1、第七章立体几何第七章立体几何第七章立体几何第七章立体几何栏目栏目导引导引7.1简单几何体的结构特简单几何体的结构特征、直观图和三视图征、直观图和三视图栏目栏目导引导引教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1.简单几何体的结构特征简单几何体的结构特征栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引思考探究思考探究1.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥吗？到的几何体一定是圆锥吗？提示提示:不一定是圆锥不一定是圆锥.若直角三角形绕一条直若直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周角边所在直线旋转一周,则得到的几何体是则得到的几何体是圆锥圆锥;若绕其斜边
2、所在直线旋转一周若绕其斜边所在直线旋转一周,则得到则得到的是两个同底圆锥构成的一个组合体的是两个同底圆锥构成的一个组合体.栏目栏目导引导引2.直观图直观图画直观图的方法叫斜二测画法画直观图的方法叫斜二测画法,其画法的规则其画法的规则是是:(1)在已知图形中建立直角坐标系在已知图形中建立直角坐标系xOy,画直观画直观图时图时,它们分别对应它们分别对应x轴和轴和y轴轴,两轴交于两轴交于点点O,使使xOy45,它们确定的平它们确定的平面表示面表示_.水平平面水平平面栏目栏目导引导引(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段轴的线段,在直观在直观图中分别画成图中分别画成_于于x轴和轴和
3、y轴的线段轴的线段平行平行xy栏目栏目导引导引3.三视图三视图(1)三视图的特点三视图的特点:主、俯视图主、俯视图_;主、左视图主、左视图_;俯、左视图俯、左视图_,前、后对应前、后对应.(2)若相邻两物体的表面相交若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它表面的交线是它们的们的_,在三视图中在三视图中,分界线和可见分界线和可见轮廓线都用轮廓线都用_线画出线画出.长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等分界线分界线实实栏目栏目导引导引(3)画简单组合体的三视图应注意两个问题画简单组合体的三视图应注意两个问题:首先首先,确定主视、俯视、左视的确定主视、俯视、左视的_.同一物体放置的同一物体放置的_,所画
4、的三视图所画的三视图_.其次其次,简单组合体是由哪几个基本几何体组简单组合体是由哪几个基本几何体组成的成的,并注意它们的组成方式并注意它们的组成方式,特别是它们的特别是它们的_位置位置.方向方向位置不同位置不同可能不同可能不同交线交线栏目栏目导引导引思考探究思考探究2.空间几何体的三视图和直观图在观察角度空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上有什么区别？和投影效果上有什么区别？提示提示:(1)观察角度观察角度:三视图是从三个不同位置三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形观察几何体而画出的图形;直观图是从某一点直观图是从某一点观察几何体而画出的图形观察几何体而画出的图形.(2)投
5、影效果投影效果:三视图是在正投影下画出的平面三视图是在正投影下画出的平面图形图形;直观图是在平行投影下画出的空间图形直观图是在平行投影下画出的空间图形栏目栏目导引导引课前热身课前热身1.(教材习题改编教材习题改编)如图所示如图所示,4个三视图和个三视图和4个个实物图配对正确的是实物图配对正确的是()栏目栏目导引导引(1)c,(2)d,(3)b,(4)aB.(1)d,(2)c,(3)b,(4)aC.(1)c,(2)d,(3)a,(4)b D.(1)d,(2)c,(3)a,(4)b解析解析:选选A.由三视图的特点可知选由三视图的特点可知选A.栏目栏目导引导引2.下列几何体中棱柱的个数为下列几何体中
6、棱柱的个数为()栏目栏目导引导引A.5 B.4C.3 D.2解析解析:选选D.棱柱的特征有三方面棱柱的特征有三方面:有两个面互有两个面互相平行相平行;其余各面是平行四边形其余各面是平行四边形;这些平行四这些平行四边形面中边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的特征时当一个几何体同时满足这三方面的特征时,这这个几何体才是棱柱个几何体才是棱柱.很明显很明显,几何体几何体均不符合均不符合,仅有符合仅有符合.栏目栏目导引导引3.给出下列四个命题给出下列四个命题:直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥圆锥
7、夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体一个旋转体圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台通过圆台侧面上一点通过圆台侧面上一点,有无数条母线有无数条母线其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_.栏目栏目导引导引解析解析:错误错误,应为直角三角形绕其一条直角应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥边旋转得到的旋转体是圆锥;若绕其斜边旋转若绕其斜边旋转得到的是两个同底圆锥构成的一个几何体得到的是两个同底圆锥构成的一个几何体,如如图图(1).错误错误,没有说明这两个平行截面的位没有说明这两个平行截面的位置关系置关系,当
8、这两个平行截面与底面平行时正当这两个平行截面与底面平行时正确确,其他情况则结论是错误的其他情况则结论是错误的,如图如图(2).栏目栏目导引导引正确正确,如图如图(3).错误错误,通过圆台侧面上一通过圆台侧面上一点点,只有一条母线只有一条母线,如图如图(4).答案答案:栏目栏目导引导引4.如图所示如图所示,ABC是是ABC的直观图的直观图,那么那么ABC是是_.栏目栏目导引导引解析解析:因为因为ABx轴轴,ACy轴轴,所以所以ABx轴轴,ACy轴轴.所以在直角坐标系中所以在直角坐标系中,BAC90.所以所以ABC为直角三角形为直角三角形.答案答案:直角三角形直角三角形栏目栏目导引导引考点考点1简
9、单几何体的结构特征简单几何体的结构特征考点探究讲练互动考点探究讲练互动 下列结论正确的是下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥锥栏目栏目导引导引C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则则该棱锥可能是正六棱锥该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线线都是母线【解析解析】A错误错误.如图如图1所示所
10、示,由两个结构相由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都各面都是三角形是三角形,但它不一定是棱锥但它不一定是棱锥.栏目栏目导引导引B错误错误.如图如图2,若若ABC不是直角三角形或是不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何所得的几何体都不是圆锥体都不是圆锥.栏目栏目导引导引C错误错误.若六棱锥的所有棱长都相等若六棱锥的所有棱长都相等,则底面则底面多边形是正六边形多边形是正六边形.由几何图形知由几何图形知,若以正六若以正六边形为底面边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长侧棱长必然要大于底面边长.D正确正确.【
11、答案答案】D栏目栏目导引导引【名师点评名师点评】(1)熟悉空间几何体的结构特熟悉空间几何体的结构特征征,依据条件构建几何模型依据条件构建几何模型,在条件不变的情在条件不变的情况下况下,可变换模型中线面的位置关系或增加可变换模型中线面的位置关系或增加线、面等基本元素线、面等基本元素,然后再依据题意判定然后再依据题意判定.(2)三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥等是常见的空间几何体锥、四棱锥等是常见的空间几何体,也是重要也是重要的几何模型的几何模型,有些问题可用上述几何体举特例有些问题可用上述几何体举特例解决解决.栏目栏目导引导引备选例题备选例题 (
12、教师用书独具教师用书独具)给出下列命题给出下列命题:棱柱的侧棱都相等棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四侧面都是全等的平行四边形边形;用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间棱锥底面与截面之间的部分是棱台的部分是棱台;若三棱锥的三条侧棱两两垂直若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧则其三个侧面也两两垂直面也两两垂直;栏目栏目导引导引若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱则该四棱柱为直四棱柱;存在每个面都是直角三角形的四面体存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_.【解析解析】不正确不正
13、确,根据根据棱柱的定义棱柱的定义,棱柱的各个棱柱的各个侧面都是平行四边形侧面都是平行四边形,但但不一定全等不一定全等;栏目栏目导引导引不正确不正确,用平行于棱锥底面的平面去截棱用平行于棱锥底面的平面去截棱锥锥,棱锥底面与截面之间的部分才是棱台棱锥底面与截面之间的部分才是棱台;正确正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;正确正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱行于侧棱,又垂直于底面又垂直于底面;正确正确,如图如图,正方正方体体AC1中的四棱锥中的
14、四棱锥C1ABC,四个面都是直角四个面都是直角三角形三角形.【答案答案】栏目栏目导引导引变式训练变式训练1.下列命题中正确的是下列命题中正确的是()A.有两个面平行有两个面平行,其余各面都是四边形的几何其余各面都是四边形的几何体叫棱柱体叫棱柱B.有两个面平行有两个面平行,其余各面都是平行四边形的其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱几何体叫棱柱C.有一个面是多边形有一个面是多边形,其余各面都是三角形的其余各面都是三角形的几何体叫棱锥几何体叫棱锥栏目栏目导引导引D.棱台各侧棱的延长线交于一点棱台各侧棱的延长线交于一点解析解析:选选D.如图如图1,面面ABC面面A1B1C1,但图中但图中的几何体每相
15、邻两个四边形的公共边并不都的几何体每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行互相平行,故不是棱柱故不是棱柱.A、B都不正确都不正确.棱锥棱锥是有一个面是多边形是有一个面是多边形,其余各面都是有一个公其余各面都是有一个公共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几共顶点的三角形即必须有一个公共顶点的几何体何体.如图如图2,每个面都是三角形但形成的几何每个面都是三角形但形成的几何体不是棱锥体不是棱锥.C不正确不正确.栏目栏目导引导引棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到得到,其各侧棱的延长线必交于一点其各侧棱的延长线必交于一点,故故D是正是正确的确的.栏目栏目导引导
16、引考点考点2简单几何体的三视图简单几何体的三视图 (2011高考课标全国卷改编高考课标全国卷改编)在一个几在一个几何体的三视图中何体的三视图中,主视图和俯视图如图所示主视图和俯视图如图所示,则相应的左视图可以为则相应的左视图可以为()栏目栏目导引导引【解析解析】由题目所给的几何体的主视图和由题目所给的几何体的主视图和俯视图俯视图,可知该几何体的底面为半圆和等腰三可知该几何体的底面为半圆和等腰三角形角形,其左视图可以是一个由等腰三角形底边其左视图可以是一个由等腰三角形底边上的高构成的平面图形上的高构成的平面图形,故选故选D.【答案答案】D栏目栏目导引导引【规律小结规律小结】画三视图时画三视图时,
17、应牢记其要求的应牢记其要求的“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”,注意虚、实线注意虚、实线的区别的区别,同时应熟悉一些常见几何体的三视图同时应熟悉一些常见几何体的三视图 解决由三视图想象几何体解决由三视图想象几何体,进而进行有关计算进而进行有关计算的题目的题目,关键是准确把握三视图和几何体之间关键是准确把握三视图和几何体之间的关系的关系.栏目栏目导引导引备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)画出如图所示物体的三视图画出如图所示物体的三视图.栏目栏目导引导引【解解】(1)画主视图画主视图.按主视图的投影方向按主视图的投影方向,从前往后看从前往后看,物体上的平面物体上的平面实形可
18、见实形可见,主视主视图应反映平面图应反映平面的真实形状的真实形状,而平面而平面都都积聚为直线积聚为直线,与平面与平面的轮廓重合的轮廓重合,所以所以,物体物体的主视图就是平面的主视图就是平面的轮廓形状的轮廓形状,如图如图(1).栏目栏目导引导引(2)画俯视图画俯视图.从上往下看从上往下看,平面平面实形可见实形可见,平平面面积聚为直线积聚为直线,平面平面与水平面有一定的倾与水平面有一定的倾斜角度斜角度,在俯视图上是缩小的等边数图形在俯视图上是缩小的等边数图形,画画俯视图时俯视图时,左、右的长度和方向都应对正左、右的长度和方向都应对正,如如图图(2).栏目栏目导引导引(3)画左视图画左视图.从左往右
19、看从左往右看,平面平面实形可见实形可见,平平面面积聚为直线积聚为直线,平面平面倾斜倾斜.根据主、左根据主、左视图高平齐和俯、左视图宽相等视图高平齐和俯、左视图宽相等,对应画出左对应画出左视图视图,如图如图(3).(4)主视图和俯视图之间的间隔与主视图与左主视图和俯视图之间的间隔与主视图与左视图之间的间隔不一定相等视图之间的间隔不一定相等,但必须保证各视但必须保证各视图内的线都应按三视图的投影规律画出图内的线都应按三视图的投影规律画出.栏目栏目导引导引物体的三视图如下物体的三视图如下:栏目栏目导引导引变式训练变式训练2.(2010高考北京卷高考北京卷)一个长方体去掉一个小一个长方体去掉一个小长方
20、体长方体,所得几何体的正所得几何体的正(主主)视图与侧视图与侧(左左)视视图分别如图所示图分别如图所示,则该几何体的俯视图为则该几何体的俯视图为()栏目栏目导引导引解析解析:选选C.由三视图中的正由三视图中的正(主主)、侧、侧(左左)视图得视图得到几何体的直观图如图所示到几何体的直观图如图所示,所以该几何体的所以该几何体的俯视图为俯视图为C.栏目栏目导引导引考点考点3简单几何体的直观图简单几何体的直观图 已知已知ABC的直观图的直观图ABC是边长为是边长为a的正三角形的正三角形,求原求原ABC的面积的面积.【解解】建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系xOy,ABC的顶点的顶点C在在y轴上轴
21、上,AB边在边在x轴上轴上.栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引栏目栏目导引导引【名师点评名师点评】解决这类题的关键是根据斜解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角形的底边和高二测画法求出原三角形的底边和高,将水平放将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形形.其作法就是逆用斜二测画法其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平也就是使平行于行于x轴的线段长度不变轴的线段长度不变,而平行于而平行于y轴的线段轴的线段长度变为直观图中平行于长度变为直观图中平行于y轴的线段长度的轴的线段长度的2倍倍.栏目栏目导引导引备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)(20
22、11高考浙江卷高考浙江卷)若某几何体的三若某几何体的三视图如图所示视图如图所示,则这个几何体的直观图可以则这个几何体的直观图可以是是()栏目栏目导引导引【解析解析】由主视图中间的虚线可排除由主视图中间的虚线可排除A,B,由由俯视图可排除俯视图可排除C,故选故选D.【答案答案】D栏目栏目导引导引变式训练变式训练3.如图所示如图所示,四边形四边形ABCD是一平面图形的是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图水平放置的斜二测画法的直观图,在斜二测直在斜二测直观图中观图中,四边形四边形ABCD是一直角梯形是一直角梯形,ABCD,ADCD,且且BC与与y轴平行轴平行,栏目栏目导引导引若若AB6,DC4
23、,AD2,求这个平面图求这个平面图形的实际面积形的实际面积.栏目栏目导引导引方法技巧方法技巧1.辨析几种特殊的四棱柱辨析几种特殊的四棱柱平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等平行六面体、长方体、正方体、直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱都是一些特殊的四棱柱,要特别注意要特别注意:(1)直四棱柱不一定是直平行六面体直四棱柱不一定是直平行六面体.(2)正四棱柱不一定是正方体正四棱柱不一定是正方体.(3)长方体不一定是正四棱柱长方体不一定是正四棱柱.栏目栏目导引导引2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆高、底面正多边形、内切圆半径、外
24、接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决中解决.3.在绘制三视图时在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相若相邻两物体的表面相交交,则表面的交线是它们的分界线则表面的交线是它们的分界线.栏目栏目导引导引失误防范失误防范1.台体可以看成是由锥体截得的台体可以看成是由锥体截得的,但一定强但一定强调截面与底面平行调截面与底面平行,且侧棱延长后交于一点且侧棱延长后交于一点.2.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点体这一特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截面弄清旋转轴、旋转面、轴截面.3.在斜二测画法中在斜二测画法中,要确定关
25、键点及关键线要确定关键点及关键线段段“平行于平行于x轴的线段平行性不变轴的线段平行性不变,长度不变长度不变;平行于平行于y轴的线段平行性不变轴的线段平行性不变,长度减半长度减半.”栏目栏目导引导引4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观能够由空间几何体的三视图得到它的直观图图;也能够由空间几何体的直观图得到它的三也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图视图.提升空间想象能力提升空间想象能力.栏目栏目导引导引命题预测命题预测从近几年的高考试题来看从近几年的高考试题来看,几何体的三视图几何体的三视图是高考的热点是高考的热点,题型多为选择题、填空题题型多为选择题、填空题,难难度中、低档度中、低档.主
26、要考查几何体的三视图主要考查几何体的三视图,以及以及由三视图构成的几何体由三视图构成的几何体,在考查三视图的同在考查三视图的同时时,又考查了学生的空间想象能力及运算与又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力推理能力.考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考栏目栏目导引导引预测预测2013年高考仍将以空间几何体的三视图年高考仍将以空间几何体的三视图为主要考查点为主要考查点,重点考查学生读图、识图能力重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力以及空间想象能力.栏目栏目导引导引典例透析典例透析 (2011高考北京卷高考北京卷)某四面体的三视图某四面体的三视图如图所示如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是
27、该四面体四个面的面积中最大的是()栏目栏目导引导引【答案答案】C栏目栏目导引导引【得分技巧得分技巧】在由三视图还原为空间几何在由三视图还原为空间几何体的实际形状时体的实际形状时,要综合考虑三个视图要综合考虑三个视图,根据根据三视图的规则三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线视图中为实线,不可见轮廓线为虚线不可见轮廓线为虚线.在还原在还原空间几何体实际形状时一般是以主视图和俯空间几何体实际形状时一般是以主视图和俯视图为主视图为主,结合左视图进行综合考虑结合左视图进行综合考虑.栏目栏目导引导引【失分溯源失分溯源】该题容易出现的问题有三个该题容易出现的问题有三个方面方面:一是还原空间几何体的形状出错一是还原空间几何体的形状出错;二是二是忽视三视图中的垂直关系忽视三视图中的垂直关系,计算不出面积计算不出面积;三是忽视三视图中三是忽视三视图中“高平齐、长对正、宽相高平齐、长对正、宽相等等”,造成画图或识图错误造成画图或识图错误.栏目栏目导引导引知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关栏目栏目导引导引本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放
