1、 极限概念是贯穿整个微积分的基本概念，微分运算、定积极限概念是贯穿整个微积分的基本概念，微分运算、定积分运算、级数运算等高等数学的运算的实质即是某种极限运算。分运算、级数运算等高等数学的运算的实质即是某种极限运算。极限观念的建立使我们从初等数学走向了高等数学。极限观念的建立使我们从初等数学走向了高等数学。对于极限的思想，先看两个例子：对于极限的思想，先看两个例子：古代哲学家庄周所著的古代哲学家庄周所著的庄子庄子.天下篇天下篇引用过一句话：引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”。我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽“割圆术割圆术 ”
2、求圆的求圆的面积和周率面积和周率 的方法的方法 :“割之弥细割之弥细 ,所失弥小所失弥小,割之又割割之又割 ,以至于不可割以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣则与圆合体而无所失矣 ”它包含了它包含了“用已知用已知逼近未知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重要极限思想的重要极限思想 .“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”播放播放(魏晋魏晋)刘徽刘徽R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS说明：刘徽从圆内接
3、正六边形，逐次边数加倍到正说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率边形得到圆周率 的近似值为的近似值为3.1416一、数列的定义一、数列的定义定义定义:按自然数按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点
4、在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是自变量取正整数的函数：数列是自变量取正整数的函数：).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn 定义定义:.,2,1,1单调数列单调数列减数列统称为减数列统称为单调递增数列和单调递单调递增数列和单调递递减的数列递减的数列类似地可以定义单调类似地可以定义单调是单调递增的数列是单调递增的数列则称则称如果满足如果满足一个数列一个数列nnnnanaaa 定义定义:.,2,1,0是无界数列是无界数列则称则称满足满足某一项某一项至少有至少有何正数何正数是有界数列；如果对任是有界数列；如果
5、对任则称则称满足：满足：使得数列使得数列如果存在常数如果存在常数nnnnnnaMaaManMaaM 例如例如2n是单调递增数列；是单调递增数列；21n是单调递减数列；是单调递减数列；)1(1 n没有单调性没有单调性.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放二、数列极限的定义二、数列极限的定义.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋
6、势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限
7、接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:记为记为的极限的极限为数列为数列或称或称收敛于收敛于数列数列则称则称无限趋于一个确定的数无限趋于一个确定的数的通项的通项数列数列且无限增大时且无限增大时中变化中变化在正整数集在正整数集如果如果,N nnnnaaaaaaan)(lim时时或者或者 naaaannn.lim,不存在不存在或或发散发散否则，称数列否则，称数列nnnaa 例例1 1.21)5(;1)4(;23)3(;)1()2(;1
8、)1(nnnnn限形式表示其结果：限形式表示其结果：时的变化情况，并用极时的变化情况，并用极考察下列数列在考察下列数列在.1)1(lim由上例可知例如，1 nnnn.21)5(;1)4(;23)3(;)1()2(;1)1(nnnn解解,2,1,1)1(是一个常数列是一个常数列数列数列 nan,1,始终为始终为时时nan,1lim nna因此因此.11lim n即即,2,1,)1()2(nann数列数列;1,始终为始终为按奇数无限增大时按奇数无限增大时当当nan;1,始终为始终为按偶数无限增大时按偶数无限增大时nan,没有明确的趋势没有明确的趋势时时因此因此nan.)1(lim不存在不存在即即n
9、n .21)5(;1)4(;23)3(;)1()2(;1)1(nnnn解解,2,1,23)3(是正整数数列是正整数数列数列数列 nnan.)23(lim nn记为记为,也无限增大也无限增大无限增大时无限增大时nan,数数的趋势不是一个确定的的趋势不是一个确定的且且na.)23(lim不存在不存在因此因此 nn,0,2,1,1)4(无限趋于无限趋于无限增大时无限增大时当当数列数列nnannna .01lim nn因此因此,0,2,1,21)5(趋于趋于无限无限无限增大时无限增大时当当数列数列nnnanna .021lim nn因此因此.21)5(;1)4(;23)3(;)1()2(;1)1(nn
10、nn解解问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?和和“接近接近”有何有何区别？如何用数学语言刻划它区别？如何用数学语言刻划它.,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10010 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000010 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100010 nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.0成立成立有有 nx.01lim nn例例如如 0nxnn101 定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数(不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N,使得对于使得
11、对于Nn 时的一切时的一切nx,不等式不等式 axn都成立都成立,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a,记为记为 ,limaxnn 或或).(naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;.1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn .2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义
12、定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的.:至少有一个或存在至少有一个或存在.,0,0lim axNnNaxnnn总有总有时时当当axan),(axn 即即)(Nn 即在即在a的任意小的邻域里都聚集着数列的无穷多项，的任意小的邻域里都聚集着数列的无穷多项，只有有限个落在外面只有有限个落在外面.数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例：例：.1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 ,1 nx要要使使,1 n只要只要,1 n即即所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有.1)1(lim1 nnnn即即注意：
13、注意：例：例：.1,0lim qqnn其中其中证明证明证证,0 任给任给,0 nnqx要使要使,lnln qn则则,lnln qN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有.0lim nnq,0 q若若;00limlim nnnq则则,10 q若若,lnlnqn 故故2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设设,limaxnn取取,1,N则则当当Nn 时时,从而有从而有nxaaxna1取取 ,max21NxxxMa1则有则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界由此证明收敛数列必有界.aaxn)(,1axn有有三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限
14、唯一.3.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.1)1(n),2,1()1(1 nxnn;1lim12 kkx注注:此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如例如,数数列列虽有界但不收敛虽有界但不收敛.注注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散则原数列一定发散.例如，例如，发散发散!1lim2 kkx内容小结内容小结:1.数列极限的数列极限的“N”定义及应定义及应用用2.收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性;有界性有界性;收敛数列的任一子数列收敛收敛数列的任一子数列收敛于同一极限于同一极限课后预习函数的极限、单侧极限的概念课后预习函数的极限、单侧极限的概念作业作业:P48.2（1）（）（2）（）（3）（）（4）
