1、第八章第八章 近代平差理论近代平差理论 前面介绍的五种平差方法，我们常称之为经典平前面介绍的五种平差方法，我们常称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及和矩阵理论在测量差方法，随着计算机技术的普及和矩阵理论在测量平差中的广泛应用，产生了一些新的测量平差模型，平差中的广泛应用，产生了一些新的测量平差模型，如序惯平差、自由网平差、方差分量估计等理论，如序惯平差、自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介绍这些平差理论及其应用，部分方法只阐述其原理，绍这些平差理论及其应用，部分方法只阐述其原理，详细内容将在后续课程中进一步
2、学习。详细内容将在后续课程中进一步学习。序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行。本节的理论公式推导，
3、以分两组为例。期进行。本节的理论公式推导，以分两组为例。81 序贯平差序贯平差一、序惯平差原理一、序惯平差原理设某平差问题，观测向量设某平差问题，观测向量 ，现把它分为，现把它分为 两两组，组内相关，组间互不相关，即：组，组内相关，组间互不相关，即：1nL121121nnLL、12211121211100002211121QQPPPLLLnnnnnnnnn，（8-1-1）按间接平差原理选取参数按间接平差原理选取参数 ，取近似，取近似 ，改正，改正数为数为 ，分组后两组的误差方程分别为，分组后两组的误差方程分别为1tX10tXx 111lxBV权阵权阵 1P（8-1-2a）222lxBV权阵权阵
4、 2P（8-1-2b）iiiiLdXBl0（i=1、2）若按整体平差，误差方程可以写为若按整体平差，误差方程可以写为212121llxBBVV 权阵为权阵为 2100PPP按间接平差原理可得其法方程为按间接平差原理可得其法方程为00000212121212121llPPBBxBBPPBBTT即即0)()(222111222111lPBlPBxBPBBPBTTTT由上式可得由上式可得)()(2221111222111lPBlPBBPBBPBxTTTT 按分组平差，先对第一组误差方程行第一按分组平差，先对第一组误差方程行第一次平差（因未顾及第二组观测值次平差（因未顾及第二组观测值 ，所以第，所以第
5、一次平差只能得到一次平差只能得到 的第一次近似值，用的第一次近似值，用 表示）。函数模型可改写为表示）。函数模型可改写为2Lx x 1P111 lxBV 权阵权阵（8-1-3）按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为0111111lPBxBPBTT未知参数的第一次改正数未知参数的第一次改正数（8-1-4）1111111)(lPBBPBxTT（8-1-5）未知参数的第一次平差值未知参数的第一次平差值xXX0（8-1-6）第一次平差后未知参数第一次平差后未知参数 的权阵为的权阵为X1111BPBQPTXXX（8-1-7）将将 代入（代入（8-1-3）
6、式，得观测值）式，得观测值 的第一次改正的第一次改正数数 ，而，而 。x 1L1V02V再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数把第一次平差后求得的参数 作为虚作为虚拟观测值参与平差，其权阵为拟观测值参与平差，其权阵为 xXX01111BPBQPTXXX误差方程为：误差方程为：xxxxXxXXXVX)()(00（8-1-8）由上式知由上式知 xxx 其中其中x 称为参数的第二次改正数。称为参数的第二次改正数。联合第二组误差方程。即：联合第二组误差方程。即：2222222)(lxBlxxBlxBV （8-1-9）其中其中)(
7、222lxBl或或)(2222LdXBl由（由（8-1-8）、（）、（8-1-9）联合组成法方程为）联合组成法方程为000000222222 lPPBIxBIPPBIXTXT即即0)(222222 lPBxBPBPTTX（8-1-10）将上式代入（将上式代入（8-1-9）即可求得第二组观测值的整）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢？我们可以用求呢？我们可以用 分别代替（分别代替（8-1-2)的的 ，即：，即：2221222)(lPBBPBPxTTX（8-1-11）)()(11xxVV 和xV1和1111)()(l
8、xxBVV 由上式可得参数的第二次改正数为由上式可得参数的第二次改正数为因为经过第一次平差后，已使因为经过第一次平差后，已使111lxBV成立，所以有成立，所以有xBV 11（8-1-12）最后的平差值为：最后的平差值为：111111VLVVLL（8-1-13）222VLL（8-1-14）xXxxXX 0（8-1-15）下面给出精度评定公式。下面给出精度评定公式。单位权中误差估值：单位权中误差估值：tnPVVT20（8-1-16）其中其中xPxVPVVPVPVVXTTTT 222111，推证如下：，推证如下：22211121212100(VPVVPVVVPPVVPVVTTTTT）而而xBVlx
9、xBV )(11111所以所以)()(11111111xBVPxBVVPVTT xBPBxxBPVVPVTTTT )(2111111111，但是但是0)()(1111111111111 xlPBxBPBxBPlxBxBPVTTTTT并顾及并顾及 1111BPBQPTXXX则有则有 xPxVPVVPVPVVXTTTT 222111（8-1-17）未知参数的协因数阵：未知参数的协因数阵：1222)(BPBPQTXXX（8-1-18）未知参数函数的协因数及中误差：未知参数函数的协因数及中误差：设有参数函数的权函数式：设有参数函数的权函数式：xfdTfBPBPffQfQTXTXXT1222)(（8-1
10、-19）Q0（8-1-20）解：本题解：本题 ，选，选 两点高程平差值为未两点高程平差值为未知参数知参数 ，并取其近似值为：，并取其近似值为：25tn，DC、21XX、，试按逐次间接平差法求，试按逐次间接平差法求 两两点高程的平差值及点高程的平差值及 点高程的中误差点高程的中误差?mh827.53mh886.115DC、Cmh083.74mh050.62 第一期同精度独立观测第一期同精度独立观测 ，第二期同精度独立观测第二期同精度独立观测 ,观测值为观测值为:，mHB274.105mh927.121例例8-1 如图如图8-1水准网，水准网，为已知点，为已知点，BA、321hhh、，mHA293
11、.8654hh、mhHXA220.99101mhHXA376.93402图图8-1h3CDAh1h2Bh4h5列立第一期误差列立第一期误差方程方程11 xV422xV权阵权阵 IP 17213xxV写成写成111lxBV的形式为的形式为1740111001211xxV组成法方程组成法方程0111111lPBxBPBTT01713111321xx解得参数的第一次改正数及其权阵解得参数的第一次改正数及其权阵)(19221mmxxx)(395.93222.990mmxXX1113XP求第一期观测值的第一次改正数求第一期观测值的第一次改正数)(022113211mmlxBVVVV 列立第二期误差方程列
12、立第二期误差方程 ，可用第一期，可用第一期平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常数项就是数项就是 ，即，即222lxBV 2l7192524 xVxV权阵权阵 IP 写成矩阵形式写成矩阵形式 71910102154xxVV也可以用参数的初始近似值列出，此时的误差方程常数项也可以用参数的初始近似值列出，此时的误差方程常数项为为 ，即，即2l122524xVxV其中其中7191201921010)(222lxBl则误差方程可写为则误差方程可写为 71910102154xxVV结果一样结果一样。顾及第一次平差结果，组成法方程顾及第一次平差结果，组成法方程
13、0)(222222 lPBxBPBPTTX即即0260311321 xx求解参数的第二次改正数及平差值求解参数的第二次改正数及平差值)(75.925.321mmxx )(385.93219.990mmxXxxXX 计算第二期观测值的改正数计算第二期观测值的改正数)(75.225.971910102154mmxxVV 计算单位权中误差计算单位权中误差xPxVPVVPVPVVXTTT 2221115.160375.63125.934)(3.735.1600mmtnPVVT计算计算C点高程平差值中误差，即参数的中误差点高程平差值中误差，即参数的中误差311381)(1222BPBPQTXXX)(5.
14、4833.71101mmQXXX 二、序惯平差的三种特殊情况二、序惯平差的三种特殊情况1第二次平差增加新的参数第二次平差增加新的参数设两组的误差方程为设两组的误差方程为111lxAVa 权阵权阵 1P（8-1-21）222lxBxAVba权阵权阵 2P（8-1-22）式中式中 是共同的未知参数，是共同的未知参数，是新增加的未知参数。是新增加的未知参数。ax bx 第一次平差可得：第一次平差可得：1111111)(lPAAPAxTTa（8-1-23）111APAPTXa（8-1-24）aaaxXX0（8-1-25）第二次平差的误差方程为第二次平差的误差方程为aXxVa 权阵权阵 111APAPT
15、Xa（8-1-26）222lxBxAVba 权阵权阵 2P（8-1-27）式中：式中：)(222lxAla或或)(22022LdBXXAlba（8-1-28）0)(22222222 lPAxBPAxAPAPTbTaTXa（8-1-29）022222 lPBxBPBxAPBTbTaT（8-1-30）解算法方程可得解算法方程可得 ，代入（，代入（8-1-27）可求得）可求得 。最后得参数平差值为最后得参数平差值为baxx 和,0aaaaaaxXxxXX bbbxXX0组成法方程为组成法方程为2V 2V2二次平差的参数仅是第一次平差参数的一部分二次平差的参数仅是第一次平差参数的一部分设两组的误差方程
16、为：设两组的误差方程为：111lxBxAVba权阵权阵 1P（8-1-31）22lxBb 权阵权阵 2P（8-1-32）第一次平差的法方程为：第一次平差的法方程为：011111lPAxBPAxAPATbTaT（8-1-33）011111111lPBxBPBxAPBTbTaT（8-1-34）由法方程可求得由法方程可求得 ，其权阵为：，其权阵为：baxx、11111111BPBAPBBPAAPAPTTTTX（8-1-35）,0aaaxXXbbbxXX0二次平差的误差方程二次平差的误差方程 baXxxV权阵权阵XP（8-1-36）2220lxxBVba 权阵权阵 2P（8-1-37）式中：式中：或或
17、)(222lxBlb)(2222LdXBlb顾及（顾及（8-1-35）式，组成法方程如下：）式，组成法方程如下：0111 bTaTxBPAxAPA0)(21122211111 lPBxBPBBPBxAPBTbTTaT（8-1-38）（8-1-39）由（由（8-1-38）式可得：）式可得：bTTaxBPAAPAx )(1111（8-1-40）将将 代入（代入（8-1-39）式，整理后得）式，整理后得ax 0)(222222 lPBxBPBPTbTXb （8-1-41）式中式中 111111111)(BPAAPAAPBBPBPTTTTXb（8-1-42）由（由（8-1-41）可解得）可解得 。参数
18、的平差值为。参数的平差值为bx aaaaaaxXxxXX0 bbbbbbxXxxXX0 （8-1-43）（8-1-44）2V3上述两种情况的综合上述两种情况的综合两组的误差方程为：两组的误差方程为：111lxBxAVba22lxCxBcb权阵权阵 1P 权阵权阵 2P（8-1-45）（8-1-46）第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方程、程、权阵、参数的第一次平差值等见（、权阵、参数的第一次平差值等见（8-1-33）、）、（8-1-34）、（）、（8-1-35）式，其中）式，其中 的计算见（的计算见（8-1-42）式。式。baxx、bXP 二次平
19、差类似于第一种情况的第二次平差，二次平差类似于第一种情况的第二次平差，由下由下列法方程解得，常数项由（列法方程解得，常数项由（8-1-49）求得。）求得。cbxx、0)(22222222 lPBxCPBxBPBPTcTbTXb（8-1-47）022222 lPCxCPCxBPCTcTbT（8-1-48）其中其中 或或)(222lxBlb)(22022LdCXXBlcb（8-1-49）按下式计算的值按下式计算的值 bTTaxBPAAPAx )(1111（8-1-50）最后计算参数的平差值最后计算参数的平差值aaaaaaxXxxXX0 bbbbbbxXxxXX0 cccxXX0 （8-1-518-
20、1-51）（8-1-52）（8-1-53）例例8-2 设有两组误差方程设有两组误差方程 为为)0(030201XXX42511001121131xxV 权阵权阵IP 12V76111032122xxV 权阵权阵IP1试按逐次间接平差法求未知参数的平差值。试按逐次间接平差法求未知参数的平差值。解：本题符合第三种特殊情况，即符合如下形式：解：本题符合第三种特殊情况，即符合如下形式：111lxBxAVba22lxCxBcb即即111011001121CBBA，7642521ll，第一次平差的法方程为：第一次平差的法方程为：011111lPAxBPAxAPATbTaT011111111lPBxBPBx
21、APBTbTaT即即063211221xx其解为其解为546321123121xx未知参数的权阵为未知参数的权阵为5.1232XXPPb第二次平差的法方程为第二次平差的法方程为0)(22222222 lPBxCPBxBPBPTcTbTXb022222 lPCxCPCxBPCTcTbT即即04221115.132 xx其解为其解为 32422115.2132xx而而bTTaxBPAAPAxx )(1111112)1(21参数的平差值为参数的平差值为xxXX0 即即514011011 xxXX725022022 xxXX3303033xXX8-2 秩亏自由网平差秩亏自由网平差v 在前面介绍的经典平
22、差中，都是以已知的起算数在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。由网平差。v 在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，在经典间接平差中，网中具
23、备必要的起算数据，误差方程为误差方程为 111nttnnlxBV（8-2-1）式中系数阵式中系数阵 为列满秩矩阵，其秩为为列满秩矩阵，其秩为 。在最小。在最小二乘准则下得到的法方程为二乘准则下得到的法方程为BtBR)(011ttttbbWxN（8-2-2）由于其系数阵的秩为由于其系数阵的秩为 ，所以所以 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆，因此具有唯一解，即逆，因此具有唯一解，即tBRPBBRNRTbb)()()(bbNWNxbb1（8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为设未知参数的
24、个数为u，误差方程为，误差方程为111nuunnlxBV（8-2-4）式中式中dtud为必要的起算数据个数。尽管增加了为必要的起算数据个数。尽管增加了d个参数，个参数，但但B的秩仍为必要观测个数，即的秩仍为必要观测个数，即utBR)(其中其中B为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d。组成法方程组成法方程011uuuuWxN（8-2-5）式中式中 PlBWPBBNTuTuu1，且且 utBRPBBRNRT)()()(所以所以N也为秩亏阵，秩亏数为：也为秩亏阵，秩亏数为：tud（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典由上式知，不同类型控制网的秩亏数
25、就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：平差时必要的起算数据的个数。即有：测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d 在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘乘 和最小范数和最小范数
26、的条件下，求的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。参数一组最佳估值的平差方法。下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。公式。minPVVTminxxT一、直接解法一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组根据广义逆理论，相容方程组 虽然虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：即：011uuuuWxNWNxmr1（8-2-7）式中式中 ，称为矩阵的最小范数，称为矩阵的最小范数g逆。逆。称为矩阵称为矩阵 的的g逆。代入（逆。代入（8-2-7）式得）式得)(TTmNNNN)(TNNTNNWNNNxTTr)
27、(（8-2-8）上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：面将公式做进一步改化：令令 2122211211NNNNNNNddtddtttuu（8-2-9）12111dtuWWW（8-2-10）式中式中 行满秩，即行满秩，即 ，于是有，于是有 1NtNR)(1TTTTTTTNNNNNNNNNNNNNN221221112121（8-2-11）而而 ，所以，所以 为满秩方阵，为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，tNRN
28、NRT)()(111)(11TNN即：如果有矩阵即：如果有矩阵)()(22)(21)(1211rnrmrrmrnrrrnmAAAAA其中其中 存在凯利逆，则有存在凯利逆，则有 的的g逆逆1111)(ArAR，nmA000111rrnmAA（8-2-12）根据上式可得根据上式可得000000)()(1111111QNNNNTT（8-2-13）代入（代入（8-2-8）式，得）式，得1111211121000WQNWWQNNxTTT（8-2-14）或写成或写成11111)(WNNNxTT（8-2-15）未知参数的协因数阵为：未知参数的协因数阵为：11111111111111)(11NQNQNQNQQ
29、NQTTTWWTXX（8-2-16）二、附加条件法（伪观测值法）二、附加条件法（伪观测值法）前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘乘 和最小范数和最小范数 的条件下，求的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组方程组 的最小范数解。附加条件法的基本的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个个未知参数，因此在未知参数，因此在u个参数之间必定满足个参数之间必定满足d个附加条个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入件
30、式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于平差法求解。问题的关键是如何导出等价于 的限制条件方程的具体形式。的限制条件方程的具体形式。minPVVTminxxT011uuuuWxNminxxT 为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组件方程下所求得的解，就是相容方程组 的最小范数解。的最小范数解。设
31、等价于约束条件设等价于约束条件 的限制条件方程为的限制条件方程为011uuuuWxNminxxT01uTudxS（8-2-17）式中式中 且满足且满足 S称为附加阵。故秩亏称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为自由网平差的函数模型为，dSR)(，0BS111nuunnlxBV01uTudxS权阵为权阵为 P按照附有条件的间接平差可得法方程按照附有条件的间接平差可得法方程000WKxSSNsT（8-2-18）式中式中 PlBWPBBNTuTuu1，且且 utBRPBBRNRT)()()(唯一不同的是这里唯一不同的是这里N为秩亏阵。为秩亏阵。为解决秩亏问题，将（为解决秩亏问题，将（8-2-18）
32、中的第二式左乘）中的第二式左乘S矩阵后，再加到第一组中得：矩阵后，再加到第一组中得：000WKxSSNsT（8-2-19）式中式中 ，且，且TSSNNuNR)(根据附有条件的间接平差原理，上式的解为根据附有条件的间接平差原理，上式的解为WNSSNSKTs1)()(1sSKWNx（8-2-20）（8-2-21）由于上述解是通过增加未知参数间满足的由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。的，因此人们把此法称为附加条件法。但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主但它又不同于经典的附
33、有条件的间接平差法，其主要表现为：当要表现为：当S阵满足阵满足BS=0时，必定有下式成立时，必定有下式成立（证明从略）（证明从略）0sK（8-2-22）将（将（8-2-22）式代入（）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为）式，可得参数的解为PlBNWNxT11（8-2-23）就是法方程就是法方程 的最小的最小范数解。为此只需证明范数解。为此只需证明 是的最小范数是的最小范数g逆中的逆中的一个即可，即只需证明一个即可，即只需证明 满足以下两式：满足以下两式：现在只需证明，按（现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解）式求得的解PlBNWNxT11011uuuuWxN1N1NNNNNNNNN
34、T111)(和（8-2-24）现证明如下：现证明如下：因为因为 TSSNN所以有所以有 ISSNNNNT)(11右乘右乘S阵并展开，则有阵并展开，则有SSSSNNSNSNNT111而而 ，所以有，所以有0PBSBNSTSSSSNT)(1（8-2-25）由于由于 ，存在逆阵，则有，存在逆阵，则有dSSRT)(11)(SSSSNT（8-2-26）所以有所以有TTTTSSSSISSNISSNNNN1111)()()(（8-2-28）（8-2-27）NSSSNSNNNNT11)()(因此（因此（8-2-24）第一式得到验证）第一式得到验证由（由（8-2-27）式得）式得TTTTTTSSSSISSSSI
35、NN111)()()(考虑到（考虑到（8-2-26）式，则上式为）式，则上式为 NNNNNISSNINNTT1111)()(（8-2-29）（8-2-28）、（）、（8-2-29）两式说明）两式说明 是的最是的最小范数小范数g逆中的一个，因此按（逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得）式求得的的 一定是相容方程组一定是相容方程组 的最小范数的最小范数解。解。1Nx 011uuuuWxN三、精度评定三、精度评定单位权中误差估值的计算单位权中误差估值的计算rPVVT0（8-2-30）式中式中 可以直接计算，也可以按下式求得可以直接计算，也可以按下式求得PVVTxWPllPVVTTT（8-2-31
36、）未知参数的协因数阵为未知参数的协因数阵为TTTXXPBNQPBNQ)(11 1111NNNNPBQPBNT)()(1111NSSINNSSNNTT111NSSNNT（8-2-32）实际计算时，通常要对实际计算时，通常要对S进行标准化，设标准化后进行标准化，设标准化后的的S阵用阵用G表示表示,即不仅要求满足即不仅要求满足BG=0，还要求满，还要求满足足 ,此时此时(8-2-26)式变成式变成 ，转置后有，因此（转置后有，因此（8-2-32）式将变成如下形式）式将变成如下形式IGGTGGGGGNT11)(TXXGGNQ1（8-2-33）四、两点说明四、两点说明若将若将 代入法方程，则法方程变为代
37、入法方程，则法方程变为0sK0)0PlBxSSPBBWxNTTT或（上式相当于下列误差方程联合组成的法方程上式相当于下列误差方程联合组成的法方程xGVlxBVTg 上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟个虚拟误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵须知道附加阵S，关
38、于附加阵的确定问题，本教材，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵加阵S及其标准化后及其标准化后G的矩阵的具体形式：的矩阵的具体形式：水准网（设有水准网（设有u个点）个点）,1111TS1111TG（8-2-34）测边网（设有测边网（设有m个点）个点）000202010123101010010101mmmTxyxyxyS（8-2-35）式中式中 为第为第I点的近似坐标点的近似坐标00iiyx、0002020101223(1)101010(1)010101(1mmmTxyxyxyRmmG（8-2-36）式中式中 是
39、以中心坐标为原点的第是以中心坐标为原点的第I点的近似坐点的近似坐标，它们的计算如下：标，它们的计算如下：00iiyx、,11000miiixmxxmiiiymyy10001miiyxR120202)(元素元素,在（在（8-2-36）式中增加）式中增加一行元一行元 素即可得素即可得到相应的到相应的S阵和阵和G阵。阵。测角网（设有测角网（设有m个点）个点）只需在（只需在（8-2-35）式中增加一行）式中增加一行0002020101mmyxyxyx000202010121mmyxyxyxR例例8-3 如图如图8-2水准网，水准网，A,B,C点全为待定点，同点全为待定点，同精度独立高差观测值为精度独立
40、高差观测值为 ，mh345.121mh478.32 平差时选取平差时选取A,B,C三个待定点的高程平差三个待定点的高程平差值为未知参数值为未知参数 ，并取近似值，并取近似值mh817.153321XXX、)823.25345.22100302010mXXXX（试分别用直接法和附加条试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及件法求解参数的平差值及其协因数阵。其协因数阵。解：解：1直接解法直接解法误差方程为误差方程为600101110011321xxxV法方程为法方程为0606211121112321xxx由法方程易知由法方程易知,211211N,1211121N061W所以有所以有633627
41、1)(11111TNNQ未知参数的改正数为未知参数的改正数为)(202)(111111111mmWQNWNNNxTTT未知参数的平差值为未知参数的平差值为)821.25345.22002.10321030201321mxxxXXXXXX（未知参数的协因数阵为未知参数的协因数阵为2111211129111111111NQNQNQTXX2附加条件法附加条件法解法一中已求得法方程为解法一中已求得法方程为 的具体形式为：的具体形式为：0WxN0606211121112321xxx该水准网有该水准网有3个待定点，所以附加阵为个待定点，所以附加阵为11113TS31313113TG 则有则有TGGNN11
42、11111113121112111272227222731522252225911N 所以有所以有)(202606522252225911mmWNx未知参数的的协因数阵为未知参数的的协因数阵为 211121112911TXXGGNQ结果与直接解法完全相同。结果与直接解法完全相同。8-3 附加系统参数的平差附加系统参数的平差 经典平差中总是假设观测值中不含系统误差，经典平差中总是假设观测值中不含系统误差，但测量实践表明，尽管在观测过程中采用各种观测但测量实践表明，尽管在观测过程中采用各种观测措施和预处理改正，仍会含有残余的系统误差。消措施和预处理改正，仍会含有残余的系统误差。消除或减弱这种残余系
43、统误差可借助于平差方法，即：除或减弱这种残余系统误差可借助于平差方法，即：通过在经典平差模型中附加系统参数对系统误差进通过在经典平差模型中附加系统参数对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。经典的高斯经典的高斯马尔可夫模型为马尔可夫模型为 120200PQDLDEXBL）（）（）（，（8-3-1）0）（E当观测值中含有系统误差时，显然当观测值中含有系统误差时，显然在这种情况下，需要对经典的高斯在这种情况下，需要对经典的高斯马尔可夫模型马尔可夫模型进行扩充。设观测误差进行扩充。设观测误差 包含系统误差包含系统误差 和偶然和偶然误差误
44、差 ，即，即GSSG考虑平差是线性模型，可设考虑平差是线性模型，可设 ，于是有，于是有SASSAG（8-3-2）及及SAES)(将（将（8-3-2）式代入（）式代入（8-3-1）式，即得附加系统参）式，即得附加系统参数的平差函数模型为：数的平差函数模型为：12020PQDLDSAXBL）（）（8-3-3）由（由（8-3-3）式得误差方程为）式得误差方程为lSAxBV（8-3-4）其法方程为其法方程为PlAPlBSxPAAPBAPABPBBTTTTTT（8-3-5）令令 PAANNPABNPBBNTTTT，211211上式可简写为上式可简写为 PlAPlBSxNNNNTT22211211（8-3
45、-6）由分块矩阵求逆公式得由分块矩阵求逆公式得PlAPlBMNNMMNNNNMNNNSxTT111121111211111121112111111（8-3-7）式中式中121112122NNNNM（8-3-8）如果平差模型中不含有系统误差，即如果平差模型中不含有系统误差，即 ，则有则有0SPlBNxT1111考虑到此关系式，则（考虑到此关系式，则（8-3-7）式可写成）式可写成)(1211121111xNPlAMNNxxT（8-3-9）和和)(1211xNPlAMST（8-3-10）由（由（8-3-7）式知，）式知，和和 的协因数阵为的协因数阵为x S11121112111111NNMNNNQ
46、XX（8-3-11）1 MQSS（8-3-12）单位权中误差为单位权中误差为)(0rtnPVVT（8-3-13）8-4 方差分量估计方差分量估计 我们知道，平差前观测值向量的方差阵一我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理
47、地确定各类观测值的权。理地确定各类观测值的权。为了合理地确定不同类观测值的权，可以根为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早种平差方法称
48、为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（由赫尔默特（F.R.Helmert）在）在1924年提出，所年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。以又称为赫尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式一、赫尔默特方差分量估计公式 为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为间接平差时的数学模型为（函数模型函数模型）（随机模型随机模型）222111XBLXBL（8-4-1）0),()()()()(2121122022112011DLLDPDLDPDLD
49、），（8-4-2）其误差方程为其误差方程为111lxBV权阵权阵P1（8-4-3）222lxBV权阵权阵P2（8-4-4）作整体平差时，法方程为作整体平差时，法方程为0WxN（8-4-5）式中式中2222111121BPBNBPBNNNNTT，2222111121lPBWlPBWWWWTT，一般情况下，由于第一次给定的权一般情况下，由于第一次给定的权P1、P2是是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为等的，设为 和和 ，则有，则有201202122022112011)()(PLDPLD（8-4-6）但只有但只有 才认为定权合理。方差分量估
50、计才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权的目的就是根据事先初定的权P1、P2进行预平差，进行预平差，然后利用平差后两类观测值的然后利用平差后两类观测值的 、来求估来求估计量计量 ，再根据（，再根据（8-4-6）式求出）式求出 ，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到由这个方差估值再重新定权，再平差，直到 为止。为此需要建立为止。为此需要建立 、与估计量与估计量 之间的关系式。之间的关系式。20202201111VPVT222VPVT202201、)()(21LDLD、202201111VPVT222VPVT202201、由数理统计知识可知，若有服从任一分布的由数理统计知识可知，
