1、4.3.24.3.2 等比数列的等比数列的前前n n项和公式应用项和公式应用111,1(1),111nnnnaqSaa qaqqqq1.等比数列等比数列前前n项和公式：项和公式：2.等比数列等比数列求和要考虑求和要考虑公比是否为公比是否为 1.3.等比数列求和的等比数列求和的常用方法：常用方法：错位相减法错位相减法.若等比数列若等比数列an的公比的公比q1，前，前n项和为项和为Sn，则，则Sn,S2nSn,S3nS2n成等比数列成等比数列,其中公比为其中公比为qn.复习引入复习引入4.等比数列等比数列的的片段和片段和性质性质：消元方法消元方法：约分约分或或两式相除两式相除思考：思考：你能发现等
2、比数列前n项和公式Sn (q1)的函数特征吗？探究新知探究新知1(1)1nnaqSq111nnaaqSq11+11nnaaSqqq当q1时，即即Sn是是n的指数型函数的指数型函数.当q1时，Snna1，即Sn是n的正比例函数.结构特点结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.例例1 1 数列数列an的前的前n项和项和Sn3n2.求求an的通项公式的通项公式,并判断并判断an是否是等比数列是否是等比数列.解:当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.当n1时，a1S13121，不满足上式.由于a11，a26，a318，所以a1，a2，a3不是等比数列，即an不是等比数列.典例分析典例
3、分析思考思考：还有其他方法判断还有其他方法判断an是否是等比数列吗？是否是等比数列吗？思考：若an是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列an的项数有2n项，则(2)若等比数列an的项数有2n1项，则S奇a1a3 a2n-1 a2n+1a1(a3 a2n-1 a2n+1)a1q(a2a4a2n)a1qS偶S奇a1qS偶S偶a2a4a2n S奇a1a3a2n1S偶a2a4a2n探究新知探究新知1奇偶SaqSS偶qS奇偶奇SqS例2 2 已知等比数列已知等比数列an共有共有2n项，其和为项，其和为240，且，且(a1a3a2n1)
4、(a2a4a2n)80，求公比，求公比q.解：由题意知S奇S偶240，S奇S偶80 S奇80，S偶160，典例分析典例分析变式：变式：若等比数列若等比数列an共有共有2n项，其公比为项，其公比为2，其奇数项和比偶数，其奇数项和比偶数项和少项和少100，则数列，则数列an的所有项之和为的所有项之和为_.300典例分析典例分析12xy 例例4 4 去年某地产生的生活垃圾为去年某地产生的生活垃圾为2020万吨，其中万吨，其中1414万吨垃圾以万吨垃圾以填埋方式填埋方式处理，处理，6 6万吨垃圾以万吨垃圾以环保方式环保方式处理处理.预计预计每年生活垃圾每年生活垃圾的总量的总量递增递增5%5%，同时，通
5、过同时，通过环保方式环保方式处理的垃圾量每年处理的垃圾量每年增加增加1.51.5万吨万吨.为了确定处理生为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5 5年内通过填埋方式处理的垃年内通过填埋方式处理的垃圾总量圾总量(精确到精确到0.10.1万吨万吨).).典例分析典例分析分析：分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.小试牛刀小试牛刀分组求和法(1)求形如cnanbn的前n项和公式，其中an与
6、bn是等差数列或等比数列；(2)将等差数列和等比数列分开：Tn c1+c2+cn (a1+a2+an)(b1+b2+bn)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.)51(43)1(nnn4)5(1 3)1()5(1)5(1 532)22()535353()242(111121nnnnnnnn原式解：解：121.(23 5)(43 5)(23 5).nn 计算：变式变式：典例分析典例分析(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.,12,.1nnnnnSaSSna求若项和为的前已知数列12 nnS小试牛
7、刀小试牛刀12 当时解：，nnnnaSS1121 2()1,=21 即nnnnnnSaSSSS1111=2(1),=21即nnnnSSSS1112数列是以为首项，为公比的等比数列nSS111111=1=2+1=11=1=2又当时，即naSaaSa11(2)22 nnnS1.求和：求和：Snx2x23x3nxn(x0).当x1时，Snx 2x2 3x3 4x4 nxn xSn x2 2x3 3x4 (n1)xn nxn1 (1x)Sn x x2 x3 x4 xn nxn1课堂练习课堂练习 .)2(,)1(.,),(2,3.25411nnnnnSnaqpaaapqNnnqpaaa项和的前求数列的值
8、；求成等差数列且为常数通项的首项已知数列1)1(qp22)1(2)2(1nnSnn课堂练习课堂练习 .,log)2()1(.2,2.324231nnnnnnnSnbaabaaaaaa项和的前求数列记的通项公式；求数列的等差中项和是中已知等比数列nna2)1(22)1()2(1nnnS课堂练习课堂练习 11112,0,2,.(1),(2),.4.设 为数列的前 项和已知求并求数列的通项公式；记求数列的前 项和nnnnnnnnnSanaaaS S nNa aabnabnT112(1)1,2,2nnaaa12)1()2(nnnT课堂练习课堂练习 2245.,560.(1)(2).2已知数列是递增的等差数列是方程的根求数列的通项公式；求数列的前 项和nnnnnaa axxaanS121)1(nan1242)2(nnnS课堂练习课堂练习课堂小结课堂小结1.等比数列前等比数列前n项和公式项和公式Sn的函数特征：的函数特征：当q1时，Snna1，即Sn是n的正比例函数.当q1时，即即Sn是是n的指数型函数的指数型函数.(1)若等比数列an的项数有2n项，则(2)若等比数列an的项数有2n1项，则S奇a1qS偶1奇偶SaqSS偶qS奇偶奇SqS2.等比数列等比数列的的S奇奇与与S偶偶之间的关系：之间的关系：3.求和的方法求和的方法分组求和法、错位相减法分组求和法、错位相减法
