1、第第3 3章章 静态电磁场及其静态电磁场及其边值问题的解边值问题的解 3.1 3.1 静电场分析静电场分析 以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场、恒定电场的特性和求解方法。性和求解方法。首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位首先建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程；引入电位函数函数;导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条导出电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程；确立电场的边界条件件 。最后讨论电容的计算，电场能量的计算。最后讨论电容的计算，电场能量的计算。第1页，共106页。3.1.1 3.1.1
2、 静电场的基本方程静电场的基本方程和边界条件和边界条件3.1.2 3.1.2 电位函数电位函数3.1.3 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容3.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量3.1.5 3.1.5 静电力静电力第2页，共106页。3.1.1 3.1.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 关系式关系式 称为真空的电特性方程或本构关系称为真空的电特性方程或本构关系 00DE 静电场的源变量是电荷静电场的源变量是电荷 q r 第第2 2章中已由库仑定律引入了电荷章中已由库仑定律引入了电荷 产生的电场强度产生的电场强度3014qRRE q r 任意电荷分布产生的电场强度任意电荷分布
3、产生的电场强度 301d 4rRRE r 定义任意电荷分布产生的电位移矢量定义任意电荷分布产生的电位移矢量 0031d 4Rr RD rE r第3页，共106页。表示闭合曲面表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的对点电荷所在点张的立体角立体角024rqReD对任意闭合曲面对任意闭合曲面S 积分积分一、电场的散度一、电场的散度设空间存在一点电荷设空间存在一点电荷 ，则，则 点的电位移点的电位移 q rPqr rRrrPo022ddd44rrSSSqqRReeSDSS所以所以02dd40rSSqqReSDS在闭合面内在闭合面内q在闭合面外在闭合面外q若闭合面内有若闭合面内有N 个点电荷个点电荷若闭合面
4、内的电荷分布为若闭合面内的电荷分布为 r 0ddSDSrS为 的外表面01dNiiSq DS真空中的高斯定律真空中的高斯定律散度定理0dD于是电场的散度方程于是电场的散度方程0 D（高斯定理的微分形式）（高斯定理的微分形式）第4页，共106页。二、电场的旋度二、电场的旋度22000dd11d444RrABllRqqRqRRRRBAelEl真空中电场的基本方程真空中电场的基本方程dsq DS0Dd0l El0E在点电荷在点电荷 的电场中，任取一条曲线的电场中，任取一条曲线 ，积分，积分ql当积分路径是闭合曲线，当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得两点重合，得d0l El斯托克斯定理0EqA
5、BARBRl第5页，共106页。2014 r D435200204d435rrrrrraa 2010d4drSrrrDS 42230020084d4d15aarrrrrraa 2024 r D02dsQ DS当当ra当当ra 补充例题补充例题 电荷按体密度电荷按体密度 分布于半径为分布于半径为a 的球形区域内，的球形区域内，其中其中 为常数。试计算球内外的电位移矢量。为常数。试计算球内外的电位移矢量。2201/rra0解解:电场具有球对称性，电场具有球对称性，于是于是30202215aDr于是于是3010335rrDa第6页，共106页。2.边界条件nnnnnssnnsnttnDDDDEE22
6、112121212121218.1.3007.1.36.1.30E EE EE EE Ee eE EE Ee eE EE Ee e此时电位移矢量连续或，则由电荷，即若分界面上不存在面自或，电位移矢量满足在两种电介质分界面上或，电场强度满足在两种电介质分界面上第7页，共106页。xyzxyzEeee直角坐标系E3.1.2 3.1.2 电位函数电位函数1.1.电位和电位差电位和电位差由由0E ，称为静电场的标量位函数，又称电位函数称为静电场的标量位函数，又称电位函数xyzExEyEzlEl 由此可求得电位的微分由此可求得电位的微分dddlE lEl在任意方向上的分量在任意方向上的分量E 空间空间A
7、、B 两点的电位差两点的电位差dBBAlA El 若选取若选取 为电位参（即为电位参（即 ），），则任意点则任意点 的电位为的电位为(,)PPPP xy z0P(,)A x y z,dPPPxyzAPlx y zEl第8页，共106页。对于点电荷的电场，其电位为对于点电荷的电场，其电位为200001dd441144RRRRRpqqRRRqqCRRRPPel 体电荷体电荷 、面电荷、面电荷 、线电荷、线电荷d dSdll 产生的电位分别为产生的电位分别为000ddd111,444lsllSCCCRRRPR 若取若取 处的电位为零，则处的电位为零，则04qR第9页，共106页。qqdlrrr,P
8、r z 解：取如图所示坐标系，场点解：取如图所示坐标系，场点 的电位等于两个点电荷电位的叠加的电位等于两个点电荷电位的叠加 ,P r 0114qrr而而22d2 d cosrrlr l2211d2 d cosrrlr l当当drl2111d coslrrr因此因此22001111dd cos4cos4lrrrqlrd cosdrrq lql ep e由于由于得电偶极子的电位得电偶极子的电位23001144rrrp ep r电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度530314rrp rpEr例例3.1.1 3.1.1 求电偶极子求电偶极子 的电位的电位dqpl r(教材例教材例3.3.1)3.3.1
9、)。第10页，共106页。2.2.静电位的微分方程（泊松方程静电位的微分方程（泊松方程 拉普拉斯方程）拉普拉斯方程）E由由00 DED0 020 在直角坐标系中在直角坐标系中2222222xyz电电位位的的泊泊松松方方程程若空间电荷分布为零，则有若空间电荷分布为零，则有20电位满足的拉普拉斯方程电位满足的拉普拉斯方程 补充例题补充例题 半径为半径为a 的带电导体球，其电位为的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计（无穷远处电位为零），试计算球外空间的电位。算球外空间的电位。解：解：球外空间的电位满足拉氏方程球外空间的电位满足拉氏方程20 电位满足的边界条件电位满足的边界条件0r ar
10、U由题意可知电位及电场具有球对称性由题意可知电位及电场具有球对称性 r在球坐标系下在球坐标系下2221 ddddrrrr直接积分12CCr因此因此aUr20C 1CaU 2rraUrrrEee第11页，共106页。电位的边界条件电位的边界条件：sssnnnnn常数电位边界条件为若第二种媒质为导体，则电荷，即若分界面上没有自由面21.1.3020.1.319.1.32211221121第12页，共106页。例3.1.3 两块无限大接地导体板分别位于x=0,x=a处，在两块导体板间 abdxxdxxEaabdxxdxxExaabxxaabxbDabCDaabCxxxxbbbxaaxxDxCxDxC
11、xaxbdxxdbxdxxdbxsxxsxxssssssbxs00222001110020010020021001001221212221112222120;.,;0,43.201;000;0;00e ee ee ee e解得：处，处，处，有题设边界条件：方程的解为：维拉普拉斯方程为解：电位函数满足的一体板间的电位和电场。的均匀电荷分布。求导处有一面密度为间的o ox xy yb ba a第13页，共106页。补充内容：补充内容：点电荷的点电荷的 函数表示函数表示 格林函数格林函数 为表示点电荷的体密度，引入为表示点电荷的体密度，引入 函数函数 00 d1 dffrrrrrrrrrrrrrrr
12、r 于是位于于是位于 处的点电荷处的点电荷q 的体密度为的体密度为rrqrr 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程单位点电荷产生的电位满足的泊松方程20/rr 定义格林函数定义格林函数0,G r rr r20,1,4,GGGG 0：。满满足足的的方方程程无无界界空空间间中中的的解解格格林林函函数数的的对对称称性性意意义义：电电荷荷量量为为 的的点点电电荷荷的的电电位位r rrrr rr rrrr rr r第14页，共106页。格林定理格林定理 泊松方程的积分公式泊松方程的积分公式格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。ddSSAA n由散度定理由散度定理设设 A2
13、n AA nn而而得得格林第一恒等式格林第一恒等式2ddSSn同理，若设同理，若设 A格林第一恒等式表示为格林第一恒等式表示为2ddSSn22ddSSnn 格林第二恒等式格林第二恒等式第15页，共106页。利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解利用格林函数的性质和格林第二恒等式可得到有界空间中的泊松方程的积分解 01,d,dSGGGrrr rr rrrr rS以上公式说明，只要知道区域以上公式说明，只要知道区域 内的电荷分布内的电荷分布 以及区域边界面以及区域边界面 上的电上的电位位 和电位梯度和电位梯度 值，就可求出区域内的电位分布。值，就可求出区域内的电位分布
14、。r r rS第16页，共106页。惟一性定理惟一性定理 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方程的解都是惟一的。这就 是边值问题的是边值问题的惟一性定理惟一性定理 实际边值问题的边界条件分为三类实际边值问题的边界条件分为三类123sssffnfn第一类边界条件第一类边界条件第二类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第三类边界条件 惟一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论依据。惟一性定理的意
15、义：是间接求解边值问题的理论依据。第17页，共106页。当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。许多电偶极矩，电偶极矩又要产生电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。极化强度：极化强度：用用p 表示极化的程度，即表示极化的程度，即式中：式中：N 为单位体积内被极化的分子数为单位体积内被极化的分子数 极化体电荷极化体电荷 pP 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面由于电场的作用使电偶极子的
16、定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。出现极化面电荷。极化面电荷极化面电荷 pnePne（为介质表面外法线方向的单位矢量）为介质表面外法线方向的单位矢量）()库仑 平方米0limiavPN pp2C/m第18页，共106页。小圆柱侧面积，h为无穷小量，该面积趋于零一、电位移矢量一、电位移矢量D D 的边界条件的边界条件n n122D1D2nD1nDSh 将电场基本方程将电场基本方程 用于所用于所作的圆柱形表面。作的圆柱形表面。dsQ DS 设两种不同的电介质设两种不同的电介质 ，其分界面的法线方向为，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一小圆柱形，在分界面上作一小圆柱形表面
17、，两底面分别位于介质两侧，底面积为表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h 为无穷小量。为无穷小量。12,SdsSS 12DSD nDnDS方程左边方程左边1n2nDDS电位移矢量电位移矢量D D 的边界条件的边界条件12nnDD用矢量表示用矢量表示12nDD方程右边方程右边QS 为分界面上的自由电荷面密度为分界面上的自由电荷面密度第19页，共106页。二、电场强度二、电场强度E E 的边界条件的边界条件12dl ElElEl（其中（其中 为回路所为回路所围面积的法线方向）围面积的法线方向）0S0120l EESn 因为回路是任意的，其所围面因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而
18、有的法向也是任意的，因而有012nEE电场强度电场强度E E的边界条件：的边界条件：或表示为或表示为22tE2Eln1E1tEh10S 在分界面上作一小的矩形回路，其两边在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高分居于分界面两侧，而高 。将方程将方程 用于此回路用于此回路l0hd0l ElttEE12介质分界面两侧电场强度的介质分界面两侧电场强度的切向分量切向分量连续连续第20页，共106页。对于电位对于电位 由由ttEE1212tt12由由12nnDD1222nn1122nnEE 例例 3.9.13.9.1 半径分别为半径分别为a和和b 的同轴线，外加电压的同轴线，外加电压U
19、。圆柱电极间在图示圆柱电极间在图示 角部分角部分填充介电常数为填充介电常数为 的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例的介质，其余部分为空气，求内外导体间的电场。（教材例3.9.2)3.9.2)1ab0121 解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，解：问题具有轴对称性，选用柱坐标系，待求函数待求函数 ，11r 22r在圆柱坐标系下在圆柱坐标系下21 ddddrr rr2111 dd0ddrr rr于是电位于是电位 满足的拉普拉斯方程满足的拉普拉斯方程 1r其通解为其通解为1lnArB同理同理2lnCrD第21页，共106页。lnUAaB0lnAbBlnUCaD0lnCbD其中系数其中
20、系数A、B、C、D可由边界条件确定可由边界条件确定边界条件边界条件112200r ar br ar bUU/ln,ln/lnaaA UBUbbb/ln,ln/lnaaCUDUbbb于是于是12/lnlnbbUar 由此可知由此可知12121/lnrbUa rEEeab0121内导体表面单位长度的电荷内导体表面单位长度的电荷11212laa 由由内导体和区域内导体和区域1 1的边界条件的边界条件1111nrDDE由由内导体和区域内导体和区域2 2的边界条件的边界条件22022nrDDE得得1102lnlnlUUbbaa同轴线单位长度上的电容同轴线单位长度上的电容10102lnlCbUa第22页，
21、共106页。第23页，共106页。3.1.3 3.1.3 导体系统的电容导体系统的电容1.双导体电容的计算双导体电容的计算 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的电位差与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容电容，即电容为，即电容为 UqC 电容的单位电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有电容只有 F。实际中，通常取。实际中，通常取 F （微法）及（微法）及 pF（皮法）（皮法）作为电容单位。作为电容单
22、位。310708.0F10pF 1 F,10F1126第24页，共106页。2.2.部分电容部分电容 N 个导体组成的导体系统，其中第个导体组成的导体系统，其中第i个导体的电位与自身的电荷和其他导体的个导体的电位与自身的电荷和其他导体的电荷关系为电荷关系为 其中其中 为常数，称为为常数，称为电位系数电位系数，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质，与系统中所有导体的形状、位置及周围介质有关。有关。ijp1Niijjjp q1,2.iN（共有（共有 N 个方程）个方程）由以上由以上N 个方程可解出个方程可解出1Niijjjq 1,2.iN（共有（共有 N 个方程）个方程）当当 时时 称为称为电容
23、系数电容系数，时时 称为称为感应系数感应系数，且，且jjij，ijij，ijjiij 引入引入1,NijijiiijjCC，方程，方程 可写为可写为1Niijjjq 10Niiiiijijjj iqCCiiq与导体i的电位成正比ijq与导体i、j的电位差成正比其比值其比值0iiiiiqCijijijqC1211C1221CC22C第25页，共106页。例3.1.4图示的平行双线传输线平行双线传输线，每根导线的直径为a，双导线间的距离为D(Da)，周围是空气。求传输线单位长度的电容。解：设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度电场强度为)(22xDxEllxe e将上式
24、积分即得双导线双导线间的电压电压:aaDxDxdxUlaDalxaDaln|ln200e eE E第26页，共106页。根据电容的定义得平行双导线平行双导线单位长度的电容电容为mFaaDUCaDlln0ln01yzDdxba(a)(b)第27页，共106页。例例 3.1.5 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之间填充，内外导体之间填充介质的介电常数为介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度
25、方向一定沿径向方向。又因同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。结构对称，可以应用高斯定律。ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面作一个圆柱面作为高斯面S，则，则Sq dSE那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 baabqrEU ln2d因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 abUqCln2rrqeE2第28页，共106页。3.1.4 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提供的能量。电场能量来源于建立电荷系统过程中外界提
26、供的能量。设系统完全建立时，最终的电荷分布为设系统完全建立时，最终的电荷分布为 ，电位为，电位为 。设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子设充电过程中，各点的电荷密度按其终值的同一比例因子 增加，则各点的电增加，则各点的电位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为位也将按同一因子增加。即在某一时刻电荷分布为 时，其电位分布为时，其电位分布为 。的变化为的变化为 。01211dd22eWEE D dddeW 整个充电过程外界对整个系统提供的总能量整个充电过程外界对整个系统提供的总能量101d dd2eW 用场变量表示该能量为用场变量表示该能量为 单位体积的能量，称为能量密度单位体积
27、的能量，称为能量密度21122ewEE D 对某一体积元对某一体积元 ，变为变为 时（此时电位为时（此时电位为 电荷增加电荷增加 ）外界提供的能量外界提供的能量dddddq,第29页，共106页。例例3.1.6 在半径为a的球体内均匀分布着体电荷密度为的电荷，计算电场能量。解：解：用高斯定理可以得到电场为 20320133raErErre ee e(ra)第30页，共106页。所以 05222203022000220210201544321432121212121adrrradrrrdVEdVEdVEWaaVVVe第31页，共106页。解法二：0522002021032032202022030
28、2111544622121,33,6233adrrradVWarradradarradradrddVaerraraarar rr rE Er rr rr rE Er rE E先求出电位分布：第32页，共106页。补充例题补充例题 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量ab0121 解：设同轴线内导体电位解：设同轴线内导体电位 外导体电位外导体电位 ，则同轴线内外导体间单位长度的能量则同轴线内外导体间单位长度的能量 1U201 1221111222eWqqqU由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，内导体表面单位长度的电荷
29、可知，内导体表面单位长度的电荷11012/lnlbqUa所以所以221010112/ln22ebWUCUa121/lnrbUa rEEe 由例由例 3.9.2 3.9.2 可知，介质和空气可知，介质和空气中的电场强度相等中的电场强度相等于是介质中的能量密度、能量于是介质中的能量密度、能量2112111/ln22ebwEUa r220102111/ln22ebwEUa r12110211/12d d2lnbaebWE r rUa空气中的能量密度空气中的能量密度、能量、能量122022210012/ln1d22dbaeEbWar rU 第33页，共106页。3.1.5 静电场力静电场力 1.1.两
30、个点电荷间的相互作用力两个点电荷间的相互作用力 已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷因此，点电荷 受到的电场力为受到的电场力为 qEFq若上式中若上式中 E 为点电荷为点电荷 q 产生的电场强度，则产生的电场强度，则 rrqeE2 4式中式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷点电荷 受到点电荷受到点电荷q 的作用力，或者说点电荷的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷对于点电荷 的作用力为的作用力为 qqrrqqeF2 4式中式中er 为由为由 q 指向指
31、向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的总结归纳的库仑定律库仑定律。q第34页，共106页。2.用虚位移原理计算带电系统的静电力用虚位移原理计算带电系统的静电力 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一
32、定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中根据位移过程中电场能量的变化电场能量的变化与与外力外力及及电场力所作的功电场力所作的功之间的关系计算电场力。之间的关系计算电场力。以平板电容器为例，设两极板上的电量分别以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为为+q 及及-q，板间距离为，板间距离为 l。为了计算方便，假。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板众所周
33、知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。间距离减小。因此，求出的作用力应为负值。dll-q+q第35页，共106页。既然认为作用力既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用力导致位移增加，因此，作用力F 的方向为位移的增的方向为位移的增加方向。这样，为了产生加方向。这样，为了产生 dg 位移增量，电场力作的功应为位移增量，电场力作的功应为 。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即lFdd lFeddgWF39.1.3ge常数qiWF由此求得由此求得式中脚注式中脚注 q=常数说明当极板发生位移时
34、，极板上的电量没有发生变化，这样的常数说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为带电系统称为常电荷系统常电荷系统。已知平板电容器的能量为已知平板电容器的能量为 。对于常电荷系统，发生位移。对于常电荷系统，发生位移时电量时电量 q 未变，只有电容未变，只有电容 C 改变了。改变了。CqW2e21第36页，共106页。式中式中S 为极板的面积，为极板的面积，l 为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为电容器两极板之间的作用力为 已知平板电容器的电容已知平板电容器的电容lSC )N(22SqF式中负号表
35、明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。如果假定发生位移时，如果假定发生位移时，电容器始终与电源相连电容器始终与电源相连，这样，在虚位移过程中，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统常电位系统。根据这种常电位的假定，也可。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。第37页，共106页。设在电场力作用下，极板间距的增量为设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保
36、持电位不变，正。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为，负极板的电荷增量为-dq。设正负极板的电位分别为。设正负极板的电位分别为 1 及及 2，则电场能量的增量为，则电场能量的增量为qVqqWd21d21d21d21e式中式中 为两极板之间的电压。为两极板之间的电压。21V 为了将为了将 dq 电荷移至电位为电荷移至电位为 1的正极板，将电荷的正极板，将电荷-dq移至电位为移至电位为 2的负极的负极板，外源必须作的功为板，外源必须作的功为e21d2d)d(dWqVqq第38页，共106页。根据能量守恒原理，系统外接恒压源，外源作功的一部分供给
37、电场力根据能量守恒原理，系统外接恒压源，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此作功，另一部分转变为电场能的增量，因此eeddgd2WFW40.1.3ge常数WFi求得求得例例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为力为F。在此表面张力。在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大了的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功，则电场力作的功为为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电
38、场能量的减小值，即。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即eddWSF常数qSWFdde第39页，共106页。已知平板电容器的能量为已知平板电容器的能量为 ，代入上式，得，代入上式，得 lSCCqW ,212e)N/m(222SlqF 若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力力F 应为应为 那么将那么将 代入，即可获得同样结果。代入，即可获得同样结果。lSCCVW ,212e 如果将如果将 及及 两式中的变量两式中的变量 l 理解为一理解为一种种广义坐标广义坐标，也就是说，也就是说，l 可以代表位移、面
39、积、体积甚至角度。那么，可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力广义力。常数SWFdde常数qSWFdde常数lWFdde第40页，共106页。显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，广义力就是普通概念的广义力就是普通概念的力力，单位为，单位为N；对于面积，广义力为；对于面积，广义力为表面张力表面张力，单位，单位为为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或；对于体积，广义力为膨胀力或压力压力，单位为，单位为N/m2；对于
40、角度，广义力为；对于角度，广义力为转矩转矩，单位为，单位为Nm。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那么，么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为。这样，前两式可分别改写为39.1.3e常数qigWF40.1.3e常数igWF两式中的微分符号变为两式中的微分符号变为偏微分偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐带电系统的能
41、量与多少种广义坐标有关标有关，就存在多少种广义力就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。第41页，共106页。例例 计算带电肥皂泡的膨胀力。计算带电肥皂泡的膨胀力。解解 设肥皂泡的电量为设肥皂泡的电量为q，半径为，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表体积代表体积 V，则受到的膨胀力，则受到的膨胀力F 为为 常数qeVWF已知半径为已知半径为a，电量为
42、，电量为q 的带电球的电位为的带电球的电位为aq04因此，携带的能量为因此，携带的能量为 aqqWe028 21又知球的体积为又知球的体积为 3 34aV aaVd 4d2代入上式，得代入上式，得 )N/m(32 4124022e2aqaWaF第42页，共106页。例3.1.7dUbFxxldbUCUqxxlbdqxWFxxlbdqCqWdUbxWFxxldbUCUWdbxdbxlCxqexeexe2.2|22;2|2212000002002022200020200得：又：电力为电容器与电源断开时静的力电容器给电介质板拉入电力为电容器外接恒压源时静电容器储能为：平板电容器电容为解：此部分填充电
43、介质常数常数第43页，共106页。3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.2.1 3.2.1 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 边界条件边界条件1.1.基本方程基本方程 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。恒定电场中的二个基本变量为电流密度恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度和电场强度 。J r E r 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即d0S JS0J或或 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因电流恒定时，电荷分
44、布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为此描述恒定电场基本特性的第二个方程为d0l El0E或或 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即02满足拉普拉斯方程：电位为导电媒质的电导率。式中E EJ J -E E第44页，共106页。要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将要想在导电媒质中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷极板的正电荷q抵抗电抵抗电场力搬到场力搬到A极板。极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称
45、为电源。因此因此0EElElEl()dddeelll Ee 是非保守场。是非保守场。)(eEEJ 设局外场强为设局外场强为eE设局外场强为设局外场强为 ，则电源电动势为，则电源电动势为d(V)elElqefEe电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。则则第45页，共106页。与静电场的讨论类似，由与静电场的讨论类似，由 可引入恒定电场的电位函数可引入恒定电场的电位函数 0E恒定电场的电位恒定电场的电位20E0JJE由由2.2.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件12120nnJJ或n JJ12120ttEE或nEE若用电位表示若
46、用电位表示121212nn1J2J12n12 将恒定电场的基本方程将恒定电场的基本方程 、分别用于二种不同导电媒分别用于二种不同导电媒 质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。质的分界面上，与推导静电场边界条件方法类似，可导出恒定电场的边界条件。d0S JSd0l El1122tantan第46页，共106页。3.2.2 恒定电流场与静电场的比拟恒定电流场与静电场的比拟 已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：介质内的静电场方程如下：恒定电流场恒定电流场)0(E静电
47、场静电场)0(0d llJ0d llE0d SSJ0d SSE0J0E0 J0 E可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电场强度相当于静电场的电场强度 E，电流线相当于电场线。电流线相当于电场线。第47页，共106页。因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容
48、易实现且便于果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为称为静电比拟静电比拟。例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：PN电流场PN静电场那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。第48页，共106页。Uzrab 解：设同轴线内外导体是解：设同轴线内外导体是理想导体，则导体内理想导体，则导体内 ，导体表面是导体表面是等位
49、面等位面，于是漏电，于是漏电介质中的介质中的电位只是径向电位只是径向r 的函数的函数，柱坐标系下拉普拉斯方程为柱坐标系下拉普拉斯方程为0zE 1 dd0ddrr rr其通解其通解lnArB边界条件为边界条件为0r ar bU得得/lnlnbbrUar 导电媒质中的电场强度导电媒质中的电场强度 d/lndrrbrU rra Eee电流密度电流密度/lnrbU raJEe单位长度上的漏电流单位长度上的漏电流022/lnbIrJUa 单位长度上的漏电导单位长度上的漏电导002/lnIbGUa 例例 3.2.13.2.1 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，填充的介质填充的介质
50、，具有漏电，具有漏电现象。同轴线外加电源电压为现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介质内的，求漏电介质内的 和单位长度的绝缘电和单位长度的绝缘电阻（漏电电导）。阻（漏电电导）。0、EJ第49页，共106页。例3.2.2 计算半球形接地器的接地电阻。IOaaCaIURaIIUrIerIeIaarr0222212222球形电容器由静电比拟可得孤立半故：大地中的电流密度为：，流过接地器的电流为解：设大地的电导率为drdrr r1 1drdrE EJ JE EJ J2 2第50页，共106页。例题例题 一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 和和 外加电外
