1、第二部分 单变量积分学第1页，共37页。第六章 不定积分1.不定积分的概念及运算法则2.不定积分的计算:v换元积分法v分部积分法v其它类型的积分法第2页，共37页。第一节第一节 不定积分的概念及其运算法则不定积分的概念及其运算法则一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表二、基本积分表三、不定积分的线性运算法则三、不定积分的线性运算法则四、四、直接积分法直接积分法 第3页，共37页。可以说可以说求不定积分的运算与微分运算是求不定积分的运算与微分运算是互逆互逆的的.第一部分我们学习了一元函数的微分第一部分我们学习了一元函数的微分,即即由已知函数求其由已知函数求其导数导数.
2、但在科学技术中常常但在科学技术中常常知道某函数的导数知道某函数的导数,要求原来的函数要求原来的函数.这就是这就是求原函数或求不定积分的问题求原函数或求不定积分的问题.第4页，共37页。例例 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2ddxxy 2,yxC由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,1 C所求曲线方程为所求曲线方程为.12 xy第5页，共37页。定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的
3、概念1.原函数原函数 设设 f(x)在区间在区间 I 内有定义，若存在可导函数内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个使对每一个 x I 有有F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx，则称则称 F(x)为为 f(x)在区间在区间 I 内的一个内的一个原函数原函数 .第6页，共37页。关于原函数有以下三个问题关于原函数有以下三个问题：1)f(x)满足什么条件满足什么条件,其原函数一定存在？其原函数一定存在？2)若若 f(x)有原函数有原函数,其原函数有多少个？其原函数有多少个？3)f(x)的全体原函数如何表示的全体原函数如何表示?原函数存在定理原函数存在定理 若若 f(x)在区间在区
4、间 I 内连续内连续,则在区则在区间间 I 内一定存在内一定存在 f(x)的原函数的原函数.简言之：简言之：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.若若 f(x)有原函数有原函数,则则 f(x)的原函数有无穷多个的原函数有无穷多个.若若 F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则则 f(x)的全体原函数可表的全体原函数可表示为示为 F(x)+C.(C为任意常数为任意常数)第7页，共37页。任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数2.不定积分的定义：不定积分的定义：CxFxxf )(d)(被积表达式被积表达式积分变量积分变量若若 F(x)是是 f(x)在区间在区间 I 内的一个原函数
5、内的一个原函数,则则 f(x)在区在区间间 I 内的内的全体全体原函数称为原函数称为 f(x)在区间在区间 I 内的内的不定积分不定积分,.d)(xxf记为记为第8页，共37页。例 1 因为(sinx)cosx，所以Cxxdxsincos。例 2 因为(x3)3x2，所以Cxdxx323。例 1 因为(sinx)cosx，所以 例例1例 2 因为(x3)3x2，所以 例例2第9页，共37页。解解 ,0 x,lnd Cxxx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(d Cxxx,|lnd Cxxx.d xx例例3 3 求求第10页，共37页。3.不定积分的几何意义不定积分的几何意义不定积分
6、称为积分曲线族不定积分称为积分曲线族,且且在横坐标相同的点处在横坐标相同的点处每条曲线上的切线斜率相等每条曲线上的切线斜率相等都为都为f(x),即在横坐标即在横坐标相同的点处各切线相互平行相同的点处各切线相互平行.y=F(x)为平面上的为平面上的 一条曲线一条曲线.y=F(x)+C 为平面上的为平面上的 一族曲线一族曲线.设设 F(x)是是 f(x)的一个原函数的一个原函数,则则函数函数 f(x)的原函数的图形称为的原函数的图形称为积分曲线积分曲线.第11页，共37页。-1 O 1 x y y=x2 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。Cxxdx22C1 y=x2+C1 C2 y
7、=x2+C2 C3 y=x2+C3 函数 f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。第12页，共37页。,)(d)(xfxxf ,d)(d)(dxxfxxf 或或,)(d)(CxFxxF .)()(dCxFxF 或或结论：结论：求不定积分的运算与微分运算是求不定积分的运算与微分运算是互逆互逆的的.4.不定积分与微分不定积分与微分(导数导数)的关系的关系:,)(d)(则有则有的原函数的原函数是是xfxxf:,)()(则有则有的原函数的原函数是是xFxF 由此根据微分公式可得积分公式由此根据微分公式可得积分公式.第13页，共37页。二、二、基本积分表基本积分表 x
8、kd)1(k 是常数是常数);)1(d)2(xx xxd)3(Cx arctan xxd11)5(2Cx arcsin xxd11)4(2Ckx Cx 11 ;|lnCx Cx arccotCx arccos xxdcos)6(;sinCx xxdsin)7(;cosCx 第14页，共37页。xx2cosd)8(xxdsec2;tanCx xx2sind)9(xxdcsc2;cotCx xxxdtansec)10(;secCx xxxdcotcsc)11(;cscCx xexd)12(;Cex xaxd)13(;lnCaax xxdsinh)14(;coshCx xxdcosh)15(;sin
9、hCx 第15页，共37页。三、三、不定积分的不定积分的运算法则运算法则 dxxgxf)()()1(xxkfd)()2(.d)(xxfk).0(k;)()(dxxgdxxf第16页，共37页。dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第17页，共37页。直接积分法直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积分公式根据不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分的方法直接求出不定积分的方法.例 1 31xdx 例
10、例1dx x 3dx131x 31C x 31C 221xC。第18页，共37页。例例2 2 求积分求积分.d2xxx 解解xxxd2 xx d25 Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxxx 1d1 第19页，共37页。34 xdx134134xC134134xC33x C。例 3 3xxdx例例3第20页，共37页。dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(，dxxfkdxxkf)()(。dxxdxx21255dxxdxx21255 Cxx232732572Cxxxx310723dxxx)5(2dxxx)5(2125 dxxdxx21255dxxdxx21
11、255 Cxx232732572Cxxxx310723。例 4 dxxx)5(2dxxx)5(2125例例4第21页，共37页。dxxxx)133(2 dxxdxxdxxdx21133 221x3x3ln|x|x1C。dxxx23)1(dxxxxx223133 5 dxxx23)1(dxxxxx223133例例5第22页，共37页。例例6.6.求积分求积分解解.dsincos2cos xxxx.sincos2cos dxxxx.sincossincos22 dxxxxx.)sin(cos dxxxCxx cossin第23页，共37页。(4)axdx aaxlnC，dx2sectgxC，2x
12、exdx(2e)x dx(2e)x dx)2ln()2(eexC)2ln()2(eexC2ln12xxeC。tg2xdx(sec2x1)dx tgxxC。(sec2x1)dx tgxxC。7 2x exdx 例例78 tg2xdx 例例8第24页，共37页。例例9.9.求积分求积分解解.d)32(2xxx dxxx 2)32(dxxxxx )33222(22dxxxx )9624(Cxxx 9ln96ln624ln4第25页，共37页。例例10.10.求积分求积分解解.d)112(242xxxx dxxxx)112(242 dxxxdxx24211112 dxxdxxx)1(11arcsin2
13、22.31arctanarcsin23Cxxxx 第26页，共37页。(3)x1dx ln|x|C，(11)211xdx arctgxC。dxxdxx1112 dxxx)111(2231dxxdxx1112arctgxln|x|C。dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(dxxx)111(2231x3xarctgxC。dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx)111(2dxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx)111(2 11 dxxxxx)1(122dxxxxx)1
14、()1(22dxxx)111(2例例1112 dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(例例12第27页，共37页。例例13.13.求积分求积分.dsincos122 xxx解解 dxxx22sincos1 dxxxxx2222sincossincos dxxxcscsec22.cottanCxx 第28页，共37页。例例14.14.求积分求积分解解.d)1(21222xxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 第29页，共37页。在求在求 f(x)的所有原函数中的所有原函数中,有时需要确定一个满足有
15、时需要确定一个满足条件条件 y(x0)=y0 的积分曲线的积分曲线.即求通过点即求通过点(x0,y0)的的积分曲线积分曲线.这个条件一般称为初始条件这个条件一般称为初始条件,它可以唯它可以唯一确定积分常数一确定积分常数 C 的值的值.第30页，共37页。例例 2 2 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的 切线斜率为切线斜率为 xxsinsec2，且此曲线与，且此曲线与 y 轴轴 的交点为的交点为)5,0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解,sinsecdd2xxxy xxxyd)sin(sec2,costanCxx ,5)0(y,6 C故所求曲线方程为故所求曲线方
16、程为.6costan xxy第31页，共37页。例例3 3解解1cos2)(sin2 xxf由由,sin232x ,23)(2xxf 得得)(xf xxd)23(2Cxx 3323.)(,1cos2)(sin2xfxxf求求已知已知 第32页，共37页。例例4 4解解.d)(,010)(xxfxxxexfx求求设设,),()(Cxf.),()(上可积上可积在在xf xxfxFd)()(令令,0时时当当 x xexFxd)(1Cex ,0时时当当 x xxxFd)1()(2221Cxx ,),()(CxF,)00()00()0(FFF有有,121CC 即即 xxfxFd)()(.02102 xx
17、xxexCC 1第33页，共37页。注意注意:1)导数是唯一的导数是唯一的,但原函数不唯一但原函数不唯一.2)任一初等函数都可求导数任一初等函数都可求导数,且导数一般也为初且导数一般也为初等函数等函数,但一些初等函数的不定积分就不能用初但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示等函数来表示.这些不定积分的原函数存在这些不定积分的原函数存在,但不能用初等函数但不能用初等函数来表示来表示.dsin,dsin,d:22等等例如例如 xxxxxxex3)不定积分与变量符号有关不定积分与变量符号有关.第34页，共37页。基本积分表基本积分表不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)
18、()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念：)(d)(xFxxf 求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、小结小结C 第35页，共37页。思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),(第36页，共37页。思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),()(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有的函数都没有原函数原函数.第37页，共37页。
