1、1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤：求f(x)；求方程f(x)0的根；考察f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x
2、)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值【知识拓展】1在某区间内f(x)0(f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的
3、最小值也不一定是极小值()(6)三次函数在R上必有极大值和极小值()1(教材改编)f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4) B(0,2)C(4，) D(，0)答案A解析f(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x4，单调递减区间为(0,4)2如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D当x2时，f(x)取到极小值答案C解析在(2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数在(1,3)上也不是单调函数；在
4、x2的左侧，函数在(，2)上是增函数，在x2的右侧，函数在(2,4)上是减函数，所以当x2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数3已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)3，且f(x)的导数f(x)在R上恒有f(x)2(xR)，则不等式f(x)2x1的解集为()A(1，) B(，1)C(1,1) D(，1)(1，)答案A解析令g(x)f(x)2x1，g(x)f(x)20，g(x)在R上为减函数，g(1)f(1)210.由g(x)1，故选A.4函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1) B(0，)C(1，) D(，0)(1，)答案A
5、解析函数的定义域是(0，)，f(x)1，令f(x)0，得0x0时，ex1，aex0)令y0，得0x0，则其在区间(，)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.故选B.(2)因为函数f(x)xln x，定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得x，即函数的单调递增区间为(，)；当f(x)0时，解得0x0，即a0，解得x1；令f(x)0，解得1 x1，所以
6、f(x)的单调递增区间为(， 1)和(1，)；f(x)的单调递减区间为(1，1)综上所述：当a1时，f(x)在R上单调递增；当a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增题型三已知函数单调性求参数例3(2016西安模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)l
7、n xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax2有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)(1)21，所以G(x)min1.所以a1.(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)(1)21，因为x1,4，所以，1，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是，)引申探究1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解由h(x)在1,4上单调递增得，当x1,4时，h(x)0恒成立，当x1,4时，a
8、恒成立，又当x1,4时，()min1(此时x1)，a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)有解，又当x1,4时，()min1，a1，即a的取值范围是(1，)思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等
9、式有解问题已知函数f(x)exln xaex(aR)(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围解(1)f(x)exln xexaex(aln x)ex，f(1)(1a)e，由(1a)e1，得a2.(2)由(1)知f(x)(aln x)ex，若f(x)为单调递减函数，则f(x)0在x0时恒成立即aln x0在x0时恒成立所以aln x在x0时恒成立令g(x)ln x(x0)，则g(x)(x0)，由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0x0时恒成立，即aln x0在x0时恒成立，所以aln x在x0时恒成立，由上
10、述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，15用分类讨论思想研究函数的单调性典例(12分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性思想方法指导含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法规范解答解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)2axb.2分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线
11、平行于x轴得g(1)12ab0，b2a1.4分(2)由(1)得g(x).函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x).由g(x)0，得0x1，由g(x)1，6分当a0时，令g(x)0，得x1或x，7分若，由g(x)0，得x1或0x，由g(x)0，得x1，即0a0，得x或0x1，由g(x)0，得1x，若1，即a，在(0，)上恒有g(x)0.11分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a时，函数g(x)在(0，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增12分1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,
12、4) D(2，)答案D解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.2已知函数f(x)x3ax4，则“a0”是“f(x)在R上单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件3已知f(x)1xsin x，则f(2)，f(3)，f()的大小关系正确的是()Af(2)f(3)f() Bf(3)f(2)f
13、()Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2)答案D解析因为f(x)1xsin x，所以f(x)1cos x，当x(0，时，f(x)0，所以f(x)在(0，上是增函数，所以f()f(3)f(2)故选D.4已知函数f(x)x在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A1，) B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)答案D解析函数f(x)x的导数为f(x)1，由于f(x)在(，1)上单调递增，则f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立，由于当x1，则有1，解得a1或af(c)f(d)Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a)Df(c)f(e)f(d)答案C
14、解析依题意得，当x(，c)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，c)上是增函数，因为abf(b)f(a)，因此C正确6(2015课标全国)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)答案A解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0x1时，g(x
15、)g(1)00f(x)0；在(，0)上，当x1时，g(x)g(1)00f(x)0.综上，知使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.7(2016青岛模拟)若函数f(x)x3bx2cxd的单调减区间为(1,3)，则bc_.答案12解析f(x)3x22bxc，由题意知1x3是不等式3x22bxc0的解集，1,3是f(x)0的两个根，b3，c9，bc12.8(2016衡水中学模拟)已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案(，1)(1，)解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在
16、R上单调递减，f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即x(，1)(1，)9若函数f(x)x3x22ax在，)上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案(，)解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a(x)22a.当x，)时，f(x)的最大值为f()2a.令2a0，解得a，所以a的取值范围是(，)10若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_答案(，解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，mx恒成立令g(x)x，g(x)1，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，m2.11已知函数f(x)ln
17、x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)对f(x)求导得f(x)(x0)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x)(x0)令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)12已知函数f(x)ln x，g(x)axb.(1)若f(x)与g(x)在x1处相切，求g(x)的表达式；(2)若(
18、x)f(x)在1，)上是减函数，求实数m的取值范围解(1)由已知得f(x)，f(1)1a，a2.又g(1)0ab，b1，g(x)x1.(2)(x)f(x)ln x在1，)上是减函数(x)0在1，)上恒成立即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，则2m2x，x1，)，x2，)，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2*13.(2016辽宁鞍山一中高三月考)已知函数f(x)x3x2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围解(1)f(x)x2axx(xa)，当a0时，f(x)x20恒成立，f(x)在R上单调递增当a0时，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0，f(x)的增区间为(，0)，(a，)，减区间为(0，a)当a0；当x(a,0)时，f(x)0，f(x)的增区间为(，a)，(0，)，减区间为(a,0)(2)g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20成立，即当x(2，1)时，a(x)max2即可所以满足要求的a的取值范围是(，2)
