1、2022-8-2复合材料性能预报与设计复合材料性能预报与设计主讲人：吴林志主讲人：吴林志 哈工大复合材料与结构研究所哈工大复合材料与结构研究所主要参考书主要参考书l 复合材料细观力学复合材料细观力学 杜善义、王彪编著杜善义、王彪编著l 固体本构关系固体本构关系 黄克智、黄永刚编著黄克智、黄永刚编著l Micromechanics of defects in solids Toshio Mura主要内容主要内容v 细观力学的发展概况细观力学的发展概况v 夹杂理论初步夹杂理论初步v 复合材料有效弹性模量复合材料有效弹性模量l Eshelby(1957,1959,1961)的三篇文章的三篇文章l M
2、ura(1982,1987)的专著的专著细观力学的发展概况细观力学的发展概况代表性工作代表性工作l 自洽理论自洽理论(Hill,1965;Budiansky,1965)l 广义自洽理论广义自洽理论(Christensen and Lo,1979)l Mori-Tanaka方法方法(Mori and Tanaka,1973)l 微分法微分法(Mclaughlin,1977)l 二阶上下限二阶上下限(Hashin and Shtrikman,1963)l 高阶上下限高阶上下限(Torquato,1991)夹杂理论初步夹杂理论初步l 本征应变的定义本征应变的定义l 弹性问题的基本方程弹性问题的基本方
3、程l 弹性场的一般表达式弹性场的一般表达式l Green函数函数l 弹性场的弹性场的Eshelby解解l 非均匀体问题非均匀体问题本征应变本征应变1.1.本征应变的定义本征应变的定义 本征应变是一个广义概念，是指所有非弹性应变，本征应变是一个广义概念，是指所有非弹性应变，例如热膨胀应变、相变应变、初始应变、塑性应变、失例如热膨胀应变、相变应变、初始应变、塑性应变、失配应变等。配应变等。本征应力本征应力 本征应力是由本征应变所引起的自平衡内应力，它本征应力是由本征应变所引起的自平衡内应力，它不同于由作用于物体的外载荷所引起的应力。不同于由作用于物体的外载荷所引起的应力。1.1.本征应变的定义本征
4、应变的定义 如图如图1 1所示，当材料内部区域所示，当材料内部区域 的温度升高的温度升高 度时度时，外部区域的限制将导致区域外部区域的限制将导致区域D内的内的热应力热应力 ij。热膨胀。热膨胀 将组成热膨胀应变将组成热膨胀应变ijijT(1-1)式中，式中，ij是是Kronecker Delta，而，而 是线热膨胀系数。当是线热膨胀系数。当区域区域 不受外部约束，可以自由膨胀时，不受外部约束，可以自由膨胀时，热膨胀应变就热膨胀应变就由方程由方程(1)(1)给出。给出。图图1.11.1夹杂夹杂 1.1.本征应变的定义本征应变的定义 当本征应变在均匀材料当本征应变在均匀材料D的有限区域的有限区域
5、内给定，而内给定，而在区域在区域D-内为零时内为零时，被叫做夹杂。这里，夹杂被叫做夹杂。这里，夹杂 与基体与基体D-的弹性模量相同。的弹性模量相同。当夹杂的弹性模量与基体的弹性模量不同时，当夹杂的弹性模量与基体的弹性模量不同时，被叫做非均匀体被叫做非均匀体(inhomogeneity)。此时，应力场将由非。此时，应力场将由非均匀体扰动。对于非均匀体问题，扰动的应力场可由虚均匀体扰动。对于非均匀体问题，扰动的应力场可由虚构的本征应变表示。构的本征应变表示。2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程 当自由弹性体当自由弹性体D承受一个给定的本征应变分布时，承受一个给定的本征应变分布时，可通过基本
6、方程给出任意点处的弹性场可通过基本方程给出任意点处的弹性场。这里所说的自。这里所说的自由弹性体是指不受任何外来的表面力和体积力。由弹性体是指不受任何外来的表面力和体积力。Hookes law 对于小变形问题，总应变场对于小变形问题，总应变场 ij是弹性应变场是弹性应变场eij和本和本征应变场征应变场 ij之和之和ijijije(2-1)2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程总应变总应变 ij必须是相容的必须是相容的(2-2),12iji jj iuu弹性应变与应力通过弹性应变与应力通过Hookes law联系在一起联系在一起*ijijklklijklklklCeC(2-3)*,ijijk
7、lk lklCu(2-4)或者或者2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程式中，式中，Cijkl是四阶弹性模量张量，有如下关系是四阶弹性模量张量，有如下关系(2-5)在区域在区域D-D-内本征应变为零，此时方程（内本征应变为零，此时方程（2-42-4）可表示为）可表示为(2-6)(2-7)方程（方程（2-32-3）的逆可表示为）的逆可表示为klijjiklijlkijklCCCClkijklijuC,klijklijijC1式中，式中，C-1ijkl是弹性柔度张量。是弹性柔度张量。2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程对于各向同性材料，方程对于各向同性材料，方程(2.3)(2.3)和
8、和(2.7)(2.7)可以表示为可以表示为(2-8)(2-9)式中，式中，和和 是是Lame常数，而常数，而 是是Poissons ratio。平衡条件平衡条件kkkkijijijij22/1/kkijijijij计算本征应力时，需假定材料计算本征应力时，需假定材料D D不受外载（体力和表面力）不受外载（体力和表面力）作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程平衡方程平衡方程(2-10)无外力作用的边界
9、条件无外力作用的边界条件式中，式中，n nj j是弹性体是弹性体D D边界上的外单位法向量。方程（边界上的外单位法向量。方程（2.112.11）是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，相应的是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，相应的边界条件为边界条件为0,jij0jijn(2-11)00limxij(2-12)2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程将方程（将方程（2.42.4）代入方程（）代入方程（2.102.10）和（）和（2.112.11）中可得）中可得(2-13)和和 由方程（由方程（2.132.13）和（）和（2.142.14）可以看出，本征应变对）可以看出，本征应变对平
10、衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。平衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。(2-14)jklijklljkijklCuC,jklijkljlkijklnCnuC,2.2.弹性问题的基本方程弹性问题的基本方程相容条件相容条件应变张量应变张量 ijij有有6 6个独立的应变分量，而位移矢量个独立的应变分量，而位移矢量u ui i有有3 3个分量。它们通过几何方程（相容条件）联系在一起。个分量。它们通过几何方程（相容条件）联系在一起。然而，相容方程一般是指由相容条件所导出的如下方然而，相容方程一般是指由相容条件所导出的如下方程程式中，式中，pkipki是置换张量，被定义为是置换张量，被定
11、义为(2-15)0,klijqljpki1,1,2,31,1,2,30ijki j kepi j kopothers(2-16)3.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示 在下面的推导中，考虑无限弹性介质在下面的推导中，考虑无限弹性介质D D内含一夹杂内含一夹杂，且夹杂内具有本征应变且夹杂内具有本征应变*ijij的一般情况。这样做的目的：的一般情况。这样做的目的：既是为了数学上处理简单，又是接近于实际。对于一般既是为了数学上处理简单，又是接近于实际。对于一般的复合材料，增强或增韧相的细观几何尺寸远小于复合的复合材料，增强或增韧相的细观几何尺寸远小于复合材料的宏观尺寸，这样将复合材料作为无限大弹性
12、体处材料的宏观尺寸，这样将复合材料作为无限大弹性体处理具有足够的精度。理具有足够的精度。对于给定的本征应变对于给定的本征应变*ijij，所要求解的基本方程为，所要求解的基本方程为(3-1)jklijklljkijklCuC,Fourier积分变换积分变换三维空间内函数的三维空间内函数的FourierFourier积分变换及反变换分别为积分变换及反变换分别为函数导数的函数导数的FourierFourier积分变换为积分变换为 xxxdixpefF381 xxdixpeFf xxfFixfFmimim3.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示对方程（对方程（3.13.1）进行）进行FourierFo
13、urier积分变换后可得积分变换后可得在推导中用到了关系式在推导中用到了关系式(i(i x)x),l,l=i=i l l。方程（。方程（3.23.2）表示）表示三个方程，用于确定三个未知量三个方程，用于确定三个未知量 i i。引入符号。引入符号(3-4)jklijkljlkijkliCuC(3-2)ljijklikCjklijkliiCA(3-3)3.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示我们可将方程（我们可将方程（3.23.2）写成）写成求解方程（求解方程（3.53.5）可得）可得(3-6)(3-5)321321333231232221131211AAAuuu DNAuijji/3.3.弹性场
14、的一般表示弹性场的一般表示式中，式中，N Nijij是如下矩阵的代数余子式是如下矩阵的代数余子式而而D(D()是是()的行列式。注意有如下关系式的行列式。注意有如下关系式(3-8)(3-7)333231232221131211ikjlijkljlklijljkjilkiCCCjiijNN(3-9)3.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示D(D()和和N Nijij()可显式表达为可显式表达为 对方程（对方程（3.63.6）进行）进行FourierFourier反变换，并根据几何方反变换，并根据几何方程和本构关系，我们有程和本构关系，我们有(3-11)(3-12)321lnmmnlD ln21k
15、mjmniklijN(3-10)xxdiDNCiuijlmnjlmniexp1 xxdiDNNCjkiikjlmnklmnijexp211 xxxklkplqmnpqmnijklijdiDNCCexp13.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示式中，式中，将本征应变变换将本征应变变换(3-13)321dddd321dxdxdxdx 31exp8ijijidx xx代入到方程（代入到方程（3.123.12）中，经整理后可得）中，经整理后可得(3-14)3.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示(3-15)131exp8ijlmnmnijluCxNDid dx xxx x 13116expijklmn
16、mnljikijkCxNNDid d xxx x 1318expijijklpqmnmnqlkpklCCNDid d xxxx xx当当GreenGreen函数被定义为函数被定义为 131exp8ijijGNDidxxxx(3-16)3.3.弹性场的一般表示弹性场的一般表示此时，（此时，（3.153.15）式中的位移分量为）式中的位移分量为 式中式中(3-18)(3-17),ijlmnmnij luCx Gd xxxx,ij lijijllGGGxx xxxxxx有时，有时，GreenGreen函数也称作基本解。对于应变和应力分量，函数也称作基本解。对于应变和应力分量，相应的表达式可写为相应的
17、表达式可写为 ,12ijklmnmnik ljjk liCxGGd xxxxxx ,ijijklpqmnmnkp qlklCCGd xxxxxx(3-19)4.4.格林格林函数函数在前面，在前面，GreenGreen函数被定义为函数被定义为 在在x点沿点沿xj方向施加一个单位力，在方向施加一个单位力，在x点沿点沿xi方向的位移方向的位移(4-1)容易证明：容易证明：131exp8ijijGNDidxxxxijjiGGxxxxijijGGxxxx4.4.格林格林函数函数下面证明，下面证明，GreenGreen函数满足如下基本方程函数满足如下基本方程(x-x(x-x)是三维是三维DeltaDelt
18、a函数。（函数。（4.24.2）式类似于平衡方程）式类似于平衡方程(4-2)相当于位移相当于位移,0ijklkm ljimC G xxxxkmGxxim xx相当于体积力相当于体积力根据根据GreenGreen函数定义，我们有函数定义，我们有 1,3131exp81exp8ijklkm ljijklkmljikkmC GCNDidNDid xxxxxx(4-3)4.4.格林格林函数函数式中，式中，由于由于Nkm是是 的代数余因子，所以我们有的代数余因子，所以我们有(4-4)另一方面，另一方面，Dirac DeltaDirac Delta函数可以定义为函数可以定义为(4-6)ljijklikC1
19、ikkmimND(4-5)11223331exp8xxxxxxidxxxx将（将（4.54.5）和（）和（4.64.6）两式代入方程（）两式代入方程（4.34.3）中，可发现）中，可发现（4.24.2）成立。）成立。4.4.格林格林函数函数对于各向同性材料，对于各向同性材料，GreenGreen函数可以表示为函数可以表示为(4-7)经过推导，我们可得经过推导，我们可得(4-8)23421exp82ijijijGid x x 221282134161ijijijijijijx xGxxx xxx x式中，式中，iixx xii(4-9)5.5.Eshelby 解解 无限均匀介质内含一椭球夹杂，且
20、椭球夹杂内的本无限均匀介质内含一椭球夹杂，且椭球夹杂内的本征应变场为常数。当本征应变是热膨胀应变时，相应问征应变场为常数。当本征应变是热膨胀应变时，相应问题的解由题的解由GoodierGoodier（19371937）给出。对于一般的本征应变）给出。对于一般的本征应变问题，问题，EshelbyEshelby(1957,1959,1961)(1957,1959,1961)给出了相应问题的解给出了相应问题的解析解。夹杂内部和外部弹性场的解不同。析解。夹杂内部和外部弹性场的解不同。EshelbyEshelby工作工作最有价值的结果是夹杂内部弹性场的解。最有价值的结果是夹杂内部弹性场的解。5.5.Es
21、helby 解解对于目前的问题，由位移场的表达式可得对于目前的问题，由位移场的表达式可得,ijkmnmnij kuCGd xxxx(5-1)式中，式中，由如下方程描述由如下方程描述2223122221231xxxaaa(5-2)而而GreenGreen函数为函数为2134161iijjijijxxxxG xxxxxx(5-3)5.5.Eshelby 解解公式推导公式推导*2jkmnmnjkmnjmknjnkmmnjkmmjkC ,333522113416122321343161jjkkij kijikiijjkkiijkij kik jjk ii j kxxxxGxxxxxxxxlllll l
22、 xxxxxxxxxxxx(5-4)(5-5)5.5.Eshelby 解解,221343316123432 1 223431612343jkmnmnij kmmiiiijkij kik jjk ii j kimmjkij kik jjk ii j kimmjkij kik jjk iCGlllllllll lllllll lllll xxxxxx222812343811 2381i j kjkjk iij kik jjk ii j kjkij kik jjk ii j kll lllllll llllll l xxxxxx2 1 22 1 241 21E ij kjkik jkjik jjkl
23、ll(5-6)5.5.Eshelby 解解经过推导后，我们有经过推导后，我们有(5-7)式中，式中，(5-8)l为单位矢量为单位矢量(5-9)281jkiijkduxg xlxx 123ijkij kikjjk ii j kglllll llxxlxx5.5.Eshelby 解解内部弹性场内部弹性场(5-4)当点当点x位于夹杂内时，（位于夹杂内时，（5.75.7）式的积分可以被进行。）式的积分可以被进行。如图如图1.21.2所示，体积元可以被表示为所示，体积元可以被表示为(5-10)式中，式中，d 是中心位于点是中心位于点x的单位球的表面元，而的单位球的表面元，而(5-11)2ddrdSr d
24、rd xrxx5.5.Eshelby 解解(5-12)对变量积分后可得对变量积分后可得式中，式中，r(r(l)是如下方程的正根是如下方程的正根(5-14)81jkiijkuxrgd ll2221122332221231xrlxrlxrlaaa(5-13)即即 1/222ffer lggg 5.5.Eshelby 解解(5-15)式中，式中，(5-16)引入引入232322222121alalalg233322222111axlaxlaxlf2323222221211axaxaxe2iiial5.5.Eshelby 解解此时，方程（此时，方程（5.125.12）可以化为）可以化为(5-17)应变
25、分量为应变分量为 81mjkmijkixguxdg 161ijmnjimnmnijggxdg(5-18)方程（方程（5.185.18）的积分是与）的积分是与x x无关的。因此，我们得到无关的。因此，我们得到一个重要结论：夹杂内的应变场是常数。根据一个重要结论：夹杂内的应变场是常数。根据RouthRouth (1895)(1895)的工作，上面的表面积分可化为一些简单的积分。的工作，上面的表面积分可化为一些简单的积分。5.5.Eshelby 解解(5-19)(5-20)211123220112l ddsIa a aa gass 41111232402112l ddsIa a aa gass 2
26、21 21212322220121232l l ddsIa a aa a gasass式中，式中，222123sasasas 其它系数可以通过其它系数可以通过（1,2,3），），(a1,a2,a3)和和(l1,l2,l3)的同的同时置换得到。时置换得到。5.5.Eshelby 解解(5-21)(5-22)可将方程（可将方程（5.185.18）写成）写成其中，其中，ijijklklSijkljiklijlkSSS21111111131 28181Sa II211222 12111 28181Sa II21133313111 28181Sa II22121212121212161161aaSIII
27、5.5.Eshelby 解解椭球夹杂：椭球夹杂：Eshelby(1957,1959)立方体夹杂：立方体夹杂：Chou(1975)圆柱夹杂：圆柱夹杂：Wu and Du(1995)所有其它的非零分量可以通过轮流置换得到。不能所有其它的非零分量可以通过轮流置换得到。不能通过轮流置换得到的分量为零。如通过轮流置换得到的分量为零。如1112122312320SSSS Sijklijkl称为称为EshelbyEshelby张量。张量。(5-23)6.6.非均匀体问题非均匀体问题考虑无限均匀弹性介质内含一椭球非均匀体的问题。无穷考虑无限均匀弹性介质内含一椭球非均匀体的问题。无穷远处施加外载荷，研究非均匀体
28、所引起弹性场的扰动。远处施加外载荷，研究非均匀体所引起弹性场的扰动。0:ijstressapplied2/:0,0,ijjiuustrainingcoreespondijedisturbancstress:iuedisturbancntdisplaceme:iiuuntdisplacemetotal0:ijijstresstotal0:ijklCmatrixofulielastic:modijklCogeneityinofulielastic:hommod6.6.非均匀体问题非均匀体问题扰动应力场是自平衡的扰动应力场是自平衡的0,jij(6-1)边界条件边界条件inityatboundaryo
29、nnijjijinf00(6-2)本构关系可表示为本构关系可表示为DinuuCinuuClklkijklijijlklkijklijij,0,0,0,0(6-3)6.6.非均匀体问题非均匀体问题 Eshelby Eshelby（19571957）指出：通过在椭球夹杂内选取适当）指出：通过在椭球夹杂内选取适当的本征应变场，外加载荷作用下椭球非均匀体引起的扰的本征应变场，外加载荷作用下椭球非均匀体引起的扰动应力场可以由本征应力表示。这一等效性被称为等效动应力场可以由本征应力表示。这一等效性被称为等效夹杂方法。使用等效夹杂法，我们可以用本征应力场来夹杂方法。使用等效夹杂法，我们可以用本征应力场来模拟
30、扰动应力场。模拟扰动应力场。考虑无限均匀弹性介质内含一相同形状的椭球夹杂，考虑无限均匀弹性介质内含一相同形状的椭球夹杂，椭球夹杂与周围基体具有相同的弹性模量，且夹杂内具椭球夹杂与周围基体具有相同的弹性模量，且夹杂内具有本征应变场。对于目前的问题，本构关系可以写成有本征应变场。对于目前的问题，本构关系可以写成(6-4)DinuuCinuuClklkijklijijkllklkijklijij,0,0,0,06.6.非均匀体问题非均匀体问题式中，式中，上面所给出的非均匀体和夹杂问题等效的充分、必上面所给出的非均匀体和夹杂问题等效的充分、必要条件为要条件为(6-6)0,0lkijklijuC(6-5
31、)inuuCuuCkllklkijkllklkijkl,0,0,inCCklklklijklklklijkl00或或 在前面所介绍的本征应变问题中，扰动应变可以由本在前面所介绍的本征应变问题中，扰动应变可以由本征应变表示。当外加应力场是均匀的应力场时，可以证明征应变表示。当外加应力场是均匀的应力场时，可以证明本征应变场也必须是均匀的。本征应变场也必须是均匀的。(6-7)6.6.非均匀体问题非均匀体问题由上一节可知由上一节可知式中式中，Sijkl是是EshelbyEshelby张量。将（张量。将（6.86.8）式代入（）式代入（6.76.7）式）式中可得中可得(6-8)由方程（由方程（6.96.
32、9）可以解出所有本征应变分量。代入方）可以解出所有本征应变分量。代入方程（程（6.86.8）中确定扰动应变场，代入方程（）中确定扰动应变场，代入方程（6.46.4）求得扰动）求得扰动应力场。应力场。(6-9)mnklmnkllkklSuu,21inSCSCklmnklmnklijklmnklmnklijkl00复合材料有效弹性模量复合材料有效弹性模量l 基本概念基本概念l 自洽理论自洽理论(Hill,1965;Budiansky,1965)l 广义自洽理论广义自洽理论(Christensen and Lo,1979)l Mori-Tanaka方法方法(Mori and Tanaka,1973)
33、l 微分法微分法(Mclaughlin,1977)l 二阶上下限二阶上下限(Hashin and Shtrikman,1963)l 高阶上下限高阶上下限(Torquato,1991)复合材料有效弹性模量复合材料有效弹性模量l对于含夹杂非均匀介质，影响其有效弹性模量的因素可分为两类。对于含夹杂非均匀介质，影响其有效弹性模量的因素可分为两类。一类是非均匀体中每一组份材料的弹性常数。另一类是非均匀体一类是非均匀体中每一组份材料的弹性常数。另一类是非均匀体内部的细观结构特征，它包括夹杂的形状、几何尺寸、在基体中内部的细观结构特征，它包括夹杂的形状、几何尺寸、在基体中的分布和夹杂间的相互作用。的分布和夹
34、杂间的相互作用。l目前理论对第一类因素考虑较详细，而对第二类因素却考虑不充目前理论对第一类因素考虑较详细，而对第二类因素却考虑不充分，如自洽理论、广义自洽理论和微分法仅考虑了夹杂的形状，分，如自洽理论、广义自洽理论和微分法仅考虑了夹杂的形状，而没有充分考虑材料的其它细观因素。在夹杂的体积份数以及夹而没有充分考虑材料的其它细观因素。在夹杂的体积份数以及夹杂与基体弹性模量相差较大时，这些理论已不能很好地预报非均杂与基体弹性模量相差较大时，这些理论已不能很好地预报非均匀体的有效弹性模量。尽管有效场理论考虑了夹杂的形状、几何匀体的有效弹性模量。尽管有效场理论考虑了夹杂的形状、几何尺寸和在基体中的分布，
35、但由于在推导时所作的假定过多，因此尺寸和在基体中的分布，但由于在推导时所作的假定过多，因此这一方法也具有一定的局限性。这一方法也具有一定的局限性。复合材料有效弹性模量复合材料有效弹性模量l 有关非均匀体特性的研究最早可追溯到有关非均匀体特性的研究最早可追溯到Maxwell(1873)Maxwell(1873)和和Rayleigh(1892)Rayleigh(1892)对含球夹杂非均匀介质有效电传导对含球夹杂非均匀介质有效电传导系数的计算。但在这一领域所做的开拓性工作应归功系数的计算。但在这一领域所做的开拓性工作应归功于于EshelbyEshelby、HillHill、BudianskyBudi
36、ansky、RoscoeRoscoe、HashinHashin和和ShtrikmanShtrikman等。等。l 所谓含夹杂非均匀介质的有效特性就是非均匀体在宏所谓含夹杂非均匀介质的有效特性就是非均匀体在宏观上表现的整体特性。一般情况下，它依赖于非均匀观上表现的整体特性。一般情况下，它依赖于非均匀体的所有细观结构细节和每相材料的力学特性。因此，体的所有细观结构细节和每相材料的力学特性。因此，对其求解只能在一些近似假定下进行。对其求解只能在一些近似假定下进行。1.1.基本概念基本概念l 代表性单元的几何尺寸介于夹杂尺寸和复合材料宏观代表性单元的几何尺寸介于夹杂尺寸和复合材料宏观尺寸之间。代表性单
37、元内应含足够数量的夹杂，且夹尺寸之间。代表性单元内应含足够数量的夹杂，且夹杂的发布是均匀的。杂的发布是均匀的。代表性单元代表性单元有效特性的存在条件有效特性的存在条件l 对于含夹杂复合材料，夹杂的分布在宏观上应是均匀对于含夹杂复合材料，夹杂的分布在宏观上应是均匀的，可以是随机分布，也可以是周期分布。的，可以是随机分布，也可以是周期分布。1.基本概念基本概念l 为了下面的分析，我们首先给出含夹杂非均匀介质有为了下面的分析，我们首先给出含夹杂非均匀介质有效弹性模量和柔度的定义。对于宏观上统计均匀的含效弹性模量和柔度的定义。对于宏观上统计均匀的含夹杂非均匀介质，其有效弹性模量和柔度可写为夹杂非均匀介
38、质，其有效弹性模量和柔度可写为)()(*xxklijklijC)()(*xxklijklijB (1-1)式中，式中，ijij(x(x)和和 ij(x)分别为非均匀体内的体平均分别为非均匀体内的体平均应力场和应变场。应力场和应变场。VijijdVxxx)(1)(VijijdVxxx)(1)(1-2)2.自洽理论自洽理论Hill的工作的工作A self-consistent mechanics of composite materialsl 小写黑体字母表示二阶张量，大写字母表示四阶张量小写黑体字母表示二阶张量，大写字母表示四阶张量l 二阶张量与二阶张量与9 1向量对应，而四阶张量与向量对应，而
39、四阶张量与9 9矩阵对应矩阵对应l 对于四阶张量，前两对下表对应于矩阵的行，可以互对于四阶张量，前两对下表对应于矩阵的行，可以互换；后两对下表对应于矩阵的列，也可以互换换；后两对下表对应于矩阵的列，也可以互换对于四阶张量对于四阶张量A，其逆定义为，其逆定义为1AAI1A AI其中，其中，I是四阶单位张量，定义为是四阶单位张量，定义为（2.1）基本概念及关系式基本概念及关系式2.自洽理论自洽理论l 考虑均匀弹性介质含一椭球夹杂的情况。这里，夹杂考虑均匀弹性介质含一椭球夹杂的情况。这里，夹杂和基体的四阶弹性模量张量分别由和基体的四阶弹性模量张量分别由L1和和L表示，而四表示，而四阶弹性柔度张量由阶
40、弹性柔度张量由M1和和M表示。表示。l 无穷远处作用着均匀的变形场，由于夹杂的存在，夹无穷远处作用着均匀的变形场，由于夹杂的存在，夹杂周围存在扰动的弹性场。平均应力场与均匀应变场杂周围存在扰动的弹性场。平均应力场与均匀应变场间存在如下关系间存在如下关系（2.3）12ijklikjliljkI （2.2）L2.自洽理论自洽理论引入整体约束张量引入整体约束张量L*和和M*，满足，满足（2.4）*L*M 这里，这里，*和和*实际上是扰动应力场和应变场。当实际上是扰动应力场和应变场。当L*确定确定后，我们就可以给出夹杂内应变场或应力场与宏观应变后，我们就可以给出夹杂内应变场或应力场与宏观应变场或应力场
41、的关系。（场或应力场的关系。（2.4）式可以进一步写为）式可以进一步写为*11L*11M（2.5）还可以写为还可以写为*11LLLL*11MMMM（2.6）2.自洽理论自洽理论 方程（方程（2.62.6）建立了夹杂内应变场或应力场与平均应变场）建立了夹杂内应变场或应力场与平均应变场或应力场的关系。或应力场的关系。接下来，考虑接下来，考虑Eshelby的本征应变问题。均匀弹性介质内的本征应变问题。均匀弹性介质内含一椭球夹杂，夹杂内具有一本征应变场含一椭球夹杂，夹杂内具有一本征应变场e，夹杂的弹性，夹杂的弹性模量与基体的弹性模量相同，都为模量与基体的弹性模量相同，都为L。根据。根据Eshelby（
42、1957）的结果，夹杂内的扰动应变场和扰动应力场可以表示为的结果，夹杂内的扰动应变场和扰动应力场可以表示为（2.7）Se*eL*由于上式对于所有本征应变场都成立，所以有由于上式对于所有本征应变场都成立，所以有由方程（由方程（2.82.8）可以看出，整体约束张量）可以看出，整体约束张量L*和和M*是由是由EshelbyEshelby张量表示的。反之，我们可以用整体约束张量张量表示的。反之，我们可以用整体约束张量L*和和M*来表示来表示EshelbyEshelby张量张量(2.9)2.自洽理论自洽理论SILSL*SMMSI*(2.8)1*1*MMMLLLS引进一个与引进一个与EshelbyEshe
43、lby张量张量S S对偶的张量对偶的张量T T，令，令QSLTLPSMTM*(2.10)则有如下关系式则有如下关系式由前面的关系式（由前面的关系式（2.82.8）-（2.102.10），我们有），我们有(2.12)2.自洽理论自洽理论(2.11)由方程（由方程（2.122.12）不难发现，四阶张量）不难发现，四阶张量P P和和Q Q与四阶弹性模量与四阶弹性模量张量具有相同的对称性。张量具有相同的对称性。MMMLLLTTLLTITIMTM1*1*,MMQLLPSILQTIMPIMQPL*1*1,自洽理论自洽理论含夹杂复合材料是统计均匀的。夹杂与基体相分别由下含夹杂复合材料是统计均匀的。夹杂与基体
44、相分别由下标标1 1和和2 2表示。表示。c c1 1和和c c2 2分别表示分别表示1 1相和相和2 2相的体积分数，这相的体积分数，这样有关系样有关系(2.13)2.自洽理论自洽理论每一相的应变场、应力场与宏观平均应变场、应力场有如每一相的应变场、应力场与宏观平均应变场、应力场有如下基本关系下基本关系121cc0022112211cccc(2.14)这意味着极化应力和应变的平均为零。方程（这意味着极化应力和应变的平均为零。方程（2.142.14）可以进一步表）可以进一步表示为示为(2.15)2.自洽理论自洽理论根据自洽理论的基本假设，可推得根据自洽理论的基本假设，可推得(2.16)0022
45、2111222111McMcLcLc1*1L由方程（由方程（2.142.14）可以得到）可以得到2*2L(2.17)反之亦然。有趣的是，夹杂与基体存在着某种对称关系，对夹杂成立反之亦然。有趣的是，夹杂与基体存在着某种对称关系，对夹杂成立的关系式，对基体也有与之对应的关系式。方程（的关系式，对基体也有与之对应的关系式。方程（2.152.15）和（）和（2.162.16）可以重新表示可以重新表示(2.18)2.自洽理论自洽理论由方程（由方程（2.142.14）和（）和（2.182.18）可推得关于张量）可推得关于张量L L和和M M的一对方程的一对方程(2.19)张量张量L*和和M*是是L和和M
46、M的函数，公式（的函数，公式（2.192.19）使用起来比较复杂。）使用起来比较复杂。下面，给出不含下面，给出不含L*和和M*的表达式的表达式(2.20)MMMMMMLLLLLL*22*11*22*11*QMMMMcMMcPLLLLcLLc1*12*211*11*12*211*1001122111111221111QMMcQMMcPLLcPLLc2.自洽理论自洽理论由方程（由方程（2.202.20），我们可以容易推得），我们可以容易推得(2.21)这是一个较为简单的公式，在以后的推导中将使用它。这是一个较为简单的公式，在以后的推导中将使用它。(2.22)QMMcMMcPLLcLLc112121
47、112121下面，引入集中相因子张量概念，下面，引入集中相因子张量概念，A1和和A2是对应变，是对应变，B1和和B2是对应力是对应力212111AA212111BB这样这样MMQIMMQBMMQIMMQBLLPILLPALLPILLPA22*1211*1122*1211*11(2.23)2.自洽理论自洽理论由方程（由方程（2.192.19）和（）和（2.222.22）可得）可得(2.24)当夹杂体积分数较小时，（当夹杂体积分数较小时，（2.202.20）式可以表示为）式可以表示为(2.25)上述公式有时由如下公式替代上述公式有时由如下公式替代(2.26)22112211BcBcIAcAc121
48、2211212122112MMQIMMcMMLLPILLcLL12112ALLcLL12112BMMcMM各向同性介质内含球夹杂各向同性介质内含球夹杂2.自洽理论自洽理论假定夹杂为球形，夹杂与基体都为各向同性材料，且夹杂分布是均匀假定夹杂为球形，夹杂与基体都为各向同性材料，且夹杂分布是均匀的。此时，方程（的。此时，方程（2.212.21）可退化为如下一对标量方程）可退化为如下一对标量方程(2.27)式中，式中，(2.29)无量纲参数无量纲参数 和和 是是EshelbyEshelby张量中的参数。对于球夹杂，张量中的参数。对于球夹杂，EshelbyEshelby张张量可以表示为量可以表示为122
49、1cc1221cc(2.28)3/4/53jkiljlikklijijklS2131(2.30)至此，我们给出了含球夹杂复合材料有效弹性模量的公式。这是一至此，我们给出了含球夹杂复合材料有效弹性模量的公式。这是一个非线性方程，需要联立求解。个非线性方程，需要联立求解。2.自洽理论自洽理论DudianskyDudiansky的工作的工作考虑弹性基体考虑弹性基体V内含内含N-1相弹性介质，相弹性介质，N-1相弹性介质分相弹性介质分布是均匀的，且不同相之间的界面结合是完好的。每相布是均匀的，且不同相之间的界面结合是完好的。每相介质的体积分数定义为介质的体积分数定义为(B.1)有效弹性模量的推导有效弹
50、性模量的推导为了确定有效剪切模量为了确定有效剪切模量G G*，考虑一个大的立方体材料，它，考虑一个大的立方体材料，它的边平行于坐标轴。在立方体表面上施加一均匀的纯剪切的边平行于坐标轴。在立方体表面上施加一均匀的纯剪切载荷。相应的剪应变在立方体内不是均匀的，但是假定载荷。相应的剪应变在立方体内不是均匀的，但是假定VVcii2.自洽理论自洽理论式中，式中，是剪应变是剪应变 xyxy在立方体内的均值。由在立方体内的均值。由HillHill（19631963）工作易知，工作易知，(B.2)这样，立方体内的弹性应变能由下式给出这样，立方体内的弹性应变能由下式给出0*GVxydVV10(B.3)*2000
