1、第第3章章 一元函数积分学及其应用一元函数积分学及其应用第第1节节 定积分的概念，存在条件与性质定积分的概念，存在条件与性质第第2节节 微积分基本公式与基本定理微积分基本公式与基本定理第第3节节 两种基本积分法两种基本积分法第第4节节 定积分的应用定积分的应用第第5节节 反常积分反常积分第第6节节 几类简单的微分方程几类简单的微分方程2012年12月10日1南京航空航天大学 理学院 数学系第1页，共46页。第第3 3节节 两种基本积分法两种基本积分法3.1 3.1 换元积分法换元积分法3.2 3.2 分部积分法分部积分法3.3 3.3 初等函数的积分法初等函数的积分法第2页，共46页。换元法则
2、换元法则(II）换元法则换元法则(I)xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 设设,)()(ufuF)(xu可导可导,xxxfd)()(CxF)()()duxf uu ()()uxF uC )(dxFxxxfd)()(则有则有3.1 3.1 换元积分法换元积分法()0 x 2012年12月103南京航空航天大学 理学院 数学系第3页，共46页。第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()()df uu )(xu若所求积分若所求积分xxxfd)()(易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.难求，难求，()df uu 第4页，共46页。1.换元法
3、则换元法则(I)-第一类换元法第一类换元法定理定理3.1(),f u设设连连续续(),ux 有连续的导数有连续的导数则有换元则有换元公式公式()()dfxxx ()df uu()ux ()d()fxx(也称也称配元法配元法简记简记()()dfxxx ,凑微分法凑微分法)说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()(dxxxf()FxC()()RD f第5页，共46页。例例1 求求()d(0,1).maxbxam 解解:令,bxau则,ddxau 故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注注 当当1m时bxaxdCbxaaln1
4、第6页，共46页。bxaxdCbxaaln122d.xEXxa 1ln2xaCaxa 解解221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxaxxdda21ax lnax lnC22d1ln2xaxCaxaax 1ln2xaCaxa 第7页，共46页。22)(1d1axxa例例2 求.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu arctan)(ax第8页，共46页。21:.825Exdxxx dxxx 25812dxx 9)4(12221d(4)(4)
5、3xx.34arctan31Cx 解解.d22xaxCaxa)arctan(1第9页，共46页。例例3 3 求求).0(d22axax21duu想到想到Cu arcsin解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax第10页，共46页。以下是最基本且经常会遇到的结果以下是最基本且经常会遇到的结果:()()dxexx ()(d)xxe ()xeC()cos()dxxx ()()cosdxx ()sin()dxxx ()()sindxx ()()dxxx 2()d()xxx 2()()1dxx ()d()xxx ()()1dxx ()()dxx (sin)Cx()c
6、osxC 2(2)1Cx()1Cx (ln)Cx 第11页，共46页。例例4 4 求求.2sin xdx解解（一）（一）xdx2sin1sin(22)2xdx 1cos22;Cx 解解（二）（二）xdx2sin xdxxcossin22(sinsi)ndxx ;sin2Cx 解解（三）（三）xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.第12页，共46页。例例5 求求.dtanxx解解xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsind
7、xxdtan类似类似第13页，共46页。常用的几种配元形式常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd第14页，共46页。xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd21(9)(arctan)d1fxxx (arctan)fx darct
8、an x21(10)(arccos)d1fxxx (arccos)fx darccos x第15页，共46页。例例6.求.)ln21(dxxxxln21xlnd解解:原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21第16页，共46页。例例6.求.d3xxex解解:原式=32dxex 32d33()xxe 323xeC例例7.求.dsec6xx解解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC第17页，共46页。例例8.8.求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxC
9、ex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样第18页，共46页。例例9 9 求求.dsecxx解法解法1 1 secdxx 2cosdcosxxx xx2sin1sind11sinln21sinxCx 22d1ln2xaxCaxaax xxtansec解法解法 2 2 xxdsecxxdsecxxtansec(sectan)xx 2secsectandsectanxxxxxx d(sectan)xx ln sectanxxC同样可证同样可证Cxxcotcsclnxxdcsc(P196 例例3.4)第
10、19页，共46页。1212.(1).xxedxx 11.2321dxxx 253.sincos.xxdx 4.cos3 cos2.xxdx 原式原式 dxxxxxxx 1232123212322111,xxx dxxdxx 12413241提示提示:)(sincossin42xxdx),cos()cos(21coscosBABABA 第20页，共46页。2.换元法则换元法则(II)-第二类换元法第二类换元法第一类换元法解决的问题第一类换元法解决的问题难求难求易求易求xxxfd)()()df uu )(xu若所求积分若所求积分xxxfd)()(易求易求,则得第二类换元积分法则得第二类换元积分法.
11、难求，难求，()df uu 第21页，共46页。定理定理3.2 设设()F xC()()()tftt()xt 是单调可导函数是单调可导函数,且且()0,t ()()ftt 具有原函数具有原函数,1()().txxt 其中是的反函数其中是的反函数证证:()()ftt 设的原函数为设的原函数为,)(t令令1()()F xx 则则)(xFtddxtdd()()ftt 1()t ()f x()df xx 1()xC Ct 1()tx1()()()dtxfttt 则有换元公式则有换元公式1()()()()txf x dxftt dt 第22页，共46页。例例1010 求求.)0(d22axxa解解:令令
12、,),(,sin22ttax则则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsin2212x axC22atttcossin22sin2axaxa22第23页，共46页。例例1111 求求.)0(d22aaxx解解:令令,),(,tan22ttax则则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C第24页，共46页。例例12.求求.
13、)0(d22aaxx解解:,时当ax 令令,),0(,sec2ttax则则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa第25页，共46页。,xa 当时当时令令,ux,ua 则则于是于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln第26页，共46页。说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三
14、角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 第27页，共46页。说明说明(2)被积函数含有被积函数含有22ax 时时,除采用除采用1shch22tt采用双曲代换采用双曲代换taxsh消去根式消去根式,所得结果一致所得结果一致.taxch或或22ax 或或三角代换外三角代换外,还可利用公式还可利用公式第28页，共46页。说明说明(3)(3)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx
15、 例例1313 求求dxxx )2(17令令tx1,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解第29页，共46页。说明说明(4)(4)()(,)d,nif xaxbx 令令nbxat()(,)d,a x bnc x diif xx 令令ndxcbxat当被积函数含有根式当被积函数含有根式 时，可直接令根式时，可直接令根式为为 t,去根号去根号第30页，共46页。.21d3xx解解 令令32,ux则则,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(33221
16、uuu1lnC3223)2(x323x321ln3xC例例1414 求求第31页，共46页。说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最最小公倍数小公倍数）lkxx,ntx n例例1616 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 第32页，共46页。说明说明(6)(6)万能代换万能代换令令tan2xt 2arctanxt（万能代换
17、公式万能代换公式）22sin,1txt 221cos,1txt 221dxdtt 使用范围使用范围：由三角函数和常数经过有限由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为次四则运算构成的函数一般记为)cos,(sinxxRsin.1sincosxdxxx 如，如，第33页，共46页。例例17 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解22sin,1txt 221cos1txt 22,1dxdtt 由万能代换公式由万能代换公式 dxxxxcossin1sin22(1)(1)tdutt 222211(1)(1)tttdutt 第34页，共46页。222(1)(1)(1)(1)ttdt
18、tt 211tdut 11dtt arctant 21ln(1)2tln|1|tCtan2xt 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 第35页，共46页。练习练习1sind3cosxxx 解解 原式原式=2tanxu 前式令前式令xxdcos31xxxdcos3sin221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln;后式配元后式配元Cx cos3ln)2tan21arctan(21xCx cos3ln第36页，共46页。两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、
19、根式代换小结小结:第37页，共46页。说明说明：1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令令taxsin或或taxcos,d),()4(22xxaxf令令taxtan或或taxsh,d),()5(22xaxxf令令taxsec或或taxch(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换,d)()6(xafxxat 第38页，共46页。（8 8）万能代换）万能代换令令tan2xt 2arctanxt（万能代换公式万能代换公式）22sin
20、,1txt 221cos,1txt 221dxdtt 使用范围使用范围：由三角函数和常数经过有限由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为次四则运算构成的函数一般记为)cos,(sinxxR第39页，共46页。2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充;|cos|lntan)16(Cxxdx;|sin|lncot)17(Cxxdx;|tansec|lnsec)18(Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 第40页，共46页。;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa
21、 .|ln1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 第41页，共46页。思考与练习思考与练习1.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx第42页，共46页。2.下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同?2d123xxx（）（）xxd2)1(12)1(dx2d41xxx （）（）2d223xxxx（）（）22d323xxx
22、x（）（）2221d(23)d22323xxxxxxx 22(23)(23)d23xxxxxx 22)()()(d21x2521x2d51xxxx （）（）22d61xxxx （）（）第43页，共46页。例例1414 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1,12dttdx dtttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 第44页，共46页。duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 第45页，共46页。原式原式21)1(22ta221a例例15.求求.d422xxxa解解:令令,1tx 则则txtdd21原式原式ttd12tttad)1(21220,x 当时当时42112tta Cata2223)1(23当当 x 0 时时,类似可得同样结果类似可得同样结果.Cxaxa32223)(23)1(d22ta第46页，共46页。
