变量的泊松分布参数？（A）总损失S （B）Si对应的个体损失X （C）S对应的个体损失X （D）Si 对应的损失次数N （E）S 对应的损失次数N答案本定理中，1）Fi(x)是什么随机变量的分布函数？答：Si对应的个体损失X （B）2）F(x)是哪个随机变量的分布函数？答：S对应的个体损失X （C）3）i 是哪个随机 变量的泊松分布参数？答：Si对应的损失次数N （D）4）是哪个随机 变量的泊松分布参数？答：S对应的损失次数N （E）要点由于总损失S的分布性质通常难以直接描述，所以当S服从复合泊
15、松分布时，就用其对应的损失次数N的参数、个体损失X的分布函数来描述S的分布性质。练习3S1服从复合泊松分布，参数为=3，f(1)=f(2)=f(3)=1/3；S2服从复合泊松分布，参数为=2，f(1)=f(2)=1/2；求S1+S2分布对应的f(2)。答案根据本章定理，f(x)=(i/)fi(x)f(1)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5;f(2)=(3/5)(1/3)+(2/5)(1/2)=2/5;f(3)=(3/5)(1/3)+(2/5)(0)=1/5.练习4S为总损失量，损失次数N的概率分布为：N=n Pr（N=n）0 0.5 1 0.25 2 0.25 损失量服从泊松
16、分布(参数为2)。求S的方差。答案Var(S)=E(N)Var(X)+(E(X)2Var(N)E(N)=(0)(0.5)+(1)(0.25)+(2)(0.25)=0.75 E(N2)=(0)(0.5)+(1)(0.25)+(4)(0.25)=1.25 Var(N)-1.25-(0.75)2=0.6875 E(X)=2 Var(X)=2Var(S)=(0.75)(2)+(2)2(0.6875)=4.25练习5 个体损失量服从正态分布，参数为100和32。灾害次数N的分布为 n Pr（N=n）0 0.50 1 0.20 2 0.20 3 0.10 求总损失量超过100的概率.解答Pr(S100)=
17、Pr(S100|N=0)Pr(N=0)+Pr(S100|N=1)Pr(N=1)+Pr(S100|N=2)Pr(N=2)+Pr(S100|N=3)Pr(N=3)Pr(S100|N=0)=0For N=1,2,3 Pr(S100|N=n)=Pr(X1+X2+Xn100)=Pr(Sn100)=Pr(N(0,1)(100-n)/(n2)1/2)=1-(100-n)/(n2)1/2)=1-(100-100n)/(9n)1/2)Pr(S100|N=1)=1-(0)=0.5Pr(S100|N=2)=1-(-23.57)1.0 (23.574)Pr(S100|N=3)=1-(-38.49)1.0 (23.57
18、4)Pr(S100)=(0.5)(0.2)+(1)(0.2)+(1)(0.1)=0.4练习6先抛一个各侧面且标有数字1、2的均匀硬币，记下出面的数字N，然后抛各侧面标有0、1的N个均匀硬币，记下出现正面的数量S。求S的分布、均值和方差。解N：1，2；X：0，1；S：0，1，2P(S=0)=P(N=1)P(X=0)+P(N=2)P(X=0)P(X=0)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)=3/8P(S=1)=P(N=1)P(X=1)+P(N=2)P(X=0)P(X=1)+P(N=2)P(X=1)P(X=0)=(1/2)(1/2)+(1/2)(1/2)(1/2)+(1/2)(1/
19、2)(1/2)=1/2P(S=2)=P(N=2)P(X=1)P(X=1)=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8E(S)=0(3/8)+1(1/2)+2(1/8)=3/4E(S2)=0(3/8)+1(1/2)+4(1/8)=1Var(S)=1-(3/4)2=7/16或E(N)=1(1/2)+2(1/2)=3/2 E(N2)=1(1/2)+4(1/2)=5/2 Var(N)=5/2-(3/2)2=1/4E(X)=1/2 E(X2)=1/2 Var(X)=1/4E(S)=E(N)E(X)=(3/2)(1/2)=3/4Var(S)=Var(N)E(X)2+E(N)Var(X)=(1/4)(1/2)2
20、+(3/2)(1/4)=7/16 问题设 a1,a2,am 是m个不同的实数；N1,N2,Nm是相互独立的随机变量；Ni(i=1,2,m)是参数为i 的泊松分布随机变量。问：服从什么分布？mmNaNaNaS2211解答miimmeiNNtatYYiiiiiYNaNaNaSetaMeEeEtMNaYPoissonNtiaiiiiii12211)1(.)()()(令设因为答案（续）)()()()()()(1 1)1(1)1(11111111miieeemiemiYmitYmitYYttSSmitiaimiimitiaimitiaitiaiiiimiieeeetMeEeEeEeEtM（代入上页推导结
21、果答案（续）)Pr()()Pr()(,.,2,1)Pr()(1)(11itMSimitatXXiitamiiXaXSetMaXeeEtMmiaXXetMXii其对应个体损失分布为，数为为复合泊松分布，其参则如此使得的概率函数为则令本练习的总结由该例子可以看出，任何离散型总损失量S都可以写成如下形式：S=x1N1+x2N2+xmNm 其中 x1,x2,xm 为个体损失量的离散值；N1,N2,Nm为对应损失量的发生次数；问题对于上页的讨论，如果令 N=N1+N2+Nm那么1）N是什么？2）N服从什么分布？回答N=N1+N2+NmN是总集中损失次数的和，即与S对应的损失次数。而Ni是子集中损失次数的
22、和，即与Si=xiNi对应的损失次数。实际上，S 就是总损失。S=X1+X2+XNS=x1N1+x2N2+x3N3以上两式以不同方式度量总损失。第六节 复合泊松分布的性质定理：对于 S=x1N1+x2N2+xmNm如果S服从复合泊松分布，且其参数为，个体损失概率为 X=x x1 x2 .xm Pr(X=x)p(x1)p(x2).P(xm)则，(1)N1，N2，Nm相互独立；(2)Ni 服从泊松分布，参数为p(xi)，i=1,2,m 定理证明（证明结论2）（1）N的分布：泊松分布，参数为。MN(t)=exp(et-1)（2）Ni的分布：Ni含义是 N次事故中，发生损失量为xi的次数。显然，Ni服
23、从二项分布。但注意N是随机变量，所以实际上Ni在N确定的条件下才服从 二项分布。即 Ni|N=n bin（n，pi）。pi=p(xi)nnqpCnNnNqeptMinnininniinitinNNiiii,.,2,1,)|(Pr)()(|定理证明（只证明第2个结论）于是，)()()(ln()()()|()()1()1()1()ln(|)ln(iiiiiepqepeitiNqepNNitiNNtNNxppPoissonNeeeqepMeEqepEtMENeEEtMtiitiiqteipitiiii到底Ni服从什么分布？回答：Ni以N为条件服从二项分布；Ni独立服从泊松分布；练习7总损失量S服从复
24、合泊松分布，且 S=1N1+2N2+3N3已知(1)ES=56；(2)VarS=126；(3)E(S-E(S)3=314；求：2=E（N2）答案ntnXtnSnnXStMSptMdttMdSESEnfortMtMetMPoissonCompoundSX0)(0)1)(|)(|)(ln)(,.3,2)1)()(ln)()(答案(续）S=1N1+2N2+3N3X=1,2,3 对应概率为f(1),f(2),f(3)根据定理，2=E(N2)=f(2)答案(续）E(S)=p1 Var(S)=p2 E(S-E(S)3=p3 p1=E(X)=1f(1)+2f(2)+3f(3)=56/p2=E(X2)=1f(
25、1)+4f(2)+9f(3)=126/p3=E(X3)=1f(1)+8f(2)+27f(3)=314/f(2)=11=2推论1若x1,x2,xm只取正整数，记i=p(i),i=1,2,则总损失S的概率分布的递归公式为实际上，上限为x和m中的较小者。eNfixfxixfxii)0Pr()0()()(1练习总理赔额S服从复合泊松分布，参数为=1，个体理赔额为1,2的概率分别为1/4,3/4。对于x=0,1,2,计算S的概率分布f(x)=Pr(S=x)解答解法1：利用模型S=X1+X2+XN f(0)=Pr(N=0)=e-1 f(1)=Pr(N=1)Pr(X=1)=(1/4)e-1 f(2)=Pr(
26、N=1)Pr(X=2)+Pr(N=2)Pr(X=1)Pr(X=1)=(25/32)e-1解答解法2：利用模型S=N1+2N2 1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4 f(0)=Pr(N1=0)Pr(2N2=0)=e-1/4e-3/4=e-1 f(1)=Pr(N1=1)Pr(2N2=0)=(1/4)e-1/4e-3/4=(1/4)e-1 f(2)=Pr(N1=0)Pr(2N2=2)+Pr(N1=2)Pr(2N2=0)=e-1/4(3/4)e-3/4+(1/32)e-1/4 e-3/4=(25/32)e-1解答解法3：利用f(x)的递归公式 1=p(1)=1/4;2=p(2)=3/4 f(0)
27、=Pr(N=0)=e-1 f(1)=1f(0)=(1/4)e-1 f(2)=(1/2)1f(1)+2f(0)=(25/32)e-1练习总损失S服从复合泊松分布，参数=5，损失额只能是1或2，且S的分布为 x 0 1 2 f(x)e-5 3.5e-5 7.625e-5计算损失额X的分布。解答3.0)2(625.7)2(5125.6625.7)0()2(5)1()1(521)2(7.0)1(5.3)0()1(5)1()0()()()(555551peepefpfpfpefpfefixfxpxixfxii推论2若x1,x2,xm只取正整数，且损失次数N的分布满足其中a和b为N的分布参数，则总损失S的
28、概率分布为,2,1)1()Pr(nnbanNPnN)0Pr()0()()()()(1Nfixfipxbiaxfxi常见的参数为（a,b）的分布分布Pr(N=n)参数a参数泊松ne-/n!;n=0,1,0二项(mn)pn(1-p)m-n;n=0,1,.-p/(1-p)(m+1)p/(1-p)几何(1-p)np;n=0,1,1-p0负二项(r+n-1n)pr(1-p)n;n=0,1,1-p(r-1)(1-p)练习损失次数服从几何分布，参数p=0.2，损失额X的分布为 x 0 1 2 p(x)0.2 0.3 0.5 计算总损失额S的Pr(S4)。解答380685.0)3()2()1()0()4Pr(
29、041165.0018.05.002018.03.0 2.0)1()2()2()1(8.0)3(09152.0)2.05.0048.03.0(2.0)0()2()1()1(8.0)2(048.02.03.08.0)0()1(8.0)1(2.0)0Pr()0()()(8.0)(0,8.011SSSSSSSSSSSSSxiSSffffSfpfpffpfpffpfpNfixfipxfbpa第七节 总损失量S分布的近似定理：如果S为由和f(x)确定的复合泊松分布，则当时，的分布收敛于标准正态分布。21ppSZ练习8S1服从复合泊松分布，参数1=1，f1(1)=0.75,f1(5)=0.25;S2服从复
30、合泊松分布，参数 2=1，f2(3)=0.5,f2(7)=0.5；S1、S2相互独立。求Pr(S1+S23)答案S=S1+S2，S也服从复合泊松分布，参数为=1+1=2。对应个别损失量的分布为 f(1)=(1/2)(0.75)=3/8 f(3)=(1/2)(0.5)=1/4 f(5)=(1/2)(0.25)=1/8 f(7)=(1/2)(0.5)=1/4Pr(S1+S23)=Pr(S3)=Pr(N=0)+Pr(N=1)Pr(X=1)+Pr(X=3)+Pr(N=2)Pr(X=1)Pr(X=1)+Pr(N=3)Pr(X=1)Pr(X=1)Pr(X=1)答案（续）Pr(S1+S23)=Pr(N=0)
31、+Pr(N=1)Pr(X=1)+Pr(X=3)+Pr(N=2)Pr(X=1)Pr(X=1)+Pr(N=3)Pr(X=1)Pr(X=1)Pr(X=1)Pr(N=0)=e-=e-2 Pr(N=1)=e-=2e-2 Pr(N=2)=2e-/2!=2e-2 Pr(N=3)=3e-/3!=(4/3)e-2 Pr(S1+S23)=e-2+2e-2(3/8+1/4)+2e-2(3/8)2+(4/3)e-2(3/8)3 =0.35208练习9SA、SB相互独立，都为复合泊松分布；(1)A=B=1 (2)fA(1)=1 (3)fB(1)=fB(2)=1/2 F(x)为SA+SB=S的对应个别损失量的分布函数。求F*4(6)答案P*4(6)=Pr(X1+X2+X3+X46)X的分布为：f(1)=(1/2)(1)+(1/2)(0.5)=3/4 f(2)=(1/2)(0)+(1/2)(0.5)=1/4接下来就是4个X的卷积问题答案（续）xf(x)f*2(x)f*3(x)f*4(x)F*4(x)013/421/49/1636/1627/6441/1627/6481/25659/64108/25661/6454/256243/256
