1、栏目索引第三课时第三课时导数在导数在不等式中的应用不等式中的应用第1页，共32页。栏目索引考点突破直接将不等式问题转换为函数的最值问题直接将不等式问题转换为函数的最值问题考点突破第2页，共32页。栏目索引因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1.第3页，共32页。栏目索引从而g(1)a1b1，且g(1)ab11.解得ab1.所以h(x)在1，)上单调递增，第4页，共32页。栏目索引考点突破规律总结规律总结将不等式转化为函数最值的主要思想是依据函数在固定区间的单调性,直接求得函数的最值,然后由f(x)f(x)ma
2、x或f(x)f(x)min直接证得不等式.第5页，共32页。栏目索引第6页，共32页。栏目索引考点突破 将不等式转化为两个函数利用函数的最值进行比较将不等式转化为两个函数利用函数的最值进行比较例例2已知f(x)=xln x.(1)求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值;(2)证明:对一切x(0,+),都有ln x-成立.1ex2ex第7页，共32页。栏目索引考点突破解析解析(1)由f(x)=xln x,x0,得f(x)=ln x+1,令f(x)=0,得x=.当x时,f(x)0,f(x)单调递增.当0tt+2,即0t时,f(x)min=f=-;1e10,e1,e1e1e1e1e第8页，共3
3、2页。栏目索引考点突破当t-(x(0,+).由(1)可知f(x)=xln x(x(0,+)的最小值是-,当且仅当x=时取到.1e1e11,0,ee1ln,.ettt t exx2e1e1e第9页，共32页。栏目索引考点突破设m(x)=-(x(0,+),则m(x)=,由m(x)1,m(x)为减函数,由m(x)0得0 x-成立.exx2e1exx1e1eexx2e1ex2ex第10页，共32页。栏目索引考点突破规律总结规律总结在证明的不等式中,若对不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可以借助两个函数的最值进行证明.第11页，共32页。栏目索引(1)解函数f(x)xln xax的定义域为(0，
4、).当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2.第12页，共32页。栏目索引显然当x时，f(x)，f(x)没有最大值.当0 x0；当x1时，G(x)0.第13页，共32页。栏目索引第14页，共32页。栏目索引考点突破把参数看作常数利用分类讨论法解题把参数看作常数利用分类讨论法解题例例3 (2019湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=ln x-ax,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)+a0恒成立,则f(x)只有单调递增区间(0,+).当a0时,由f(x)0,得0 x;由f(x),所以f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)f(x)+a0在x(1,+)上恒成立
5、,即ln x-a(x-1)0,则g(x)=-a,且g(1)=0,当a1时,g(x)0在x(1,+)上恒成立,则g(x)在x(1,+)上单调递减,所以g(x)g(1)=0,即a1时满足题意.当0a0,得0 x;1x1a第17页，共32页。栏目索引考点突破令g(x).所以g(x)在上单调递增,所以当x时,g(x)g(1)=0,即0a0,则g(x)在(1,+)上单调递增,所以当x(1,+)时,g(x)g(1)=0,即a0时不满足题意(舍去).综上所述,实数a的取值范围是1,+).1a11,a11,a1x第18页，共32页。栏目索引考点突破规律总结规律总结对于不适合分离参数的不等式,常常将参数看作常数
6、直接构造函数,常用分类讨论法,利用导数研究单调性、最值,从而得出参数范围.第19页，共32页。栏目索引考点突破考点四：考点四：分离参数法求范围分离参数法求范围例例4、已知函数f(x)=,x(0,+).(1)求函数f(x)在m,m+1(m0)上的最小值;(2)x(0,+),不等式xf(x)-x2+x-1恒成立,求的取值范围.exx第20页，共32页。栏目索引考点突破解析解析(1)f(x)=,令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0 x0)上是增函数,所以f(x)min=f(m)=.当0mx恒成立,即+x+恒成立,令g(x)=+x+,则g(x)=,由g(x)0得,x1;由g(x)0得,0 x1.e
7、xx1xexx1x2(e1)(1)xxxx第22页，共32页。栏目索引考点突破所以g(x)min=g(1)=e+2,所以e+2.即的取值范围为(-,e+2).第23页，共32页。栏目索引考点突破规律总结规律总结利用分离参数法来确定不等式f(x,)0(xD,为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,化为f1()f2(x)或f1()f2(x)的形式;(2)求f2(x)在xD时的最大值或最小值;(3)解不等式f1()f2(x)max或f1()f2(x)min,得到的取值范围.第24页，共32页。栏目索引练习：练习：1、已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a
8、的取值范围.解解由2xln xx2ax3，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增.h(x)minh(1)4.ah(x)min4.第25页，共32页。栏目索引解(1)因为f(x)aex，xR.当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得xln a.由f(x)0，得f(x)的单调递增区间为(，ln a)；由f(x)0时，f(x)的单调递增区间为(，ln a)，单调递减区间为(ln a，).(2)因为x(0，)，使不等式f(x)g(x)ex，第27页，共32页。栏目索引当x在区间(0，)内变化时，h(x)，h(x)随x变化的变化情况如下表：第28页，共32页。栏目索引3、已知函数f(x)xln x(x0).解(1)由f(x)xln x，得f(x)1ln x，第29页，共32页。栏目索引由g(x)0，得x1；由g(x)0，得0 x1.所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.所以g(x)ming(1)4，则m4.故m的最小值为4.第30页，共32页。栏目索引考点五：解不等式、比较大小考点五：解不等式、比较大小第31页，共32页。栏目索引第32页，共32页。
