1、 对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变对某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述量来描述.1 例如，研究某地区学前儿童的发育状况，观察他们的身高例如，研究某地区学前儿童的发育状况，观察他们的身高 H 和体重和体重 W，这时，这时，样本空间样本空间 S=e=某地区的全部学前某地区的全部学前儿童儿童，而而 H(e)和和 W(e)是定义在是定义在 S上的两上的两 个随机变量。个随机变量。第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1 二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布一、二维随机变量的定义一、二维随机变量的定义定义：定义：设设 E 是一随机试验，
2、样本空间为是一随机试验，样本空间为 S=e.设设 X=X(e)和和Y=Y(e)是定义在是定义在 S 上的随机变量，由上的随机变量，由 它们构成的向量它们构成的向量(X,Y),叫叫做二维随机向量做二维随机向量 或或 二维随机变量二维随机变量。对对 S 中每个样本点中每个样本点 e，有一有序实数对，有一有序实数对(X(e),Y(e)与它对应。与它对应。Sey ,X e Y ex 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与 X 及及 Y 有关，而且还依赖于有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系，因此逐个地研究这两个随机变量的相互关系，因此逐个地研究 X 或或 Y 的性质还不的性质
3、还不够，还要将够，还要将(X,Y)作为一个整体来研究。作为一个整体来研究。2二、联合分布函数的定义二、联合分布函数的定义.),(,),(,),(的的联联合合分分布布函函数数和和分分布布函函数数，也也称称为为的的为为数数，称称函函任任意意实实数数是是二二维维随随机机变变量量，对对于于设设定定义义YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX ),(yxxy 分布函数分布函数 F(x,y)在在(x,y)处的函数值就是处的函数值就是:随机随机点点(X,Y)落在以点落在以点(x,y)为顶点且位于该点左下为顶点且位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。如图所示方的无穷矩形域内的概率。如图所示.),(22yxxy
4、1x2x2y1y),(12yx),(11yx),(21yx,2121yYyxXxP 算算下下面面利利用用分分布布函函数数来来计计),(),(),(),(,111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 三、分布函数的性质三、分布函数的性质 与一维分布函数类似与一维分布函数类似,F(x,y)具有以下性质具有以下性质:；时时，当，当对任意固定的对任意固定的),(),(,2121yxFyxFxxy ；时时，当，当对任意固定的对任意固定的),(),(,2121yxFyxFyyx ,1),(0).2 yxF,0),(),(yFxFyx，有，有，且对任意固定的且对任意固定的的不减函数，的不
5、减函数，是是yxyxF,),().1.1),(,0),(FF),(yxxy4也右连续，即也右连续，即右连续，关于右连续，关于关于关于yxyxF),().3)0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF11221212111221224).(,),(,),(,)(,)(,)(,)0.x yxyxxyyF x yF x yF xyF xy对于任意，有四、二维离散型四、二维离散型(X,Y)的分布律的分布律 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取的值只有限对或可列的所有可能取的值只有限对或可列对，则称对，则称(X,Y)是离散型随机变量。是离散型随机变量。设设(X,Y)的所有可能取
6、值为的所有可能取值为 ,2,1,),(jiyxji,2,1,jipyYxXPijji记记.,),(,2,1,的联合分布律的联合分布律和和或称其为或称其为的分布律的分布律为离散型随机变量为离散型随机变量称称YXYXjipyYxXPijji 五、二维连续型随机变量五、二维连续型随机变量 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为 F(x,y)，如果存在非负的，如果存在非负的函数函数 f(x,y)使对于任意使对于任意 x,y 有：有：则称则称(X,Y)是是连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量。dudvvufyxFyx),(),(9称称 f(x,y)为随机变量为随机变量(X,Y
7、)的的概率密度概率密度，或称为随机变量，或称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概率密度联合概率密度。(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数 f(x,y)具有以下性质：具有以下性质：;0),().1 yxf GdxdyyxfGYXPxoyG.),(),().3则则平平面面上上的的区区域域，是是设设;1),(),().2 Fdxdyyxf),(yxxy10连连续续，在在点点若若),(),().4yxyxf.),(),(2yxfyxyxF 则则有有2.边缘分布边缘分布12)(),(:),(),(yFxFYXyxFYXYX的的分分布布函函数数分分别别为为和和，的的分分布布函函数数为为设设一一、边边缘缘
8、分分布布函函数数.),()(),(的的边边缘缘分分布布函函数数和和关关于于为为则则分分别别称称YXYXyFxFYX,)(YxXPxXPxFX),(xF),()(yFyFY 同同理理有有：的的边边缘缘分分布布律律二二、离离散散型型),(YX),()(xFxFX xxjijip1,xxiXixXPxF)(又又,2,1,1 ipxXPjiji,2,1,1 jpyYPYiijj的的分分布布律律为为：类类似似可可得得 xxyyijijpyxF),(13,2,1,1 ixXPppijiji记记,2,1,1 jyYPppjiijj.),(),2,1(),2,1(的的边边缘缘分分布布律律和和关关于于为为和和分
9、分别别称称YXYXjpipji 的的边边缘缘概概率率密密度度三三、连连续续型型),(YX),(),(yxfYX的的概概率率密密度度为为设设dxdyyxfxFxFxX ),(),()(dyyxfxfXX),()(的的概概率率密密度度为为 dxyxfyfYY),()(的的概概率率密密度度为为类类似似，.),()()(的的边边缘缘概概率率密密度度、关关于于为为和和分分别别称称YXYXyfxfYXdx)x(fxX 16四四、二二维维均均匀匀分分布布密密度度为为的的概概率率若若其其面面积积为为是是平平面面上上的的有有界界区区域域，设设),(.YXAG .,0,),(,1),(其其它它GyxAyxf上上服
10、服从从均均匀匀分分布布。在在则则称称GYX),().(1),(22xfyxYXX上上服服从从均均匀匀分分布布，求求在在例例：设设 的的密密度度函函数数为为解解：),(YX.,yx,)y,x(f其它01122 dyyxfxfX),()(.,x,xdyxx其其它它01112122112 1-1五五、二二维维正正态态分分布布的的概概率率密密度度为为若若),(YX),(,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 yxyyxxyxf .11,0,0,212121 为为常常数数，且且其其中中记记为为的的二二维维正正态态分分布布，为为服服从从参参数数为为则则称称 ,),(2
11、121YX).,(),(222121 NYX:)y(f),x(fYX得得求求其其求求边边缘缘概概率率密密度度xexexp 19.21)(22222)(2 yYeyf则则有有，结结论论：若若),(),(222121 NYX),(),(222211 NYNX注：注：由联合分布一定能确定边缘分布，但由边缘分布由联合分布一定能确定边缘分布，但由边缘分布不能确定联合分布。不能确定联合分布。课堂练习：课堂练习：备课本备课本46,e)x(f)x(X21212121 一、二维离散型一、二维离散型r.v.的情况的情况:ijijijijjjj p0,p0,PXx,Yy pPXx|Yy ,PYy p i1,2,(3
12、.1)Yyr.v.X 设设称称为为在在的的条条件件下下的的条条件件分分布布律律。ijijjiiiiPXx,Yy pPYy|Xx,PXx pj1,2,(3.2)Xxr.v.Y.称称 为为 在在条条 件件 下下的的 条条 件件 分分 布布 律律1.定义定义)B(P)AB(P)BA(P 120111 ijijijijiPPyYxXP.yYxXP.2.性质性质 PY1|X10.010/0.045 PY2|X10.005 /0.045.PX=1=0.045PY=0X=1=0.030 0.045用表格形式表示为用表格形式表示为:k 0 1 2 PY=k|X=1 6/9 2/9 1/9 )xX(P)yY,x
13、X(PxXyYPijiij 例例1.设设(X,Y)的分布律为的分布律为:Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在求在X=1时时Y的条件分布律的条件分布律.例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3)(1|1)P XYYX-1100.20.1a120.1 0.2b(1|1)0.5PYX已知：0.2(1|1)0.3aP YX又X10.420.6ipjpY0.3 0.5-1100.2 23 (1|1)0.45P XY
14、0.210.3a2a0.1 b=0.3，(2)解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4二、二维连续型二、二维连续型r.v.yYPyY,xXPyYxXP)y(f)y,x(f)yx(fXyY)y(f)y,x(f,)y(f,y).y(fY)Y,X(),y,x(f)Y,X(YYXYYY 的的条条件件概概率率密密度度，记记为为条条件件下下为为在在则则称称固固定定的的若若对对于于的的边边缘缘概概率率密密度度为为关关于于的的概概率率密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量0).yx(FyYxXPXyYdx)y(f)y,x(fdx)yx(fYXxYxYX或或的的条条件件分分布布函函数数，
15、记记为为条条件件下下，的的为为在在称称 定义定义:dy)x(f)y,x(f)xy(F,)x(f)y,x(f)xy(fyXXYXXY 类类似似可可以以定定义义：22X|YY|X2.X,Yxy1,f(x,y)f(y|x).例例设设在在圆圆域域上上服服从从均均匀匀分分布布 求求条条件件概概率率密密度度和和1-1)y(f)y,x(f)yx(fYYX011 )y(fyY时时，当当.,yxy,y其它011121222 .,y,ydxyy其其它它01112122112 .,yx,)y,x(f其它01122 dx)y,x(f)y(fY)x(f)y,x(f)xy(fXXY 011 )x(fxX时时，当当 .,x
16、yx,x其其它它011121222.,yx,)y,x(f其它01122 dy)y,x(f)x(fX .,0,11,12122112其其它它xxxxdy 1-1例例3.设数设数X在区间在区间(0,1)上随机地取值上随机地取值,当观察到当观察到X=x(0 x1)时时,数数Y在区间在区间(x,1)上随机地取值上随机地取值,求求Y的概率密度的概率密度.XY|X 1,0 x1,:,Xf(x)0,Xx,Y1(1-x),xy1,f(y|x)0,.解解 按按题题意意其其它它又又在在条条件件下下的的条条件件分分布布概概率率密密度度其其它它Y|XX 1/(1-x),0 xy1,f(x,y)f(y|x)f(x)0,.故故得得其其它它y0Y 1/(1-x)dx-ln(1-y),0y1.f(y)f(x,y)dx 0,.其其它它xy1y=x
