1、专题四 数列第一讲 等差、等比数列的概念与性质一、主干知识一、主干知识1.1.等差数列的定义：等差数列的定义：aan n 为等差数列为等差数列_(nN_(nN*，d d为常数为常数).).2.2.等比数列的定义：等比数列的定义：aan n 为等比数列为等比数列_(_(其中其中nNnN*,a,an n0,q0,q为不为零为不为零的常数的常数).).a an+1n+1-a-an n=d=dn 1naqa3.3.等差、等比中项：等差、等比中项：(1)(1)若若x,A,yx,A,y成等差数列成等差数列A A为为x x，y y的等差中项的等差中项2A=_.2A=_.(2)(2)若若x,G,yx,G,y成
2、等比数列成等比数列G G为为x,yx,y的等比中项的等比中项G G2 2=_.=_.4.4.数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n与通项与通项a an n的关系式：的关系式：a an n=x+yx+yxyxy1S,n1,_,n2.S Sn n-S-Sn-1n-1 二、必记公式二、必记公式等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式a an n=_=_=a=am m+_(n,mN+_(n,mN*)a an n=_=a=_=am m_(n,mN_(n,mN*)前前n n项和项和公式公式S Sn n=_=_=_=_S Sn n=1nn aa21n n1nad2a a1
3、 1+(n-1)d+(n-1)d(n-m)d(n-m)da a1 1q qn-1n-1q qn-mn-m11nna,q1,aa q_,q 11 qn1a 1 q1 q1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷改编改编)等比数列等比数列a an n的前的前n n项和项和为为S Sn n，已知，已知S S3 3=a=a2 2+10a+10a1 1，a a5 5=9=9，则，则a a1 1=_.=_.【解析【解析】由由S S3 3=a=a2 2+10a+10a1 1,得得a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=a=a2 2+10a+10a1 1,即即a a3 3=9a=9a1 1,即即a
4、 a1 1q q2 2=9a=9a1 1,解得解得q q2 2=9,=9,又因为又因为a a5 5=9,=9,所以所以a a1 1q q4 4=9,=9,解得解得a a1 1=答案：答案：1.9192.(20132.(2013安徽高考改编安徽高考改编)设设S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前n n项和，项和，S S8 8=4a=4a3 3,a,a7 7=2 2，则，则a a9 9=_.=_.【解析【解析】由由S S8 8=4a=4a3 38a8a1 1+d=4+d=4(a(a1 1+2d);+2d);由由a a7 7=-2=-2a a1 1+6d=-2,+6d=-2,联立解得联
5、立解得a a1 1=10,d=-2,=10,d=-2,所以所以a a9 9=a=a1 1+8d=10-16=-6.+8d=10-16=-6.答案：答案：-6-68 723.(20133.(2013江西高考改编江西高考改编)等比数列等比数列x x，3x+33x+3，6x+66x+6，的第四的第四项等于项等于_._.【解析【解析】因为等比数列的前三项为因为等比数列的前三项为x x，3x+33x+3，6x+66x+6，所以，所以(3x+3)(3x+3)2 2=x(6x+6)=x(6x+6)，即即x x2 2+4x+3=0+4x+3=0，解得，解得x=-1x=-1或或x=-3.x=-3.当当x=-1x
6、=-1时，时，3x+3=03x+3=0不合题意，舍去不合题意，舍去.故故x=-3.x=-3.此时等比数列的前三项为此时等比数列的前三项为-3-3，-6-6，-12.-12.所以等比数列的首项为所以等比数列的首项为-3-3，公比为，公比为2 2，所以等比数列的第四项为，所以等比数列的第四项为-3-32 24-14-1=-24.=-24.答案：答案：-24-244.(20134.(2013南通模拟南通模拟)各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列aan n 中，中，a a2 2-a-a1 1=1,=1,当当a a3 3取最小值时，数列取最小值时，数列aan n 的通项公式的通项公式a an n
7、=_.=_.【解析【解析】设公比为设公比为q,q,依题意依题意a a1 1q-aq-a1 1=1,a=1,a1 1=(q1),=(q1),a a3 3=a=a1 1q q2 2=(当且仅当当且仅当q=2q=2时取等号时取等号)，a a1 1=1,=1,所以所以a an n=2=2n-1n-1.答案：答案：2 2n-1n-11q122q12 q11q1q124q1q1q1 5.(20135.(2013北京高考北京高考)若等比数列若等比数列aan n 满足满足a a2 2a a4 4=20=20，a a3 3a a5 5=4040，则公比，则公比q=_q=_；前；前n n项和项和S Sn n=_.
8、=_.【解析解析】所以所以a a2 2+a+a4 4=2a=2a1 1+8a+8a1 1=20,=20,所以所以a a1 1=2=2，答案：答案：2 22 2n+1n+12 23524aa40q2aa20，nn 1n2(1 2)S22.1 26.6.等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,若若S S3 3+3S+3S2 2=0,=0,则公比则公比q=q=.【解析【解析】由由S S3 3=-3S=-3S2 2可得可得a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=-3(a=-3(a1 1+a+a2 2),),即即a a1 1(1+q+q(1+q+q2 2)=-3a)=-3a
9、1 1(1+q)(1+q)化简整理得化简整理得q q2 2+4q+4=0,+4q+4=0,解得解得q=-2.q=-2.答案：答案：-2-2热点考向热点考向 1 1 等差等差(比比)数列的基本运算数列的基本运算【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013新课标全国卷新课标全国卷改编改编)设等差数列设等差数列aan n 的的前前n n项和为项和为S Sn n,若若S Sm-1m-1=-2,S=-2,Sm m=0,S=0,Sm+1m+1=3,=3,则则m=_.m=_.(2)(2013(2)(2013湖北高考湖北高考)已知等比数列已知等比数列 a an n 满足：满足：|a|a2 2-a-a3
10、 3|=10,a|=10,a1 1a a2 2a a3 3=125=125求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式;是否存在正整数是否存在正整数m,m,使得使得 若存在若存在,求求m m的最的最小值小值;若不存在若不存在,说明理由说明理由12m1111aaa？【解题探究【解题探究】(1)a(1)an n与与S Sn n的关系是什么的关系是什么?提示：提示：a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1(n2)(n2)(2)(2)怎样求等比数列怎样求等比数列aan n 的首项的首项a a1 1和公比和公比q?q?提示：提示：把已知条件用把已知条件用a a1 1,q,q表示出来表示出来,解
11、方程解方程(组组)即可即可求求 的关键点的关键点()()如何判断数列如何判断数列 的类型的类型?提示：提示：可根据可根据a an n先求出先求出 再判断数列类型再判断数列类型()()怎样确定怎样确定 与与1 1的关系的关系?提示：提示：根据根据 的表达式判断的表达式判断mn 1n1an1an1a，mn 1n1amn 1n1a【解析【解析】(1)(1)由已知得，由已知得，a am m=S=Sm m-S-Sm-1m-1=2,a=2,am+1m+1=S=Sm+1m+1-S-Sm m=3=3，因为数列因为数列aan n 为等差数列，所以为等差数列，所以d=ad=am+1m+1-a-am m=1=1，又
12、因为，又因为S Sm m=0 =0，所以，所以m(am(a1 1+2)=0+2)=0，因为，因为m0m0，所以，所以a a1 1=-2=-2，又又a am m=a=a1 1+(m-1)d=2+(m-1)d=2，解得，解得m=5m=5答案：答案：5 51mm aa2(2)(2)设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q,q,则由已知可得则由已知可得解得解得 或或故故a an n=3 3n-1n-1，或，或a an n=-5=-5(-1)(-1)n-1n-1331211a q125,a qa q10,15a,3q31a5,q1,53若若a an n=3 3n-1n-1，则，则故故 是首项为
13、是首项为 公比为公比为 的等比数列，的等比数列，从而从而若若a an n=(=(5)5)(1)1)n n1 1，则，则故故 是首项为是首项为 公比为公比为1 1的等比数列，的等比数列，53n1n13 1()a5 3，n1a35，13mmmn 1n311()1919531()11a1031013n1n111a5，n1a15，从而从而故故综上，对任何正整数综上，对任何正整数m m，总有，总有故不存在正整数故不存在正整数m m，使得，使得 11成立成立mn 1n1,m2k 1,kN*,15a0,m2k,kN*mn 1n11amn 1n11a12m111aaa【方法总结【方法总结】等差等差(比比)数列
14、基本运算中的关注点数列基本运算中的关注点(1)(1)基本量基本量.在等差在等差(比比)数列中数列中,首项首项a a1 1和公差和公差d(d(公比公比q)q)是两个基本量是两个基本量.(2)(2)解题思路解题思路.求公差求公差d(d(公比公比q):q):常用公式常用公式a an n=a=am m+(n+(nm)d(am)d(an n=a=am mq qn nm m););列方程组列方程组:若条件与结论的联系不明显时若条件与结论的联系不明显时,常把条件转化为常把条件转化为关于关于a a1 1和和d(qd(q)的方程组求解的方程组求解,但要注意消元及整体计算但要注意消元及整体计算,以减少以减少计算量
15、计算量.【变式训练【变式训练】设递增等差数列设递增等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,已知已知a a3 3=1,a=1,a4 4是是a a3 3和和a a7 7的等比中项的等比中项.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)求数列求数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n.【解析【解析】(1)(1)在递增等差数列在递增等差数列aan n 中，设首项为中，设首项为a a1 1，公差为，公差为d d(d(d0),0),因为因为224371131aa a,a3d1a6d,a1a2d1,解得解得所以所以a an n=-3+(n-1)=-3+
16、(n-1)2=2n-5.2=2n-5.(2)(2)所以所以S Sn n=n=n2 2-4n.-4n.11a3,a1.d2d0，或舍去2nn32n5Sn4n,2 热点考向热点考向 2 2 等差等差(比比)数列的性质数列的性质【典例典例2 2】(1)(2013(1)(2013天津模拟天津模拟)等差数列等差数列aan n 中中,如果如果a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=39,a=39,a3 3+a+a6 6+a+a9 9=27,=27,数列数列aan n 前前9 9项的和为项的和为_._.(2)(2013(2)(2013三门峡模拟三门峡模拟)在等比数列在等比数列aan n 中，若中，若a a
17、3 3a a5 5a a7 7a a9 9a a1111=243,=243,则则 的值为的值为_._.2911aa【解题探究【解题探究】(1)(1)根据根据a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=39=39能求的项是能求的项是_,根据根据a a3 3+a+a6 6+a+a9 9=27=27能求的项是能求的项是_._.(2)(2)由由a a3 3a a5 5a a7 7a a9 9a a1111=243=243可求的项是可求的项是_，a a9 92 2与与a a1111之间的关系是之间的关系是_._.a a4 4a a6 6a a7 7a a9 92 2=a=a7 7a a1111【解析【解析
18、】(1)(1)由由a a1 1+a+a4 4+a+a7 7=39,=39,得得3a3a4 4=39,a=39,a4 4=13.=13.由由a a3 3+a+a6 6+a+a9 9=27,=27,得得3a3a6 6=27,a=27,a6 6=9.=9.所以所以答案：答案：9999194699 aa9 aa9139S99.222(2)(2)在等比数列在等比数列aan n 中，中，a a3 3a a5 5a a7 7a a9 9a a1111=243.=243.因为因为a a3 3a a1111=a=a5 5a a9 9=a=a7 72 2，所以所以a a7 75 5=243,=243,所以所以a
19、a7 7=3.=3.结合等比中项的性质可知结合等比中项的性质可知答案答案：3 329711aa3.a【互动探究【互动探究】本例题本例题(1)(1)中条件不变中条件不变,试求试求a a2 2+a+a5 5+a+a8 8的值的值.【解析【解析】由本题解析知由本题解析知a a4 4=13,a=13,a6 6=9,=9,所以所以a a2 2+a+a5 5+a+a8 8=3a=3a5 5=4633aa13933.22【方法总结【方法总结】等差等差(比比)数列的性质盘点数列的性质盘点类型类型等差数列等差数列等比数列等比数列项的项的性质性质2a2ak k=a=am m+a+al(m,k,(m,k,lNN*且
20、且m,k,m,k,l成等差数列成等差数列)a ak k2 2=a=am ma al(m,k,(m,k,lNN*且且m,k,m,k,l成等差数列成等差数列)a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q(m,n,p,qN(m,n,p,qN*,且且m+n=p+q)m+n=p+q)a am ma an n=a=ap pa aq q(m,n,p,(m,n,p,qNqN*且且m+n=p+q)m+n=p+q)类型类型等差数列等差数列等比数列等比数列和的和的性质性质当当n n为奇数时：为奇数时：当当n n为偶数时：为偶数时：=q(=q(公比公比)依次每依次每k k项的和项的和:S:Sk k,S S2
21、k2k-S-Sk k,S,S3k3k-S-S2k2k,构成等构成等差数列差数列依次每依次每k k项的和项的和:S:Sk k,S,S2k2k-S Sk k,S,S3k3k-S-S2k2k,构成等比数构成等比数列列(k(k不为偶数且公比不为偶数且公比qq-1)-1)nn 12SnaSS偶奇【变式备选【变式备选】(2013(2013南京模拟南京模拟)设数列设数列aan n 是公差不为是公差不为0 0的等的等差数列，差数列，S Sn n为其前为其前n n项和，若项和，若a a1 12 2+a+a2 22 2=a=a3 32 2+a+a4 42 2,S,S5 5=5=5，则，则a a7 7的值为的值为_
22、._.【解析【解析】设设aan n 的公差为的公差为d,d,则则d0.d0.因为因为a a1 12 2+a+a2 22 2=a=a3 32 2+a+a4 42 2,所以所以a a3 32 2-a-a1 12 2+a+a4 42 2-a-a2 22 2=0.=0.即即(a(a3 3-a-a1 1)(a)(a3 3+a+a1 1)+(a)+(a4 4-a-a2 2)(a)(a4 4+a+a2 2)=0,)=0,2d(a2d(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4)=0.)=0.又因为又因为d0d0，所以，所以a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=0=0，S S5 5=
23、5,a=5,a5 5=5.=5.S S5 5=5a=5a3 3=5,=5,所以所以a a3 3=1.=1.而而2a2a5 5=a=a7 7+a+a3 3，所以，所以a a7 7=9.=9.答案：答案：9 915335 aa5 aa22热点考向热点考向 3 3 等差等差(比比)数列的判定与证明数列的判定与证明【典例【典例3 3】(2013(2013无锡模拟无锡模拟)已知各项均为正数的两个数列已知各项均为正数的两个数列aan n 和和bbn n 满足：满足：(1)(1)设设 求证：数列求证：数列 是等差数列是等差数列.(2)(2)若数列若数列aan n 是等比数列，试证其公比等于是等比数列，试证其
24、公比等于1.1.*nnn 122nnaba,nN.ab*nn 1nbb1,nNa，2nnb()a【解题探究【解题探究】(1)(1)要证数列要证数列 是等差数列是等差数列,只需用定义法证明只需用定义法证明 .(2)(2)证明公比等于证明公比等于1 1的切入点的切入点:三者的大小关系是三者的大小关系是 ;2nnb()a22n 1nn 1nbb()()aa常数22nn22nnnnab,a b,ab222nn22nnnnababab2根据根据得到得到a an+1n+1的范围是的范围是 ;本题直接证明不易证本题直接证明不易证,故由故由想到可用想到可用_法证明等比数列法证明等比数列aan n 的公比等于的
25、公比等于1.1.nnn 122nnab1a2ab反证反证【证明【证明】(1)(1)因为因为所以所以所以所以所以所以所以数列所以数列 是以是以1 1为公差的等差数列为公差的等差数列.nn 1nbb1,a nnn 1n 1222nnnnabba.bab1()a2n 1nn 1nbb1().aa22222*n 1nnnn 1nnnbbbb()()(1()()1 nN.aaaa2nnb()a(2)(2)因为因为a an n0,b0,bn n0,0,所以所以 (*)，设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q，由，由a an n0 0知知q q0 0，下面用反证法证，下面用反证法证明明q=1
26、.q=1.若若q q1 1则则所以当所以当 时，时，22nn22nnnnababab.2nnn 122nnab1a2ab212aaa2q，q12nloga 与与(*)矛盾矛盾.若若0 0q q1,1,则则所以当所以当 时，时，a an+1n+1=a=a1 1q qn n1 1，与，与(*)矛盾矛盾.所以综上所述，所以综上所述，q=1.q=1.nn 11aa q2，212aaa1q，q11nloga【方法总结【方法总结】判断和证明数列是等差判断和证明数列是等差(比比)数列的三种方法数列的三种方法(1)(1)定义法：对于定义法：对于n1n1的任意自然数，验证的任意自然数，验证 为同为同一常数一常数
27、.(2)(2)通项公式法通项公式法.若若a an n=a=a1 1+(n-1)d=a+(n-1)d=am m+(n-m)d+(n-m)d或或a an n=kn+b(nN=kn+b(nN*),),则数列则数列aan n 为等为等差数列差数列;若若a an n=a=a1 1q qn-1n-1=a=am mq qn-mn-m或或a an n=p=pq qkn+bkn+b(nN(nN*),),则数列则数列aan n 为等比数列为等比数列.n 1n 1nnaaa()a或(3)(3)中项公式法中项公式法.若若2a2an n=a=an-1n-1+a+an+1n+1(nN(nN*,n2),n2),则数列则数列
28、aan n 为等差数列为等差数列;若若a an n2 2=a=an-1n-1a an+1n+1(nN(nN*,n2),n2),则数列则数列aan n 为等比数列为等比数列.【变式训练【变式训练】已知数列已知数列aan n 中中,S,Sn n是其前是其前n n项和项和,并且并且S Sn+1n+1=4a=4an n+2(n=1,2,+2(n=1,2,),a),a1 1=1,=1,(1)(1)设设b bn n=a=an+1n+1-2a-2an n(n=1,2,(n=1,2,),),求证求证:数列数列bbn n 是等比数列是等比数列.(2)(2)设设c cn n=(n=1,2,=(n=1,2,),),
29、求证求证:数列数列ccn n 是等差数列是等差数列.(3)(3)求数列求数列aan n 的通项公式及前的通项公式及前n n项和项和.nna2【解析【解析】(1)(1)由由S Sn+1n+1=4a=4an n+2,S+2,Sn+2n+2=4a=4an+1n+1+2,+2,两式相减两式相减,得得S Sn+2n+2-S Sn+1n+1=4(a=4(an+1n+1-a-an n),),即即a an+2n+2=4a=4an+1n+1-4a-4an n,所以所以a an+2n+2-2a-2an+1n+1=2(a=2(an+1n+1-2a-2an n).).又又b bn n=a=an+1n+1-2a-2an
30、 n,所以所以b bn+1n+1=2b=2bn n 已知已知S S2 2=4a=4a1 1+2,a+2,a1 1=1,a=1,a1 1+a+a2 2=4a=4a1 1+2,+2,解得解得a a2 2=5,b=5,b1 1=a=a2 2-2a-2a1 1=30=30 由和得由和得,数列数列bbn n 是首项为是首项为3,3,公比为公比为2 2的等比数列的等比数列,且且b bn n=3=32 2n-1n-1.(2)(2)因为因为所以所以=故数列故数列ccn n 是首项为是首项为 公差为公差为 的等差数列，的等差数列，且且nnnac(n1,2,)2，n 1nn 1nn 1nn 1nn 1aaa2ac
31、c222n 1n11n 1n 1ba3 231.c,22422又12，n31cn.4434(3)(3)因为因为所以所以当当n2n2时时,S,Sn n=4a=4an-1n-1+2=2+2=2n-1n-1(3n-4)+2;(3n-4)+2;当当n=1n=1时时,S,S1 1=a=a1 1=1=1也适合上式也适合上式.综上可知综上可知,数列数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=2=2n-1n-1(3n-4)+2.(3n-4)+2.nnnna31c,cn,244又n 2nnna3n1,a(3n1)2.244【典例【典例】已知数列已知数列a a1 1,a,a2 2,a,a3030,其中其中
32、a a1 1,a,a2 2,a,a1010是首项为是首项为1,1,公公差为差为1 1的等差数列的等差数列;a;a1010,a,a1111,a,a2020是公差为是公差为d d的等差数的等差数列列;a;a2020,a,a2121,a,a3030是公差为是公差为d d2 2的等差数列的等差数列(d0).(d0).(1)(1)若若a a2020=40,=40,求求d.d.(2)(2)试写出试写出a a3030关于关于d d的关系式的关系式,并求并求a a3030的取值范围的取值范围.(3)(3)续写已知数列续写已知数列,使得使得a a3030,a,a3131,a,a4040是公差为是公差为d d3
33、3的等差数列的等差数列,依次类推依次类推,把已知数列推广为无穷数列把已知数列推广为无穷数列.提出同提出同(2)(2)类似的问题类似的问题(2)(2)应当作为特例应当作为特例),),并进行研究并进行研究,你能得到什么样的结论你能得到什么样的结论?等差等差(比比)数列的综合问题数列的综合问题【解题探究【解题探究】(1)a(1)a1010的双重身份是什么的双重身份是什么?提示提示:a a1010是公差为是公差为1 1的等差数列的第十项的等差数列的第十项,也是公差为也是公差为d d的等差的等差数列的第一项数列的第一项.(2)a(2)a3030关于关于d d的函数类型是什么的函数类型是什么?提示提示:二
34、次函数二次函数.(3)(3)试用试用d d表示表示a a4040,由此你能想到用什么方法得到一般结论由此你能想到用什么方法得到一般结论?提示提示:a a4040=a=a3030+10d+10d3 3=10(1+d+d=10(1+d+d2 2+d+d3 3););可用归纳推理得到一般结可用归纳推理得到一般结论论.【解析【解析】(1)(1)由题意可得由题意可得a a1010=10,a=10,a2020=10+10d=40,=10+10d=40,所以所以d=3.d=3.(2)a(2)a3030=a=a2020+10d+10d2 2=10(1+d+d=10(1+d+d2 2)=当当d(-,0)(0,+
35、)d(-,0)(0,+)时，时，a a30307.5,+).7.5,+).(3)(3)所给数列可推广为无穷数列所给数列可推广为无穷数列,其中其中a a1 1,a,a2 2,a,a1010是首项为是首项为1,1,公公差为差为1 1的等差数列的等差数列,当当n1n1时时,数列数列a a10n10n,a,a10n+110n+1,a,a10(n+1)10(n+1)是公差是公差为为d dn n的等差数列的等差数列.21310(d)d0,24研究的问题可以是研究的问题可以是:试写出试写出a a10(n+1)10(n+1)关于关于d d的关系式的关系式,并求出并求出a a10(n+1)10(n+1)的取值范
36、围的取值范围.研究的结论可以是研究的结论可以是:由由a a4040=a=a3030+10d+10d3 3=10(1+d+d=10(1+d+d2 2+d+d3 3),),依次类推可得依次类推可得:a:a10(n+1)10(n+1)=10(1+d+=10(1+d+d+dn n)=当当d d0 0时，时，a a10(n+1)10(n+1)的取值范围为的取值范围为(10,+).(10,+).n 11 d10,d1,1 d10 n1,d1.【方法总结【方法总结】等差等差(比比)数列的综合问题的常见类型及解法数列的综合问题的常见类型及解法(1)(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用等差数列与等比数列交汇
37、的问题，常用“基本量法基本量法”求解，求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)(2)等差等差(比比)数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差时用等差(比比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可程、不等式等问题求解即可.【变式备选【变式备选】已知在直角坐标系中已知在直角坐标系中,A,An n(a(an n,0),B,0),Bn n(0,b(0,bn n)(nN)(nN*),),其中数列其中数列aan n,b,bn n 都是递增数列都
38、是递增数列.(1)(1)若若a an n=2n+1,b=2n+1,bn n=3n+1,=3n+1,判断直线判断直线A A1 1B B1 1与与A A2 2B B2 2是否平行是否平行.(2)(2)若数列若数列aan n,b,bn n 都是正项等差数列都是正项等差数列,设四边形设四边形A An nB Bn nB Bn+1n+1A An+1n+1的的面积为面积为S Sn n(nN(nN*).).求证求证:数列数列SSn n 是等差数列是等差数列.【解析【解析】(1)(1)由题意由题意A A1 1(3,0)(3,0)，B B1 1(0,4)(0,4)，A A2 2(5,0)(5,0)，B B2 2(
39、0(0，7).7).所以所以因为因为 所以直线所以直线A A1 1B B1 1与与A A2 2B B2 2不平行不平行.(2)(2)因为数列因为数列aan n，bbn n 为正项等差数列，设它们的公差分别为正项等差数列，设它们的公差分别为为d d1 1，d d2 2(d(d1 10 0，d d2 20)0)，则，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d1 1,b,bn n=b=b1 1+(n-1)d+(n-1)d2 2,a an+1n+1=a=a1 1+nd+nd1 1,b,bn+1n+1=b=b1 1+nd+nd2 2,由题意由题意1122A BA B404707k,k.03
40、3055 1122A BA Bkk,n 1n 1nnnOABOA Bn 1n 1nn1SSSaba b.2所以所以=所以所以所以所以S Sn+1n+1-S-Sn n=d=d1 1d d2 2是与是与n n无关的常数，无关的常数，所以数列所以数列SSn n 是等差数列是等差数列.n111211121S andbndan1 dbn1 d 2 1212111212d d na db dd d,2n 1121211121S2d d na db dd d,2函数与方程思想函数与方程思想解决数列中的求值问题解决数列中的求值问题【思想诠释【思想诠释】1.1.主要类型：主要类型：(1)(1)求等差求等差(比比
41、)数列中的某些量时数列中的某些量时,常根据条件构常根据条件构建关于建关于a a1 1,d(q),d(q)的方程组求解的方程组求解,如求等差如求等差(比比)数列的通项公式数列的通项公式,前前n n项和公式等项和公式等.(2).(2)求等差求等差(比比)数列中的某些量的取值范围或数列中的某些量的取值范围或最值时最值时,常将待求量转化为某一变量的函数常将待求量转化为某一变量的函数,将问题转化为求函将问题转化为求函数的值域或最值问题数的值域或最值问题,如求等差数列前如求等差数列前n n项和的最值问题项和的最值问题.(3).(3)研研究等差究等差(比比)数列单调性时数列单调性时,利用研究函数单调性的方法
42、求解利用研究函数单调性的方法求解.2.2.解题思路：结合条件与所求的问题解题思路：结合条件与所求的问题,通过列方程组或将待求通过列方程组或将待求问题转化为函数问题求解问题转化为函数问题求解.3.3.注意事项：注意事项：(1)(1)列方程组时列方程组时,应注意有几个变量就列几个方程应注意有几个变量就列几个方程.(2)(2)把所求问题转化为函数问题时把所求问题转化为函数问题时,应注意要确定自变量的取值应注意要确定自变量的取值范围范围.【典例【典例】(14(14分分)(2013)(2013烟台模拟烟台模拟)已知公差大于零的等差数列已知公差大于零的等差数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n
43、,且满足且满足:a:a2 2a a4 4=65,a=65,a1 1+a+a5 5=18.=18.(1)(1)若若1i21,a1i21,a1 1,a,ai i,a,a2121是某等比数列的连续三项是某等比数列的连续三项,求求i i的值的值.(2)(2)设设 是否存在一个最小的常数是否存在一个最小的常数m m使得使得b b1 1+b+b2 2+b+bn nm0,d0,所以所以a a2 2aa4 4,所以所以a a2 2=5,a=5,a4 4=13.=13.3 3分分所以所以 所以所以a a1 1=1,d=4.=1,d=4.所以所以a an n=4n-3.=4n-3.5 5分分由由1 1i i212
44、1，a a1 1,a,ai i,a,a2121是某等比数列的连续三项是某等比数列的连续三项,所以所以a a1 1a a2121=a=ai i2 2,即即1 1 81=(4i-3)81=(4i-3)2 2,解得解得i=3.i=3.7 7分分11ad5,a3d13,(2)(2)由由(1)(1)知知,所以所以 ,1010分分所以所以b b1 1+b+b2 2+b+bn n=因为因为 ,1212分分所以存在所以存在 使使b b1 1+b+b2 2+b+bn nm m对于任意的正整数对于任意的正整数n n均成立均成立.1414分分2nn n1Sn 142nn,2 n111()2 2n1b2n1 221n
45、11n111111n(1),23352n12n12n1n1112n122 2n121m2【点题【点题】规避误区，规避误区，失分失分警示警示 失分点一失分点一 题中题中处因列不出方程组而求不出或求错处因列不出方程组而求不出或求错a an n失分点二失分点二 题中题中处对处对b bn n不会正确裂项导致无法求解不会正确裂项导致无法求解失分点三失分点三处不会利用函数的观点求范围处不会利用函数的观点求范围,导致无法求得导致无法求得结果结果【变题【变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013北京模拟北京模拟)已知等比数列已知等比数列aan n 满足满足2a2a1 1+a+a3 3=3a
46、=3a2 2，且，且a a3 3+2+2是是a a2 2,a,a4 4的等差中项的等差中项.(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(2)(2)若若求使求使S Sn n-2-2n+1n+1+47+470 0成立的正整数成立的正整数n n的最小值的最小值.nn2n12nn1balogSbbba，【解析【解析】(1)(1)设等比数列设等比数列aan n 的首项为的首项为a a1 1，公比为，公比为q q，依题意，有依题意，有 即即由由得得q q2 2-3q+2=0-3q+2=0，解得，解得q=1q=1或或q=2.q=2.当当q=1q=1时，不合题意时，不合题意.舍去；舍去；当当q
47、=2q=2时，代入时，代入得得a a1 1=2=2，所以，所以a an n=2=22 2n-1n-1=2=2n n.(2)(2)所以所以S Sn n=2-1+2=2-1+22 2-2+2-2+23 3-3+-3+2+2n n-n-n=(2+2=(2+22 2+2+23 3+2+2n n)-(1+2+3+)-(1+2+3+n)+n)1322432aa3a,aa2 a2,2113211a(2q)3a q,a(qq)2a q4.nnnn22nn11balog2log2n.a2=因为因为S Sn n-2-2n+1n+1+47+470,0,所以所以即即n n2 2+n-90+n-900,0,解得解得n n9 9或或n n-10.-10.因为因为nNnN*，故使，故使S Sn n-2-2n+1n+1+47+470 0成立的正整数成立的正整数n n的最小值为的最小值为10.10.nn 12n 1n2(12)1122nn12222n 12n 11122nn247 0,22
