1、微分中值定理的应用微分中值定理的应用1.微分中值定理微分中值定理 1)罗尔定理罗尔定理2)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理3)柯西中值定理柯西中值定理)(xf在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,且且,ba),(ba()(),f af b)(xf在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,则至少存在一则至少存在一 ,ba),(ba),(ba 使使).)()()(abfafbf )(),(xFxf在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,ba),(ba()0,F x.)()()()()()(FfaFbFafbf 则至少存在一则至少存在一 使使.0)(f),(ba 则至少存在一则至少存在一 使使),(
2、ba 5)三个定理之间的内在联系三个定理之间的内在联系 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理罗尔定理 柯西中值定理柯西中值定理 4)判别判别 的方法的方法 Cxf)()()()()()()(FfaFbFafbf )()()(abfafbf 0)(fxxF)()()(bfaf 0)(xf若若Cxf)(，则，则 6)6)微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用(1)(1)研究函数或导数的性态研究函数或导数的性态(2)(2)证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3)(3)证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论7).7).有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思维逆向思维,
3、设辅助函数辅助函数.一般解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值含两个或两个以上的中值,可用原函数原函数法找辅助函数.多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用柯柯西中值定理西中值定理.必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4)若已知条件中含高阶导数高阶导数,多考虑用泰勒公式泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大适当放大或缩小缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理.5.证明有关中值问题的结论：题型一：证明存在使()0().fA 或常数例例1.1.()0,1
4、f x 在0()1,f x()1,fx)1,0(,.)(f设上可导，且 证明在内必有唯一的使(01),xxxfxF)()(0,1在(0)(0)0,Ff01)1()1(fF(0,1)()0.F证明证明：（存在与唯一性）设上可导，由零点定理，存在，使0)()(21FF(0,1)0)(F01)()(fF，由罗尔定理知，存在，使，即()1,f()1,(01)fxx这与矛盾.练习例例2.设()0,1f x 在上连续，上连续，10()0,f x dx 求证：求证：1212,(0,1),()()0.ff 不同的使证明证明:设设0()(),xF xf x dx1100()()()()f x g x dxF x
5、 g x dx()0,1g x 在上10(0,1)()0,()()0,g xf x g x dx连续可导，在内()(),(0)(1)0F xf x FF则1100()()()()0F x g xF x g x dx10()()0F x g x dx(0,1),c 由积分中值定理得，使得10()()F x g x dx()()(1 0)0F c g c(0,1)()0,g x在内()0F c0,1()ccF xRolle在上对应用定理得，11(0,),()0,cF使22(,1),()0,cF使1212,(0,1),()()0.ff 即 不同的使0()(),xF xf x dx(0)(1)(),F
6、FF c1()0,f即2()0,f即题型二：证明()0()0.ff使或证明思路：1.()0:f使()f xx(1)验证在处取得极值，用费马定理.()f xx(2)验证在包含的闭区间上满足罗尔定理，,()()a bf af b这里关键，需找使(0)2.()0:f使()fx(1)对用费马定理或罗尔定理；,()()(),()a b cf af bf cabc(2)需找三个点使11(,)()0;a bf则使22(,)()0;b cf使12(),fx 对在上用罗尔定理即得结论.例例3.设(),f xa b在上可导，上可导，()()0,fafb且求证：求证：(,),()0.a bf 使证明证明:()0,(
7、)0,fafb不妨设()()()lim0,xaf xf afaxa1(,),xa a由保号性,必有使()()0,f xf axa()(),f xf a即2(,),xbb同理有使()()0,f xf bxb()()()lim0,xbf xf bfbxb()(),f xf b即(),()(),f af bf xa b都不是在上的最大值，由费马定理得，()(,)f xa b则的最大值必在内取得，(,),()max(),a x ba bff x 即使(),f xx又在可导(,),()0.a bf 使(),f xa b在上必有最大值和最小值，(),f xa b在上连续，例例4.设函数 f(x)在 0,3
8、 上连续,在(0,3)内可导,1)3(,3)2()1()0(ffff使,)3,0(.0)(f分析:所给条件可写为1)3(,13)2()1()0(ffff试证必存在 想到找一点 c,使3)2()1()0()(fffcf证证:因 f(x)在0,3上连续,所以在 0,2 上连续,且在 0,2 上有最大值 M 与最小值 m,故Mfffm)2(),1(),0(Mmfff3)2()1()0(由介值定理,至少存在一点 使,2,0c3)2()1()0()(fffcf1,1)3()(fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知,必存在.0)(,)3,0()3,(fc使且例例5.设函数 f(x
9、)具有二阶导数,且 0()lim0,(1)0,xf xfx(0,1),()0.f试证必存在 证证:在 0,1 上满足Rolle定理的条件,()f x使0()lim0,xf xx(0)0,(0)0,ff(0,1),()0,f必存在使()0,(0)()0fxRolleff在上满足定理的条件，(0,)(0,1),()0.f必存在使或 的一部分.()x构造辅助函数的一般方法：构造辅助函数的一般方法：1.将结论改写为方程；2.将方程中的 换成 ；x3.方程的一端就是 或()x()x题型三：证明有关中值的等式成立题型三：证明有关中值的等式成立例例6.设设在在)(xf 1,0内可导内可导,且且,0)1(f证
10、明至少存在一点证明至少存在一点)(f,)1,0(使使上连续上连续,在在)1,0()(2 f证证:设辅助函数设辅助函数)()(2xfxx 显然显然)(x在在 0,1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,故至故至,)1,0(使使0)()(2)(2ff即有即有)(f)(2 f少存在一点少存在一点问题转化为证问题转化为证分析分析0)(2xfx x0)(2)(ff练习练习1 设设 在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,且且)(xf ,0 a),0(a()0.f a 证明存在一点证明存在一点 使使),0(a .0)()(ff证明证明:令令),()(xxfxF 且且 ),0(a )(0)0(aFF 即即
11、,0)(F.0)()(ff由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续,在在 内可导，内可导，)(xF ,0 a),0(a故由罗尔定理知故由罗尔定理知,使使例例7.设设 在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,且且)(xf,a b(,)a b()()0,0.f af ba证明存在一点证明存在一点 使使(,),a b()()0.ff证明证明:令令()(),f xF xx且且 (,),a b()0()F aF b即即,0)(F2()()0.ff由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续,在在 内可导，内可导，)(xF,a b(,)a b故由罗尔定理知故由罗尔定理知,使使()()0.ff故 .,0
12、)(,0)()(baxxfbfaf :证明证明.)()(),(,kffbak 使使存在点存在点对任意的实数对任意的实数 分析分析,)()(kff 要证要证即证即证0)()(kfefekk0)()()(xkxkxxfexfe0)(xkxxfe.0)()(kff微分中值定理微分中值定理且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(babaxf例例8.证证)()(xfexgkx 设设;,)()1(上上连连续续在在则则baxg.0)()()3(bgag;),()()2(内内可可导导在在baxg即即,0 ke由于由于0)()(kfefekk0)()(kff即即.)()(kff 0)(xkxxfe
13、.0)(),(gba使使:证明证明.)()(),(,kffbak 使使存存在在点点对对任任意意的的实实数数且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设,),(,)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfaf 定理定理由由Rolle(1)()(),G xf xx设证明：证明：()0,1G x则在上连续，(1)10,G 又(0.5)0.50,G(0.5,1),()0,G由零点定理知，使得()0,f即().f即 练习练习1.(2)练习练习2.设设 在在 上连续上连续,在在 内可导内可导,且且)(xf,a b(,)a b()()0.f af b证明存在一点证明存在一点 使使(,),a b(
14、)()0.ff证明证明:令令()(),xF xf x e且且 (,),a b()0()F aF b即即,0)(F()()0.fefe由已知条件知由已知条件知 在在 上连续上连续,在在 内可导，内可导，)(xF,a b(,)a b故由罗尔定理知故由罗尔定理知,使使()()0.ff故练习练习3.若若)(xf可导可导,试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点的零点.提示提示:设设,0)()(2121xxxfxf欲证欲证:,),(21xx使使0)()(ff只要证只要证0)()(ffee亦即亦即0)(xxxfe作辅助函数作辅助函数,)()(xfexFx验证验证)(xF在在,
15、21xx上满足上满足Rolle定理条件定理条件.练习4.由罗尔定理由罗尔定理,练习4.()()()()0.fgfg(1)要证()()()()0.fgfg(2)要证()()()0.ffg(3)要证()()()()()0.xxF xfx g xf x g x即证构造辅助函数()()()F xf x g x2()()()()()0.()xxfx g xf x g xF xgx即证构造辅助函数()()()g xF xf x e构造辅助函数()()()f xF xg x()()()()()0.g xxxF xefxf x g x即证总结：总结：通过通过恒等变形恒等变形 例例9.设设 f(x)在在a,b上
16、连续上连续,在在(a,b)内可微内可微,试证存试证存在在 ,(a,b),使使 ).(2)(fbaf 证证 对对 f(x)与与 x2在在a,b上使用柯西中值定理上使用柯西中值定理,存在存在 (a,b),使使,2)()()(22 fabafbf 再对再对 f(x)在在a,b上使用拉格朗日中值定理上使用拉格朗日中值定理,(a,b),使使),()()(fabafbf 上两式相除即得上两式相除即得).(2)(fbaf ,(a,b).练习.例例10.设)(xf在 1,0上连续,在,1)1(,0)0(ff试证对任意给定的正数,ba)1,0(内可导,且存在,)1,0(,证证:转化为证1)()(ffbabbaa
17、因,10baa即)1()0(fbaaf由连续函数定理可知,存在,)1,0(使,)(baaf使.()()ababff因此)(1fbab对)(xf分别在1,0上用拉氏中值定理,得),0(,)()0()(fff)1,(,)1)()()1(fff,1)1(,0)0(ffbaaf)(baa,)(f bab)1)(f1)1()()(ffbabbaa,)()(bafbfa即)1,0(,1.设,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点,),0(使使.cot)()(ff提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证0cos)(sin)(ff即即0sin)(xxxf验证验证)(xF
18、在在,0上满足上满足Rolle定理条件定理条件.设设xxfxFsin)()(练习试证至少存在一点试证至少存在一点使使2.2.),1(e .lncos1sin 则则f(x)在在 1,e 上上,),1(e 使使0)(f lncos1sin 因此因此证证 法一法一 令令满足满足Rolle中值定理条件中值定理条件,xxxlnsinln1sin 分析分析0 xxxflnsinln1sin)(即即0lncos1sin sin1cosln0即3.3.分析分析 将结论交叉相乘得将结论交叉相乘得:.0)(,)()(试试证证明明且且可可导导在在与与若若 xgbaxgxf0)()()()()()(xxgxfbgxf
19、xgaf辅助函数辅助函数F(x)()()()()()(),(gfbggfafba 使得使得)()()()()()()()(bgfgfgfgaf 0)()()()()()()()(bgfgfgfgaf 0)()()()()()()()(xbgxfxgxfxgxfxgaf证证 设辅助函数设辅助函数)(xF:)(满满足足xF;,(1)上上连连续续在在ba,),()2(内内可可导导在在ba)()()()3(bgafaF)(bF 因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.)()()()()()(xgxfbgxfxgaf 微分中值定理微分中值定理)()()(xgafxF )()(bgxf )
20、()(xgxf )()(xgxf ,),(内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba即即 0)()()()()()(bggffafg 得得)()()()()()(gfbggfaf .0)(F使使证毕证毕.微分中值定理微分中值定理)()()(xgafxF )()(bgxf )()(xgxf )()(xgxf )()()()()()(gfgfgaf 0)()(bgf 4.设(),f xa b在上连续，上连续，0,()0,baaf x dx求证：求证：(,),()().aa bf x dxf 使得分析分析:(,),()0,Rollea bG 由定理得，使证明证明:设设()(),xaf x dxG xx
21、()()0af x dxf()()0 xaf x dxxf x()()0 xxaaf x dxxf x dx(),G xa b显然在连续，()(,)G xa b在内可导，2()()(),xaf x xf x dxG xx且()()0G aG b且，2()(),aff x dx 即()().af x dxf即分析分析 将所证等式变形为将所证等式变形为 或或 1)(lnln)()(fabafbf ,ln)(lnln)()(xxxfabafbf可见，应对可见，应对 与与 在在)(xfxln ,ba上应用柯西中值定理上应用柯西中值定理.).(ln)()(fabafbf 5.f(x)在在a,b上连续上连
22、续,在在(a,b)内可导内可导(0 a b),证明证明存在存在 (a,b),使使 证法一证法一 对对 f(x)与与 g(x)=lnx 在在a,b上用柯西中值上用柯西中值定理定理(条件显然满足条件显然满足),得得),(1)(lnln)()(bafabafbf 整理即得所证结果，整理即得所证结果，).(ln)()(fabafbf ,)()()()()()(gfagbgafbf 即即 证法二证法二 令令),(lnln)()()(xfabxafbfx 容易验证容易验证(x)在在 a,b上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件,故存在故存在 (a,b),使使 ()=0,即即).()(ln)()(bafa
23、bafbf 1()()ln()0bf bf afa整理即得整理即得证证6.(0)0,()(0,)ffx设且在上单调增加，证明()(0,)f xx在内为单调增加函数.()()f xxx设，2()()()fx xf xxx则，由lagrange中值定理，()()(0)f xf xf(),fx0 x()(0,)fx在上单调增加，()()ffx，0,()()xf xfx x又，()0,x(),x单增()f xx即单增.7.)()()(.0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxF
24、xaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa ,2)()()()(xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()(dtxftftfxfxFxa即即2)()()()(xftftfxf,0)(xf.)(单调增加单调增加xF,0)(aF又又,0)()(aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即8.8.设()0,)f x在上二阶可导，()(),fxf x求证求证0,().xxf xe时证明证明:设设()(),xF xef x()()(),xF xefxf x则()()(),xG xefxf x令(),F x则单减(0)1,(0)1,
25、ff()()()0,xG xefxf x则(),G x单减()(0)G xG(0)(0)ff0,()()0,fxf x即()()()0,xF xefxf x()()(0)1,xF xef xF0,().xxf xe时9.设()0,)f x在上是导数连续的函数，上是导数连续的函数，(0)0,f()()1,f xfx求证求证()1,0,).xf xex证明证明:0,)x，设设()(),xF xef x()()(),xF xef xfx则(),xF xe则(),xxeF xe即 000()(),xxxxxedxF x dxe dx 000(),xxxxxeF xe 即即1()(0)1xxxeef x
26、fe 1()1xxef xe()1,0,).xf xex即练习练习1.1.设()(,)f x 在有界且导函数连续，,()()1,xf xfx求证求证()1.f x 证明证明:设设()(),xF xe f x()()(),xF xef xfx则(),xF xe则(),xxeF xe即()(),xxxxxe dxF x dxe dx(),xxxxxeF xe即即()lim()()xxxxxxee f xe f xe f xe1()1,f x()1.f x 即10.()(),()0f xg xa bgx若与在上二阶可导 且，()()(2)(,),.()()ffa bgg 至少使()()()()0,(
27、1)(,)()0;f af bg ag ba bg x证明：在内证明：(1)反证法，11(,)()0a bxg x设内存在一点 使，11,()()0a xg ag x则在上有，111(,)()0Rollea xg由定理在内至少存在一点 使，122(,)()0 x bg同理在内也至少存在一点使，1233(,)()0Rolleg 由定理在内至少存在一点使，12()()0gg，()0gx这与矛盾，(,)()0a bg x 故在内10.分析分析 将结论交叉相乘移项得将结论交叉相乘移项得()(),()0f xg xa bgx若与在上二阶可导 且，()()()()0 xf x g xfx g x辅助函数辅
28、助函数F(x)()()(2)(,),.()()ffa bgg 至少使()()()()0,(,)()0;f af bg ag ba bg x证明(1)在内()()()()0fgfg()()()()0 xf x gxfx g x()()()()()()()0()xfx g xfx gf x gxfx gxx(2)设辅助函数设辅助函数)(xF:)(满满足足xF;,(1)上上连连续续在在ba,),()2(内内可可导导在在ba(3)()0F a)(bF 因此因此F(x)满足满足Rolle定理的条件定理的条件.()()()()f x g xfx g x)(xF ()()()()f x gxfx g x,)
29、,(内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba.0)(F使使()()()()0fgfg即()()(,),.()()ffa bgg 因此至少使11.设(),f xa b在上连续，上连续，221(),()(),2baf aaf x dxba求证：求证：(,),a b 使得证明证明:(,)(,),()0,Rollea ca bF 由定理得，使221()()2baf x dxba由得，()0baf xx dx(,),ca b 由积分中值定理得，使得()()()0baf xx dxf cc ba(),(,)F xa ba b且在上连续，在内可导，()()0F aF c则，()()1()xF xefxf x
30、x()()1.ff即(,)a b在内可导，()()1.ff()0(),f ccacb于是取辅助函数()()xF xef xx()()1()0,Feff 12.设()0,1f x 在上连续，上连续，1100()(),f x dxxf x dx且求证：求证：0(0,1),()0.f x dx 使得分析分析:(0,1),()0,RolleF 由定理得，使得证一证一:设设0()()(),xF xxt f t dt0()0f x dx0()0 xf x dx0(),()()xF xF xf x dx寻找使()0,1F x显然在连续，()(0,1)F x 在可导，0()()()()xF xf t dtxf
31、 xxf x且(0)(1)0FF且，0()0,f t dt即0()0.f x dx即00()()(),xxF xxf t dttf t dt即0()xf t dt12.设()0,1f x 在上连续，上连续，1100()(),f x dxxf x dx且求证：求证：0(0,1),()0.f x dx 使得(0,1),由积分中值定理得，使得证二证二:设设0()(),xF xf x dx10(1)()Ff x dx(0)0()()FF xf x则，0()()0.Ff x dx即1100()()xF xF x dx10()xF x dx10(1)()FF x dx10()0F x dx10()()(1 0)()F x dxFF13.14.14.15.
