1、根据力的作用方式不同根据力的作用方式不同mFZmFYmFXBZMVBYMVBXMVlimlimlimAPpAAlimATAAlim单位质量力轴向分力切向分力法向分力单位:N/kg单位:Pa库仑实验验证了流体粘性的存在库仑实验验证了流体粘性的存在平板试验说明了内摩擦力与哪些因素有关平板试验说明了内摩擦力与哪些因素有关给出了牛顿内摩擦定律的经验公式给出了牛顿内摩擦定律的经验公式dyduAT或dyduhydyuu+dua bc dUdyduAT 与两流层间的速度差du及流层的接触面积A成正比,和流层间距dy成反比。与流体种类有关。与流体的压力大小无关。dyduAT或dydu牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定
2、律 掌握流体静压强及其特性，理解和掌握相对平衡时流体静压强的分布规律，测量和表示方法及点压强的计算。熟练掌握作用于平面和曲面壁上流体总压力的计算。会推导欧拉平衡方程，理解欧拉平衡微分方程的物理意义。2.1 2.1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性流体静力学的主要任务：根据诸作用力的平衡关系研究流体处于静止或相对静止时的力学规律及其在工程技术上的应用。一.流体静压强的概念 APpaAlimABCDACDBPA二.流体静压强的两个重要特性 1、流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。2、静止流体中任一点处的静压强大小与其作用面的方向 无关只与该点位置有关。aPPNN质量力ZdxdydzFYdxd
3、ydzFXdxdydzFBzByBx616161表面力证明：取微小四面体O-ABCdApPdxdypPdzdxpPdydzpPnnzzyyxx212121031dxXppnx0dxnxpp nzyxpppp)z,y,x(fp 0)cos(0BxnxxFxnPPF061)cos(21dxdydzXxnApdydzpnxdydz210F静压强大小与方向无关与该点的位置有关2.2 2.2 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律一、液体静压强的基本方程 Cgpzghpp0ldAGhP2P1ldAgGdApPdApPGPP2211120coshgpphlldAgdApdAp1212cos0cos静止液
4、体中，压强随深度按直线变化的规律。静止液体中任一点的压强是由液面压强和该点在液面下的深度与密度和重力加速度的乘积两部分所组成。下哦那个这两个部分可以看出，压强的大小与容器的形状无关。因此，不论盛液体容器的形状怎么复杂，只要知道液面压强和该点在液面下的深度，就可以求出该点的压强。ghpp0p0h液体静力学基本方程式由于断面1，断面2是任意断面，可得液体中任意两断面压强普遍关系式应用压强关系式求静止液体内某一点的压强设液面压强为p0，液体密度为hgpp12深度相同的各点，压强也相同。这些深度相同的点所组成的平面是一个水平面，可见水平面是压强处处相等的面。因此得出结论，水平面是等压面。静止液体任一边
5、界面上压强的变化，将等值的传到其他各点。ghpp0p0h20021001ZZgppZZgppgpZgpZgpZgpZ00220011p0h2h1Z0Z2Z1p1p2gpZgpZgpZ002211CgpZzgp位置水头压强水头gpZ测压管水头n液体静压强分布规律只适用于静止，同种，连续液体。n两种密度不同互不混合的液体，在同一容器中处于静止状 态，一般是重的在下，轻的在上，两种液体之间形成分界 面，这种分界面既是水平面又是等压面。n静止的液体和气体接触的自由面，受到相同的气体压强，所 以自由面是分界面的一种特殊形式，它既是等压面，也是水 平面。12hn如果同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液
6、体，要从 某一种液体中某一点的已知压强，求另一种液体中另一点的 位置压强时，必须先求出两种液体间的分界面的压强，进而 求出未知的压强。如果这两种液体不是直接相连的，那么就 应该求出相互连通的各段液体的分界面的压强。及，求大气压强若图所示。容器中，各液面深度如的两种液体，装在图示和密度为AaabapkPapmkg98,/10003b85.0)5.085.0(5.0323241gppgppgpppppppbaAabaaaa气体压强计算 以上规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不可压缩气体也仍然适用。由于气体密度很小，在高差不大的情况下，可忽略气柱产生的压强，认为空间各点气体压强相等。例如液体
7、容器，测压管，锅炉等上部的空间，我们就认为各点的压强也是相等的。等密面是水平面静止非均质流体的水平面是等压面，等密面，等温面。ppppppppppavaavpppatmmHgatmatmkPammHgOmmH2at 一封闭水箱，如图所示，水面上压强p0=85 kN/m2，求水面下h=1m点C的绝对压强、相对压强和真空压强。已知当地大气压 pa=98 kN/m2,=1000kg/m3。由压强公式由压强公式 解题步骤解解：得得C C点绝对压强为点绝对压强为 相对压强为负值，说明相对压强为负值，说明C C点存在真空。点存在真空。，C C点的相对压强为点的相对压强为 由公式由公式ghpp0,22320
8、94.8kN/m1m9.8m/s1000kg/mkN/m85ghpp appp2223.2kN/m98kN/mkN/m8.94appp解题步骤相对压强的绝对值等于真空压强，即相对压强的绝对值等于真空压强，即 得得 2kN/m2.3vp或据公式或据公式pppav 2223.2kN/m94.8kN/mkN/m98pppav一、测压管一、测压管2.4 2.4 液柱式测压计液柱式测压计AAghpAvAAAAghpghpghp0AAghpgaghpghgapmmAmmAm二、压差计二、压差计 123ghghghppABBA三、微压计三、微压计 sin21glppp1p2p1p2题 目 某供水管路上装一复
9、式某供水管路上装一复式U U形水银测压计，如图所形水银测压计，如图所示。已知测压计显示的各液面的标高和示。已知测压计显示的各液面的标高和A A点的标高点的标高为：为：1.5m 0.8m,2.0m,0.6m,m8.15A4321试确定管中试确定管中A A点压强。点压强。)kg/m101,kg/m106.13(3333H解题步骤解：解：因因2-22-2、3-33-3、4-44-4为等压面，根据静压强公式可得为等压面，根据静压强公式可得 已知断面已知断面1 1上作用着大气压，上作用着大气压，因此可以从点因此可以从点1 1开始，通过等开始，通过等压面，并应用流体静力学基压面，并应用流体静力学基本方程式
10、，逐点推算，最后本方程式，逐点推算，最后便可求得便可求得A A点压强。点压强。)(212gpH)(2323gpp)(4334gppH)(4545gpppA，解题步骤将已知值代入上式，得将已知值代入上式，得 ，联立求得联立求得 )()()()(45432321ggggpHHA299.3kPa0.8m)(1.5m9.8m/skg/m1010.8m)(2.0m9.8m/skg/m1013.60.6m)(2.0m9.8m/skg/m1010.6m)(1.8mm/s8.9kg/m106.13233233233233Ap？哪点最小？哪些点相等各点的压强哪点最大？、，试问同一水平线上的（水）的两种不同液体（
11、水银）一封闭容器盛有543211252143ppppp一、作用于平面壁上的总压力 1、确定总压力的方向：由流体静压强特性知：总压力方向沿受压面内法线方向。2、确定平面壁上所受的总压力大小：平板面积为A，形心为C，作用点为D（常称压力中心），平板斜置的倾角为，左侧受水压力，C点液下深度为hC，D点液下深度为hD。ApAghPccch受压面形心在水面下的淹没深度cp受压面形心的静压强A受压面积作用在任意位置任意形状平面上的水静压力值等于受压面面积与其形心点所受水静压强的乘积。作用于受压平面上的水静压力，只与受压面积A，液体密度及形心的淹没深度hc有关，与容器的形状无关。AyIyycccDAyIyy
12、ycccDeAIyyyccDe：压力中心沿y轴方向至受压面形心的距离：压力中心沿y轴方向至液面交线的距离：受压面形心沿y轴方向至液面交线的距离：受压面对通过形心且平行于液面交线轴的轴的惯性矩：受压面受压部分面积压力中心在x轴上的坐标取决于平面形状，在实际工程中，受压面常对称于y轴，则压力中心在x轴上的位置必然在平面的对称轴上，无需进行计算。常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形CyCI2h312hbh32336hb梯形圆半圆babah23bababah2234362d464dd32421152649d 利用上面公式只能求出液面压强为大气压强时，作用于平面的水静压力及其压力中心。如果容器封闭，液
13、面压强大于或小于大气压强时，则应以相对压强为零的虚设液面求解水静压力及压力中心。假设液面和容器实际液面的距离为当p0pa时，虚设液面在实际液面的上方，反之，在下方。gppa0例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开22m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开封闭容器液面上升高度为mgPPa4807.907.9837.13706060p p0 01m1m2m2mo o4m4my ymyC6.61160sin44333.13412mhbICCCCCDymAyIyy65.605.06.646.633.16.6mhC
14、73.560sin114kNAghPC22560o4myyCyDCD图解法（求解矩形平面）图解法（求解矩形平面）1 1 水静压强分布图水静压强分布图 用一定比例的线段表示压强的大小。用一定比例的线段表示压强的大小。与作用面垂直的箭头表示压强的方向。与作用面垂直的箭头表示压强的方向。遵循：遵循：（1 1）水静压强的方向指向作用面的内法线；）水静压强的方向指向作用面的内法线；（2 2）点压强的值与作用面的方向无关；）点压强的值与作用面的方向无关；（3 3）点压强的大小由）点压强的大小由p=p=g gh h确定。确定。2.图解法依据ghpp0PApAghhAgbhghSbVCC2121作用点：V的形
15、心处2h/3或ghpp0 p0 P0作压力分布图用分割法求作用点：对AA 求矩矩形面积三角形面积梯形面积llyD2132点算起从AyD总面积对某轴之静面矩等于各部分面积对同轴静面矩之和一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深一矩形闸门铅直放置，如图所示，闸门顶水深h1=1m，闸门高，闸门高h=2m，宽，宽b=1.5m，试用解析法和图解法求，试用解析法和图解法求静水总压力静水总压力P的大小及作用点。的大小及作用点。题 目1.解析法解析法解题步骤解解：求静水总压力求静水总压力 由图由图a知，矩形闸门几何形心知，矩形闸门几何形心面积面积23m2m1.5mbhA代入公式代入公式AghPC，得，得b图图
16、ahCCb2mh/2hh 1C58.8kN3m2m9.8m/s1kg/mAghP223C2mhlCC 因因 代入公式代入公式面积惯距面积惯距433C1m2m1.5m121bh121I AlIllCCCD，得，得2.17m2m1.5m2m1m2mAlIll4CCCD而且压力中心而且压力中心D在矩形的对称轴上。在矩形的对称轴上。CDblClDhC39.2kN/mh)gh(2h21hghhg21111 h闸门宽闸门宽b=1.5m，代入公式，代入公式gh1g(h1+h)eD图图b2.图解法图解法先绘相对压强分布图，见图先绘相对压强分布图，见图b b。压强分布图的面积压强分布图的面积 bP，得，得58.
17、8kN39.2kN/m1.5mbP因压强为梯形分布，压力中心因压强为梯形分布，压力中心D离底的距离离底的距离e为为lD0.83m2m)(1m31m2m)(1m1m2m2h)(h3hh)(hh2he1111如图如图b所示，或所示，或2.17meh)(hl1D而且压力中心而且压力中心D在矩形的对称轴上。在矩形的对称轴上。题 目 如图所示为一平板闸门，水压力经闸门的面板传如图所示为一平板闸门，水压力经闸门的面板传到三个水平横梁上，为了使各个横梁的负荷相等，到三个水平横梁上，为了使各个横梁的负荷相等，三水平横梁距自由表面的距离三水平横梁距自由表面的距离y y应等于多少？已知水应等于多少？已知水深深h
18、h=3m。y3y2y1P1P2P3h1h2h3h首先画出平板闸门所受的首先画出平板闸门所受的静水压强分布图。静水压强分布图。解题步骤解解：单位宽闸门上所受的静水总压单位宽闸门上所受的静水总压力可以由图解法计算静水压强力可以由图解法计算静水压强分布图的面积求出，即分布图的面积求出，即 44100N1m3m3m9.8m/skg/m100021m12123hghPg hD Dh hP P将压强分布图分成三等分，将压强分布图分成三等分，则每部分的面积代表则每部分的面积代表解题步骤若使三个横梁上的负荷相等，则若使三个横梁上的负荷相等，则每个梁上所承受的水压力应相等，每个梁上所承受的水压力应相等，即即 h
19、 hN1470031321PPPPP31h h3h h2h h1 1P31P31P31以以321h,h,h表示这三部分压强分布图的高度，表示这三部分压强分布图的高度，21121ghP因此，因此，m73.1211gPh则则则则解题步骤同理，同理，因此，因此h hh h3h h2h h1 1P31P31P31所以所以每根横梁要承受上述三部分压强分布面积的压力，每根横梁要承受上述三部分压强分布面积的压力，横梁安装位置应在各相应压力的压心横梁安装位置应在各相应压力的压心 y1、y2、y3上。上。2211212)hg(hP45m.221hh72m.073m.145m.245.212hh55m.045m.
20、23m213hhhh解题步骤对于梯形面积，其压力中心距下底的距离对于梯形面积，其压力中心距下底的距离 y y1 1P31P31P31，则，则同理，同理，)(3)(22112112hhhhhhhe11m.245m.273m.145m.273m.12372m.045m.2212ehhym72.23y对于三角形压强分布，压力中心距底部距离为对于三角形压强分布，压力中心距底部距离为 31he，则，则1.16mm73.13232111hehyy y2y y3 3AB为承受液体压力的圆柱曲面即二向曲面，其面积为A。自由液面通大气，即自由液面相对压强为零。液体作用在曲面上的压力为PoxzP 一、总压力的水平
21、分力Px -面积Az对oy轴的静面矩，所以 AZ-面积A在yoz平面的投影 则 ZcxAghPZAZAAAXXhdAghdAgdPdPPcoscoszAZhdAZcAZAhhdAz作用于曲面上的水静压力P的水平分力Px等于该曲面的铅直投影面上的水静压力。二、总压力的垂直分力Pz Az-面积A在自由液面xoy平面或其延伸面上的投影面积。-以曲面ab为底，投影面积Ax为顶以及曲面周边各 点向上投影的所有垂直母线所包围的一个空间体 积称为压力体积，以V表示。则 XAXhdAXAXAAAzzhdAghdAgdPdPPsinsingVPz总压力22zxPPP总压力与x轴之间夹角XZPParctg作用于曲
22、面上的水静压力的铅直分力等于其压力体内的液体所受的重力。压力体压力体的界定方法是，设想取铅垂线沿曲面边缘平行移动一周，割出的沿自由液面（或延伸面）为上底，曲面本身为下底的柱体就是压力体。因曲面承压位置的不同，压力体有三种界定情况。PzdPABPzdPABPzABC实压力体虚压力体压力体叠加对于复杂曲面：对于复杂曲面：（1）进行分段处理。）进行分段处理。（2）对每段曲面，画出压力体。）对每段曲面，画出压力体。（3）判断每段曲面的垂直分力的方向。）判断每段曲面的垂直分力的方向。（4）叠加）叠加（5）两边有水的情况，先分别画出各边的压力体，再叠加。）两边有水的情况，先分别画出各边的压力体，再叠加。题
23、 目如图为一溢流坝上的弧形闸门。已知：如图为一溢流坝上的弧形闸门。已知：R R10m10m，闸门宽，闸门宽b=8mb=8m，=30=30。求。求作用在该弧形闸门上的静水总压力的作用在该弧形闸门上的静水总压力的大小和方向。大小和方向。（1 1）水平分力）水平分力 解题步骤解解：铅垂投影面如图铅垂投影面如图面积面积24030sin8mRbhAz投影面形心点淹没深度投影面形心点淹没深度m5.6230sinR42h4h c所以所以 KNAghPzcx2548405.68.91000 方向向右方向向右 bChhC压力体如图中压力体如图中abcdeabcde 2m压力体体积压力体体积 bAVabcde因因
24、 cdeabceabcdeAAA236.5)30cos(4mRRAabce所以所以2abcdem88.952.436.5A故故KN6.774888.98.91000gVPz方向向上方向向上 cdeA=扇形面积ode三角形面积ocd 4.52=30cosR30sinR2136030R2（3 3）总压力）总压力KNPPPzx26632291.16)25486.774()(arctgPParctgxz(4)(4)作用力的方向作用力的方向合力指向曲面，其作用线与水平方向的夹角以上讨论了质量力仅为重力作用时流体静压强分布规律及压力计算问题。现在，进一步讨论质量力除重力外，还有其他质量力作用时的流体平衡问
25、题。讨论的方法是首先建立平衡微分方程式。在平衡流体中任取一微元六面体，其边长分别为dx，dy，dz，坐标的选取如下图。分析x方向的受力平衡情况：质量力在x,y,z方向的投影为 设六面体中心a处的静压强为 p(x,y,z)dxdydzZdxdydzYdxdydzX作用在b,c点处的压强可用坐标形势表示：zydxxpzydxxp,21,21将 展成 的泰勒级数，即zyxpzydxxp,21 222),(81),(21),(,21dxxzyxpdxxzyxpzyxpzydxxp略去高阶无穷小量，则dxxzyxpzyxpzydxxp),(21),(,21则b点压强dxxpppb21dydzdxxpp2
26、1dydzdxxpp21同理c点压强ABCD面上压力为EFGH面上压力为dxxpppc21处于平衡状态的液体，质量力与表面力必须互相平衡，对于x轴向的平衡02121dxdydzXdydzdxxppdydzdxxppdxdydz同除 ，并化简得01xpX01ypY01zpZ欧拉平衡方程同理xpX1ypY1zpZ1它指出流体处于平衡状态时，作用于流体上的质量力与压强递增率之间的关系。表示单位质量力在某一轴的分力，与压强沿该轴的递增率相平衡。如果，单位体积的质量力在某两个轴向分力为零，则压强在该平面就无递增率，则该平面为等压面。如果质量力在各轴向的分力均为零，表示无质量力作用，则静止流体空间各点压强
27、相等。将上式依次乘以dx,dy,dz，并相加得)(ZdzYdyXdxdzzpdyypdxxp液体压强p的全微分)(ZdzYdyXdxdp不可压缩流体=c函数W(x,y,z)的全微分dzzWdyyWdxxWdW则因此CWpdWdp积分得流体平衡压强分布规律的基本微分关系式3.两种互不相混的流体处于平衡状态时，它们的分界面必 为等压面。满足条件的函数W(x,y,z)称为势函数，具有这样势函数的质量力称为有势力。等压面 p=常数 dp=0 则有：dW=0即W=常数1.等压面也是等势面。dWdp0ZdzYdyXdx)(ZdzYdyXdxdp式中，dx、dy、dz可设想为流体质点在等压面上的任一微小位移
28、ds在相应坐标上的投影。当流体质点沿等压面移动距离ds时，质量力所作的功为0，所以：2.等压面与质量力正交。可以分析得出出静止流体的特性：aX0Y等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡静压强的分布规律 gZ代入压强差公式 gdzadxdp坐标原点选在液面不变化的o点，z轴垂直向上，x轴沿罐车的运动方向积分得 Cgzaxp第八节第八节 液体的相对平衡液体的相对平衡Pa)(ZdzYdyXdxdp0zapp apC 当 时得gzaxppa静压强不仅与垂直坐标有关系，同时还和水平坐标有关系等压面方程 0gdzadx积分得 1Cgzax平面和x轴的夹角为 gaarctg等压面为一簇倾斜平面0 x等加速水
29、平直线运动容器中液体的相对平衡gdzadxdp01Cxgaz01C0sgzaxxgazs自由液面 得)(00zxgagpgzaxpp得ghpzzgpps00等加速水平直线运动容器中液体的相对平衡1Cgzax代入自由面确定后，我们可以根据自由面求任一点的压强，方法是求出该点沿铅直线在液面下的深度，然后用水静力学公式进行计算。等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡将坐标原点取在抛物面的顶点上，z轴垂直向上，xoy面水平xrX22sinyrY22cosgZ单位质量力分量分别为代入压强差公式 gdzydyxdxdp22CgzrCgzyxp222222222xyxyx)(ZdzYd
30、yXdxdp当0z0rapp 时代入上式得 apC gzrppa222等压面方程 022gdzydyxdx积分得 1222222Czgygx1222Czgr等压面为旋转抛物面 01C的等压面为自由液面 等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡自由液面方程 grzs222ghpzzgpps00代入得 0222szgr特例一 顶盖中心开口的旋转容器（离心式铸造机）gzrCp2220,0 xzapC app 中心处中心处等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡222rppa盛满水的圆形容器，盖板中心开一小孔，容器以角速度绕铅直轴转动，等压面由静止时的水平面变成
31、抛物面，因为盖板封闭，迫使水面不能上升，盖板各点承受的压强为0z盖板各点特例二 顶盖边缘开口的旋转容器（离心式水泵、离心式风机）Cgzrp2220zRr app 时得222RpCagzrRppa2222等角速旋转容器中液体的相对平衡等角速旋转容器中液体的相对平衡盛满水的圆形容器，盖板边缘开一小孔，容器以角速度绕铅直轴转动，容器旋转后，液体虽未流出，但压强发生了变化，液体中各点压强分布为度差。形管两支管中液面的高试求，度为直线等加速行驶，加速，汽车在水平路面上沿形管水平方向的长度形管，如图所示，汽车上装有内充液体的例UsmamLUU25.05.0 1LhLhhgatg21mmLgah5.255.
32、0806.95.0解解当汽车在水平路面上作等加速直线运动时,U形管两支管的液面在同一斜面上,设该斜面和水平方向的夹角为 ,由题意知由上式可解出两支管液面差的高度由上式可解出两支管液面差的高度例2 矩形木箱长3m，静止时液面离箱底1.5m,现以3m/s2的等加速度水平运动，试计算此时液面与水平面之间的夹角以及作用在箱底的最大压强与最小压强。ABHxzO1.5m1.5m1.5ma173059.021.105.1807.935.1 807.9100021.19)5.1(807.935.1 807.910005.1A5.1B)5.1(5.1)(minmaxminmaxgatgxgazKPappKPap
33、pmxxmxxxgagpmzzxgagpBAAB液面方程：点：在点：在在箱底：线运动压强分布公式根据敞口容器等加速直力为零。，顶盖上所受静水总压时容器的转速为多少时。问此的水位管中处安装一开口测压管，旋转，在顶盖上，绕垂直轴等角速圆柱形容器，直径如图所示，一充满水的例mhmrmd5.0 43.02.1720Cgzrp22200rrz解解等角速旋转容器中液体相对平等角速旋转容器中液体相对平衡时衡时,流体静压强的通用公式为流体静压强的通用公式为将顶盖上的边界条件将顶盖上的边界条件 时时 代入上式代入上式,可求得积分常数可求得积分常数 ghp2202rghC22022rrghp1624422222022220220220drdghdrdrrrghrdrpFdd0Fsdrgh17.442.143.085.0806.91681622220min42727.4460260rn代入上式得代入上式得作用在顶盖上的静水总压力为作用在顶盖上的静水总压力为令令 ,由上式可以解出由上式可以解出第二章作业2-1 2-12 2-22 2-29 2-35 2-48
