1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、小结三、小结第三节第三节 三重积分的三重积分的 计算计算第1页，共46页。设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域上的有界上的有界函数，将闭区域函数，将闭区域任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v，2v,nv，其中，其中iv 表示第表示第i个小闭区域，也个小闭区域，也表示它的体积表示它的体积,在每个在每个iv上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),(，),2,1(ni，并作和，并作和,如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零趋近于零时，这和式的极限存
2、在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(zyxf在闭区域在闭区域上的上的三重积分三重积分，记为，记为 dvzyxf),(,一、三重积分的定义一、三重积分的定义第2页，共46页。即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv,的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz第3页，共46页。直角坐标
3、系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz1.坐标面投影法坐标面投影法(先一后二先一后二).,xoyD 闭区域在闭区域在面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域第4页，共46页。函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(,),(),(21),(),(y
4、xzyxzdzzyxfyxF(,)F x yD计算在闭域上的二重积分计算在闭域上的二重积分.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得第5页，共46页。dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx21()()(,)(,).byxayxDF x y ddxF x y dy 从而：从而：第6页，共46页。注意注意.yzxS 1.1.以上是平行于轴且以上是平行于轴且穿过闭区域内部的直线与穿过闭区域内部的直线与闭区域的闭区域的闭区闭区边界曲面相交边界曲面相交域域称为称为不多于两
5、不多于两型型点情形此时点情形此时空间区域空间区域，xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx.xyyzxzyzxz 2.2.若平行于 轴或 轴的任何若平行于 轴或 轴的任何直线与区域 的边界曲面的交点不多于两个，类似地，直线与区域 的边界曲面的交点不多于两个，类似地，可把 投影到面或面，进而把相应的三重积分化为可把 投影到面或面，进而把相应的三重积分化为三次积分。此时三次积分。此时称为型或型空间区域称为型或型空间区域，3.3.若平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于若平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个时，也可与二重积分一样
6、，把 分割成若干两个时，也可与二重积分一样，把 分割成若干个部分，然后再化为以上的情形。个部分，然后再化为以上的情形。第7页，共46页。例例 1 1 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中积分区域次积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解由由 22222xzyxz,得得交交线线投投影影区区域域,122 yx第8页，共46页。故故 ：22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI第9页，共46页。例例2 2 化化三三重重积积分分 dxdydzzyx
7、fI),(为为三三次次积积分分，其其中中 积积分分区区域域 为为由由曲曲面面22yxz ,2xy ,1 y,0 z所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域.1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解.11,1,0:222 xyxyxz如图，如图，第10页，共46页。2.坐标轴投影法坐标轴投影法(截面法截面法)，其一般的步骤为：，其一般的步骤为：(1)把积分区域把积分区域 向某轴（例如向某轴（例如 z 轴）投影，轴）投影，得投影区间得投影区间,21cc；(2)对对,21ccz 用过用过 z轴且平行轴且平行xoy平面的平平面的平面去截面去截 ，得截面，得截面zD;(3)计算二重积分计算二重
8、积分 zDdxdyzyxf),(其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z第11页，共46页。例例 3 3 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域.解法解法 1（坐标轴投影法）（坐标轴投影法）zdxdydz,10 zDdxdyzdz1|),(zyxyxDz 1(1)(1)2zzDDdxdySzz 原式原式 102)1(21dzzz241.xozy1111法：法：第12页，共46页。zdxdydz zzydxdyzdz101
9、010 zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.2法：法：1100zzy zDdxdydydx xoz111解解法法 2（坐坐标标面面投投影影法法）zdxdydz111000 xxydxdyzdz :01:xyzzxyD01,01xyx1120011(1)224xdxxydy 第13页，共46页。例例 4 4 计计算算三三重重积积分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由 椭椭球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空间间闭闭区区域域.:,|),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解第14页，共46页。)
10、1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc|),(yxDz 1222222czbyax 原式原式第15页，共46页。例例 5 5 计计算算三三重重积积分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所围围成成.将将 投投影影到到zox平平面面得得:xzD 122 zx,先先对对y积积分分，再再求求xzD上上二二重重积积分分,解解如图如图,第16页，共46页。22221121112xxxzx dxdz dxzzxxxx221132112|)3(1 1142)21(31dxxx.452
11、8 221211xzxzDx dxdzydy原式原式222211121111xxxzx dxdzydy 第17页，共46页。,0 r,20 .z三、利用柱面坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),(规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr第18页，共46页。.,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如
12、图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo第19页，共46页。dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系中如图，柱面坐标系中的体积元素为的体积元素为,dvdxdydzrdrd dz xoy 若积分区域 在面上的投影易用极坐标若积分区域 在面上的投影易用极坐标表示时，采用柱面坐标求表示时，采用柱面坐标求注：注：解则更简。解则更简。第20页，共46页。例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围
13、的立体.解解由由 zzryrx sincos,zrzr34222,3,1 rz知交线为知交线为第21页，共46页。23242030rrzdzrdrdI.413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy.20,3043:22 rrzr，第22页，共46页。四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分(,)M x y zMrrOMOMzzxOPPMxoyrM 设为空间内一点，设为空间内一点，则点可用三个有次序的数则点可用三个有次序的数，来确定，其中为，来确定，其中为原点与点间的距离，为有向线段原点与点间的距离，为有向线段与轴正向所夹的角，为从正轴来看自与轴正向所夹的角
14、，为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里为点在面上的投影，这样的三个数为点在面上的投影，这样的三个数，就叫做点的球面坐标，就叫做点的球面坐标Pxyzo),(zyxMr zyxA第23页，共46页。,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面第24页，共46页。cossincos,sinsinsin,coscos.xOPryOPrzOMr 球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyx
15、A，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM,.sinsinOAxAPy PMzOPOMr 则则第25页，共46页。dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，第26页，共46页。例例 2 2 计计算算 dxdydzyxI)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx 与与平平面面az )0(a所所围围的的立立体体.解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos
16、 ar222zyx ,4 ,20,40,cos0:ar第27页，共46页。dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 第28页，共46页。解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx ,rz ,20,0,:arazr第29页，共46页。例例 3 3 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐
17、坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20:ar第30页，共46页。由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV,adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 第31页，共46页。补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 一般地，当积分区域一般地，当积分区域 关于关于xoy平面对称，且被平面对称，且被积函数积函数)
18、,(zyxf是关于是关于z 的奇函数，则三重积分为的奇函数，则三重积分为零，若被积函数零，若被积函数),(zyxf是关于是关于z 的偶函数，则三的偶函数，则三重积分为重积分为 在在xoy平面上方的半个闭区域的平面上方的半个闭区域的三重积三重积分的两倍分的两倍.奇偶性奇偶性第32页，共46页。例例 4 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其中积分区域其中积分区域1|),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z.01)1ln(222222 dxdydzzyxz
19、yxz第33页，共46页。解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 5 5 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域.其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数,且且 关关于于zox面面对对称称,0)(dvyzxy,第34页，共46页。同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数,且且 关关于于yoz面面对对称称,0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx第35页，共46页。在在柱柱面面坐坐标标下下：,
20、20 ,10 r,222rzr 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 222222222,zxyzrxyzzr 1,r 交线为交线为1.xoyr 故在面的投影域为 故在面的投影域为 第36页，共46页。三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结第37页，共46页。（1）柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2）球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2（3）对称性
21、简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标第38页，共46页。思考题思考题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为奇函数时为奇函数时关于关于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2第39页，共46页。思考题思考题 为六个平面为六个平面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围成的区域，围成的区域，),(zyxf在
22、在 上连续，上连续，则累次积分则累次积分(,)f x y z dv _.选择题选择题:第40页，共46页。;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD第41页，共46页。一、一、填空题填空题:1 1、若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _.2 2、若若 是由曲面是由曲面0(cxycz),),12222 byax,0 z所所围成的在
23、第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、若若10,10,10:zyx,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题第42页，共46页。4 4、若、若:是由是由),0(,0,0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成,则三重积则三重积 分分 dvzyxf),(可化为：可化为：(1)(1)次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._.(3)(3)次序为次序为yzx的
24、三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32,其中其中 是由曲面是由曲面xyz ,与平与平 面面01,zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 .第43页，共46页。三、计算三、计算 xzdxdydz,其中其中 是曲面是曲面1,0 yyzz,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域.四、计算四、计算 dvyx221,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0,0,2(),2.1.1(),0,1,1(),0,0,1(DCBA )4,2,2(),0,2,2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台.第44页，共46页。一、一、1 1、111112222),(yxxxdzzyxfdydx；2 2、cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22；3 3、101010)(dzzyxdydx，23；4 4、hxaxaadzzyxfdydx020),(22，22200),(xaxaahdyzyxfdxdz；22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy练习题答案练习题答案第45页，共46页。二二、3641.三三、0 0.四四、2ln.第46页，共46页。
