1、Signals analysis&processing华侨大学机电及自动化学院信号分析与处理第1页，共33页。Xl6.1 相关系数及其性质相关系数及其性质l6.2 互相函数及其性质互相函数及其性质l6.3 相关定理相关定理l6.4 相关分析的应用相关分析的应用第2页，共33页。Xl引言通信系统通信系统雷达系统雷达系统控制系统等控制系统等发送端发送端x(t)接收端接收端y(t)干扰信号干扰信号n(t)+l现象：信号畸变，信号畸变，y(t)=x(t)+n(t)l问题：输出中有无输入？（信号检测）输出中有无输入？（信号检测）输出与输入的依赖关系？（系统性能）输出与输入的依赖关系？（系统性能）l措施：
2、延时域相关分析延时域相关分析第3页，共33页。Xl引言l线性相关两个变量或函数之间的线性关系l非线性相关两变量之间的非线性关系 可转化为线性相关来处理l推广：信号相关两信号之间的相关关系l用途：除噪、提高信噪比、相关检测等x(t)y(t)线性相关线性相关x(t)y(t)非线性相关非线性相关x(t)y(t)不相关不相关第4页，共33页。Xl如果两个信号相似，可用一个信号 y(t)去近似表示另一个信号x(t)。l设x(t)、y(t)能量有限，lx(t)x、xly(t)y、yl零均值化()(0,)xxx tms-()(0,)yyy tms-tx(t)0 xty(t)0y()()()xyex ta y
3、 tx tt=+近似误差近似误差实系数实系数延时延时令：令：x=y=0第5页，共33页。Xtx(t)0 xty(t)0yl近似误差：()()()xyex ta y tx tt=+()()()exyx tx ta y tt=-+l按最小均方差准则：22()()()exyx tx ta y tdtt-轾=-+犏臌2()minex t l求axy，使2()exyx ta2()()()xyy tx ta y tdttt-轾=-+-+犏臌2()()()0 xyy tx t dta y tdttt-+-+=蝌第6页，共33页。X2()()()xyy tx t dtay tdttt-+=+2()()()0
4、xyy tx t dta y tdttt-+-+=蝌22()()()exyx tx ta y tdtt-轾=-+犏臌222min2()()()()()ex t y tdtx tx t dty t dtt-轾+犏犏臌=-2()()()x t y tdty t dtt-+=第7页，共33页。Xl用信号x(t)的能量对最小误差归一化处理：2minmin2()()ex tx t dte-=222()()1()()x t y tdtx t dty t dtt-轾+犏犏臌=-蝌l令：222()()1xyx t y tdtsts-轾+犏犏臌=-平稳过程！平稳过程！常数常数()()()xyyx t y tdt
5、trts s-+=x第8页，共33页。Xl则：2min1()xyert=-()1xyrtl可以证明：xyr 称为相关系数称为相关系数l反映两信号的相关程度反映两信号的相关程度l是延时是延时的函数的函数01xyr信号部分相关信号部分相关0 xyr=信号完全不相关信号完全不相关1xyr=信号完全相关信号完全相关2()xyex tr信号相关程度越好信号相关程度越好相关系数正、负相关系数正、负号的意义号的意义？第9页，共33页。Xl对于功率有限信号/2/21lim()()TTTxyxyx t y tdtTtrts s-=（）l推广到一般情况，将 代入，得()()yy ty tm-()()xx tx t
6、m-第10页，共33页。X周期信号时，周期信号时，T T取取一个周期一个周期/2/21lim()()()TTTxyyx t y tdtTtrts s-+=x/2/21lim()()()()TyxxyTTyx t y tx ty tdtTtmmtm ms s-+-+=x/2/21lim()()TxyTTyx ty tdtTmtms s-+-=x/2/21lim()()()TxyTTxyyx t y tdtTtm mrts s-+-=x第11页，共33页。X小结相关系数计算式l能量有限信号()()()xyxyyx t y tdttm mrts s-+-=xl功率有限信号/2/21lim()()()
7、TxyTTxyyx t y tdtTtm mrts s-+-=x第12页，共33页。Xl相关系数只与 有关/2/2lim()(1)TTTx t y ttTdt-+l定义相关函数/2/2()lim()()TxyTTRx t y tdttt-=+能量有限信号：能量有限信号：/2/21()lim()()TxyTTRx t y tdtTtt-=+功率有限信号：功率有限信号：l相关函数也描述信号之间的相关关系，但有量纲；相关函数也描述信号之间的相关关系，但有量纲；l相关系数为归一化参数，便于应用；相关系数为归一化参数，便于应用；l两个信号在不同延时两个信号在不同延时时相关关系可能不同。时相关关系可能不同
8、。()()xyxyxyyRtm mrts s-=x第13页，共33页。X相关系数与相关函数的比较|xy|Rxy相关性近似误差0完全不相关1001完全相关0（0,1）部分相关(0,1)xyxym ms sxym m)xyxym ms s+(,xyxym ms s-()()xyxyxyyRtm mrts s-=x第14页，共33页。XlRxy()、xy()描述不同延时描述不同延时时两个信号的相关程度时两个信号的相关程度l称称Rxy()为互相关函数为互相关函数;称称xy()为互相关系数为互相关系数当当x(t)=y(t)时，相关函数描述同一信号不同时刻取值的依赖关系时，相关函数描述同一信号不同时刻取值
9、的依赖关系称称Rxx()为自相关函数为自相关函数;称称xx()为自相关系数为自相关系数第15页，共33页。X011022()sin(),()sin()x txty tytwjwj=+=+引例引例（230）：）：求信号求信号x(t)与与 y(t)的互相关函数的互相关函数Rxy()，已知已知/2/21()lim()()TxyTTRx t y tdtTtt-=+解：解：功率有限信号，功率有限信号，T T取两信号的周期的最小公倍数取两信号的周期的最小公倍数/2001122/21()sin()sin()TxyTRx yttdtTtwjwtj-=+分两种情况分两种情况:第16页，共33页。Xl(1)当 时
10、，由正弦信号的正交性：/2001122/21()sin()sin()TxyTRx yttdtTtwjwtj-=+12ww000211()cos()2xyRx ytw tjj=+-()0 xyRt=120www=l(2)当 时：l结论：第17页，共33页。Xl结论：同频相关，不同频不相关Rxy保留两信号的幅值、同频频率、相位差 丢失两信号的初相位当时：无同频分量：Rxy(）xy有同频分量：Rxy()以共同频率作恒幅振荡Rxy()|omax。一般00，描述信号通道时差，用于相关检测Rxy()Ryx(-)()0 xyRt=000211()cos()2xyRx ytw tjj=+-()()xyxyxy
11、yRtm mrts s-=x第18页，共33页。Xl互相关函数可能的图像Rxy()Ryx(-)()yxRttT-T2T-()xyRttTT2TRxy()Ryx(-)Rxy()oxyRmax0第19页，共33页。Xl性质()()xxxxRRtt-=/2/21()lim()()TxxTTRx t x tdtTtt-=+22()(),(0)1xxxxxxxRtmrtrs-=xl对称性：Rxy()Ryx(-)l最大值：222(0)xxxxxRmsy=+=l无周期分量时Rx x()x2 有周期分量时Rx x()周期振荡周期振荡l保留信号的幅值、频率，丢失初相位第20页，共33页。X()xyRtRxy()
12、xyx20的一般图像的一般图像第21页，共33页。Xl研究相关函数与卷积的关系l寻找相关函数的快速运算方法()()()()xyx t yt dtttt-*=-相关：相关：()()()xyRx t yt dttt-=+卷积：卷积：运算过程：都包含位移、乘积、积分运算过程：都包含位移、乘积、积分 卷积多一个翻转卷积多一个翻转第22页，共33页。Xl对于任意的x(t)、y(t)()()()()xyx t yt dtttt-*=-结论：结论：相关可以通过卷积予以计算相关可以通过卷积予以计算()()()xyRx t yt dttt-=+方法：方法：将一个信号先翻转，再与另一信号卷积将一个信号先翻转，再与
13、另一信号卷积()()xydxtxx-=+()()xytt-*工具：工具：FFT()xyRt:tx=-令()()xt yt dtt-=第23页，共33页。X称 为函数为函数x x与与y y的的互能量互能量(功率功率)谱密度谱密度()()()xyRxyttt=-*Q()()XYww-()(),()()x tXy tYww()()()()FTxty tXYww-*-()FTxyRt 若：则：结论：互相关函数与两个信号的互能量谱密度：互相关函数与两个信号的互能量谱密度 是一傅里叶变换对是一傅里叶变换对()()XYww*第24页，共33页。X结论：结论：信号的自相关函数和该信号的自能量谱密度信号的自相关
14、函数和该信号的自能量谱密度 互为傅里叶变换对。互为傅里叶变换对。*()()()FTxxRXXtww 相关定理相关定理21()()2jxxRXedwttwwp-=即2)(X)(E对于自相关函数：()()()FTxyRXYtww*称 为函数为函数x x的的自能量自能量(功率功率)谱密度谱密度2|()|Xw第25页，共33页。Xl帕斯瓦尔公式21(0)()2xxRXdwwp-=2()x tdt-=21()()2jxxRXedwttwwp-=01(0)()()|2xxRx t x tdtttp=-=+221()()2x t dtXdwwp-=蝌 连续信号的帕斯瓦尔公式 信号时域与频域的总能量(功率)相
15、等第26页，共33页。Xl根据相关函数和卷积的关系：()()()FTxyRXYtww*（1）连续信号相关算法()()()()()()()FTIFTxyFTx tXXYRy tYwwwtw*揪井揪（2）离散信号快速相关算法（FFT）()()()()()()()()()FFTIFFTNNNNxyFFTNNx nxnXkXk YkRny nynYk*揪揪揪%取一个整周期取一个整周期Nlx+ly-1y(t)=x(t)自相关函数自相关函数第27页，共33页。Xl除噪降噪l目标源识别l故障分析l相关测速第28页，共33页。Xl如图理想线性时不变系统 y(t)=x(t-t0)，x(t)可测l系统输入输出噪声
16、ni(t)和no(t)为零均值的随机信号lni(t)和no(t)以及它们与输入输出不相关l可以利用相关技术排除噪声。若：若：x(t)x(t)=x(t-t0);ni(t)ni(t)=ni(t-t0);系系 统统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+则：系统输出则：系统输出 y(t)=x(t)+ni(t)+no(t)=x(t-t0)+ni(t-t0)+no(t)第29页，共33页。Xl求输出和输入的相关函数()()()xxxnixnoRRRttt=+()xxRt=()()()xyRE x t y ttt=+00()()()()E x tx ttni ttno tttt=+-+-+00l可见相关函
17、数只包含系统输入与真正输出的信息，与输入输出噪声无关。l当较大时可实现精确测量。Rxx()0t0第30页，共33页。X有目有目标标l雷达探测012Sv t=x(t)y(t)Sx(t)y(t)SRxy()maxt0()xyRt0()|maxxytRtt=0t02v tS=v 电磁波速度v 声波在海水中的速度l水纳探测第31页，共33页。Xl汽车噪声源分析相相 关关分析仪分析仪y(t)拾音器拾音器Rx1y()x1(t)x2(t)振动传感振动传感器器器器振动传振动传感器器感器器Rx1y()maxt1Rx2y()maxt2主噪声源：后轮主噪声源：后轮前轮信道较短前轮信道较短第32页，共33页。Xl鉴别信号周期成分无周期成分，正常状态无周期成分，正常状态有周期成分，故障状态有周期成分，故障状态Rxy()Rxy()检测量：振动、噪声fFRxy()f3f2f1第33页，共33页。
