1、8/5/20221Lapulasibianhuandedingyi拉普拉斯变换的定义Lapulasibianhuandejibenxingzhi拉普拉斯变换的基本性质Lapulasifanbianhuan 拉普拉斯反变换Yingyonglapulasibianhuanfenxixianxingdianlu应用拉普拉斯变换分析线性电路第12章 拉普拉斯变换 8/5/20222 了解拉普拉斯变换的定义和基本性质；熟悉基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗以及运算导纳；在此基础上掌握应用拉普拉斯变换法分析和研究线性电路的方法和步骤；在求拉氏反变换时，要求掌握分解定理及其应用。8/5/202212.1 拉普
2、拉斯变换的定义 在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法，拉普拉斯变换（简称拉氏变换）就是其中的一种。拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间0,有定义，则有 0 )()(dtetfsFst 此式是拉氏变换的定义式。拉氏变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法，用拉普拉斯变换分析综合线性系统(如线性电路)的运动过程，在工程上有着广泛的应用。8/5/202212.1 拉普拉斯变换的定义 0 )()(dtetfsFst 由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子，收敛因子中的s=c+j是一
3、个复数形式的频率，称为，其实部恒为正，虚部即可为正、为负，也可为零。上式左边的，是的拉氏变换，F(s)也叫做f(t)的。记作：)()(tfLsF 式中L 是算子，表示对括号内的函数进行拉氏变换。电路分析中所遇到的电压、电流一般均为时间的函数，因此其拉氏变换都是存在的。jjtsdtesFjtf)(21)(如复频域函数F(s)已知，要求出与它对应的时域函数f(t)，又要用到拉氏反变换，即8/5/2022拉普拉斯变换的唯一性 f(t)称为F(s)的原函数，上式表明：如果时域函数f(t)已知，通过拉氏反变换，又可得到它的象函数F(s)，记作：式中L-1 也是算子，表示对括号内的象函数进行拉氏反变换。在
4、拉氏变换中，一个时域函数f(t)唯一地对应一个复频域函数F(s)；反过来，一个复频域函数F(s)唯一地对应一个时域函数f(t)，即不同的原函数和不同的象函数之间有着一一对应的关系，称为拉氏变换的唯一性。注意在拉氏变换或反变换的过程中，原函数一律用小写字母表示而象函数则一律用相应的大写字母表示如电压原函数为u(t)，对应象函数为U(s)。)()(1sFLtfjjtsdtesFjtf)(21)(8/5/2022应举用例dtedteeeLtssttt 0 )(0 求指数函数f(t)=et、f(t)=et(0,是常数)的拉普拉斯变换。由拉氏变换定义式可得此积分在s时收敛，有：sdteeLtst1 0
5、)(sdteeLtst1 0 )(同理可得f(t)=et 的拉氏变换为：8/5/2022应举用例sesdtedtettLsFststst11)()()(0 0 0 求单位阶跃函数f(t)=(t)、单位冲激函数f(t)=(t)、正弦函数f(t)=sint的象函数。由拉氏变换定义式可得单位阶跃函数的象函数为同理，单位冲激函数的象函数为1)()()()()0(0 0 0 sststedtetdtettLsF22022 0 )cossin(sinsin)(sttssedttetLsFstst正弦函数sin t的象函数为：8/5/2022学思习考1.什么是拉普拉斯变换？什么是拉普拉斯 反变换？答：已知原
6、函数求象函数的过程称为拉普拉斯变换；而已知象函数求原函数的过程称为拉普拉斯反变换。2.什么是原函数？什么是象函数？二者之间的关系如何？答：原函数是时域函数，一般用小写字母表示，象函数是复频域函数，用相应的大写字母表示。原函数的拉氏变换为象函数；象函数的拉氏反变换得到的是原函数。8/5/202212.2 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换有许多重要的性质，利用这些性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程。1.代数性质1212()()()()f tftF sFs，设函数和的象函数分别为和则函数12()()()f tAf tBft为：的
7、象函数 上式中的A和B为任意常数（实数或复数）。这一性质可以直接利用拉普拉斯变换的定义加以证明。),()()(21sBFsAFsF8/5/2022应举用例的象函数。和求ttfttfcos)(sin)(21可得：根据欧拉公式：tjtetjsincos,2sinjeettjtj2costjtjeet 1 jseLtj由前面例题得出 1-jseLtj222221)11(21sin ssjsjsjjsjsjtL故22)11(21cos ssjsjstL同理：8/5/20222.微分性质()()(),()()df tL f tF sf tftdt如果则的导数的拉氏变换为)0()()()(fssFdttd
8、fLtfL 0 00 0()()()()()(0)()()(0)ststststdf dtLf t edtdtf t ef tsedtfsf t edtsF sf：可以证明 可见：拉氏变换把原函数求导数的运算转换成象函数乘以s以后减初值的代数运算。如果f(0-)=0，则：)()(ssFtfL8/5/20223.积分性质)()(=)(tfsFtfL，则如果ssFdfLt)()()(0 此式表明：函数f(t)在时域中积分后的拉氏变换，等于该函数的象函数除以复变量s。积分性质的拉氏变换为：3.延时性质)()(=)(tfsFtfL，则设)(=)-1()-(0-00sFettttfLst延时性质的拉氏变
9、换为：8/5/2022学思习考1.拉普拉斯变换有哪些性质？答：拉普拉斯变换的主要性质有线性性质、微分性质。积分性质、延迟性质、频移性质等，由课本表12.1表示了这些性质的具体应用。2.利用拉普拉斯变换的性质，对解决问题有何种效益？答：利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本表12.1中给出了一些常用的时间函数的拉氏变换。8/5/202212.3 拉普拉斯反变换 利用拉普拉斯反变换进行系统分析时，常常需要从象函数F(s)中求出原函数f(t)，这就要用到拉氏反变换。利用拉氏变换表，将象函数F(s)展开
10、为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换的方法。nnnnmmmmbsbsbsbasasasasFsFsF1110111021)()()(其中m和n为正整数，且nm。把F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出F2(s)的根。F2(s)的根可以是单根、共轭复根和重根3种情况，下面逐一讨论。8/5/20221.F2(s)有有n个单根个单根nn2211)(pskpskpsksF nn22111)()()(pskpskpsksFps1)()(11pssFpsk2)()(22pssFpsknpsnnsFpsk)()(同理可得 设n个单根分别为p1、p2、pn，于是F2(s)可以展开为式
11、中k1、k2、k3、kn 为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同乘以(s-p1)，得令s=p1，则等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得8/5/20221.F2(s)有有n个单根个单根ipsiisFpsk)()()()()()()()(lim)()(lim2121121iiipsipsipFpFsFsFsFpssFpssFkiinisFsFKipsi，3 2 1 )()(21tpntptpnekekeksFLtf21211)()(所求待定系数ki为：ni,3,2,1上式中：另外把分部展开公式两边同乘以(s-pi),再令spi，然后引用数学中的罗比塔法则，可得：这样我们又可得到
12、另一求解ki的公式为：待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：8/5/2022应举用例。的原函数求)(6554)(2tfssssF52s)(65542221sFssFsF，因为：，代入公式可得：，的根为又由于320)(212ppsF35254)()(22111spssssFsFk75254)()(32122spssssFsFk37 ()23F sss得象函数为 23 ()37ttf tee 得原函数为8/5/2022jsjssFsFksFsFk-212211)()()()(，设共轭复根为p1=+j，p2=-j，则显然k1、k2也为共轭复数，设k1=|k1|ej1，k2=|k1|e-j1，则)
13、cos(2)(11)()(1)(1)(1)(2)(11111tekeeekeekeekekektfttjtjttjjtjjtjtj2.F2(s)有共轭单根8/5/2022应举用例为共轭复根，所以时、210)(212jpsF11()2cos()1.12cos(226.6)ttf tk etet。的原函数求)(52)(2tfssssF6.262121156.025.05.022)()(1jjspsejsssFsFk6.261256.01jjeekk|k1|=0.56，=-1,=2,1=26.6，所以原函数为8/5/20223.F2(s)具有复根 设p1为F2(s)的重根，pi为其余单根(i从2开始
14、)，则F(s)可分解为：对于单根，仍然采用前面的方法计算。要确定k11、k12，则需用下式：222111112)()(pskpskpsksF 22211112121)()()()(pskpskkpssFps1)()(2111pssFpsk1)()(2112pssFpsdsdk由上式把k11单独分离出来，可得：再对式子中s进行一次求导，让k12也单独分离出来，得8/5/20223.F2(s)具有复根 如果F2(s)具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即：1)()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqk参看课本相关例题。在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？8
15、/5/202212.4 应用拉氏变换分析线性电路 时域条件下电阻电路有uR=RiR，把该式进行拉氏变换可得到电阻元件上的电压、电流复频域关系式为：1.电阻元件的运算电路时域的电阻电路复频域的电阻运算电路)(=)(sRIsURR显然，复频域形式的欧姆定律成立。12.4.1 单一参数的运算电路+)(tuR)(tiR+)(sUR)(sIR8/5/20222.电感元件的运算电路时域的电感电路时域条件下电感电路u、i关系：)0()(1)(L-0 LLLLiuLidtdiLtut+)(LsU)(LsI复频域的电感运算电路1sL)0(LLi复频域的电感运算电路2)(LsU)(LsIsi)0(LsL1对时域条
16、件下电感电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：)0()()(LLLLissLIsUsisUsLsI)0()(1)(LLL由此得复频域运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源8/5/20223.电容元件的运算电路时域的电容电路+)(CtuC)(Cti时域条件下电容电路u、i关系：)0()(1)(C-0 CCCCuiCudtduCtit对时域条件下电容电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：)0()()(CCCCussCUsIsusIsCsU)0()(1)(CCC由此得电容运算电路：运算阻抗运算导纳相应附加电流源相应附加电压源+)(CsU)(CsI复频域的电容运算电路1su)0(CsC1s
17、C)0(CCu复频域的电容运算电路2)(CsU)(CsI8/5/202212.4.2 耦合电感的运算电路时域的耦合电感电路L1*L2i1u1M*i2u2时域条件下耦合电感电路u、i关系：dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222对时域的耦合电感电路u、i关系式进行拉氏变换后可得：)0()0()()()(2112111MiiLssMIsIsLsU得耦合电感运算电路附加电压源)0()0()()()(1221222MiiLssMIsIsLsUsL1*sL2I1(s)U1(s)sM*I2(s)U2(s)0(22iL+-+-+-+)0(11iL)0(2Mi)0(1Mi8/5/20221
18、2.4.3 应用拉氏变换分析线性电路 拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为复频域的代数方程，更加方便于运算和求解；变换自动包含初始状态，既可分别求得零输入响应、零状态响应，也可同时求得系统的全响应。应用拉氏变换求解电路的一般步骤如下：1.确定和计算各储能元件的初始条件；2.将t0时的时域电路变换为相应的运算电路；3.用以前学过的任何一种方法分析运算电路，求出待求响应的象函数；4.对待求响应的象函数进行拉氏反变换，即可确定时域中的待求响应。8/5/2022应举用例求下图所示电路在t0时各支路上的电流响应。(设开关闭合以前电路已达稳态)A51110)0(L
19、iik S(t=0)例题 电路图110VuC111FiCiL1HIk(s)例题 运算电路图10s11IC(s)IL(s)5ss5ss1首先确定动态元件的初始条件V5151)0()0(LCiu1510)1(5101510)(LssssssssI由此可得出相应运算电路如图示：15151011510)(CssssssssI据运算电路求两支路电流的象函数8/5/2022对运算电路上结点列KCL可得sssssIsIsI10151510)()()(CLkA10)(A5)(A510)(LCLtietietittIk(s)例题 运算电路图10s11IC(s)IL(s)5ss5ss1再对各支路电流进行拉氏反变换
20、V)2(2)1()()(Sttttu求下图所示电路的iL(t)。已知例题 电路图5Hus(t)15画(t)作用下的运算电路并求解 根据运算电路求出1/s作用下运算电路的响应。5S15(t)作用下的运算电路1s8/5/20225S15(t)作用下的运算电路1s对运算电路求1/s作用下的响应：2121()00 6F spp，令可求得有应用叠加原理可得电路响应为)61(1555)305(55555552511)(LsssssssssssI11211)()(11211)()(121)(6161212002112ssssssFsFkssFsFkssF 6L()(1)()Ati tet：运算响应为A)2()1(2)1()1()()1()(62616Ltetetetittt8/5/20221.对单个正弦半波，能否求出其拉氏变换？2.对零状态线性电路进行复频域分析时，能否用叠加原理？若为非零状态，即运算电路中存在附加电源时 能否用叠加原理？答：单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范畴，因此无法求出其拉氏变换。答：零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时，可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。问讨题论8/5/2022
