1、第2课时函数的最大(小)值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点一函数最值的定义1一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值2对于函数f(x)，给定区间I，若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值思考如图所示，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)
2、上还有最值吗？答案函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值知识点二求函数的最大值与最小值的步骤函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最大值不一定是函数的极大值()2函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得()3有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值()
3、4函数f(x)在区间a，b上连续，则f(x)在区间a，b上一定有最值，但不一定有极值()一、不含参函数的最值问题例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,2反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域(2)求f(x)，解方程f(x)0.(3)列出关于x，f(x)，f(x)的变化表(4)求极值、端点处的函数值，确定最值注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)；(2)f(x)x2xln x，x1,3二、含参函数的最值问题例2已知函数f(x)x3ax2a2x.求函数f(x)在0，)上的最小值反思感
4、悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值延伸探究当a>0时，求函数f(x)x3ax2a2x在a,2a上的最值跟踪训练2已知aR，函数f(x)x2，求f(x)在区间0,2上的最大值三、由函数的最值求参数问题例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值反思感悟已知函数在某
5、区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题跟踪训练3已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围四、导数在解决实际问题中的应用例4请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点设AEFBx(cm)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)
6、最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2
7、)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值1下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在xa和xb处取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值2函数yxsin x，x的最大值是()A1 B.1 C D13函数f(x)x33x(|x|1)()A有最值，但无极值B有最值，也有极值C既无最值，也无极值D无最值，但有极值4要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则
8、高应为()A. cm B. cm C. cm D. cm5已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，则a的值为_， f(x)在2,2上的最大值为_1知识清单：(1)函数最值的定义(2)求函数最值的步骤(3)函数最值的应用2方法归纳：方程思想、分类讨论3常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系1设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)()A等于0 B小于0 C等于1 D不确定2.已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)<g(x)，则f(x)
9、g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)3函数f(x)x33x1在区间3,0上的最大值和最小值分别是()A1，1 B1，17 C3，17 D9，194某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元 B60元 C28 000元 D23 000元5(多选)函数f(x)x33axa在(0
10、,1)内有最小值，则a的值可以为()A0 B. C. D16若函数f(x)x33x在区间0,3上的最大值、最小值分别为m，n，则m_，n_.7设0<x<，则函数y的最小值是_ a=>1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2，则ab_，f(x)的解析式为_9求下列函数的最值：(1)f(x)sin xcos x，x；(2)f(x)ln(1x)x2，x0,210已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值11已知函数f(x)exxa，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，1)C
11、1，) D(，112下列关于函数f(x)(2xx2)ex的判断正确的是()f(x)>0的解集是x|0<x<2； 1= 3= _= a=>1)，若对于任意的x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_16已知函数f(x)ln x.(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间； 0="" 2="" 3="" 8="" 18="" .="" x="" 18.="" cos="" f
12、="" r.="" ln="" 3.="" a.="" a="">0时，f(x)在0，a)上单调递减，在a，)上单调递增所以f(x)minf(a)a3.当a0时，f(x)3x20，f(x)在0，)上单调递增，所以f(x)minf(0)0.当a<0时，f(x)在上单调递减， f="" a3.="" a="">0时，f(x)的最小值为a3；当a0时，f(x)的最小值为0；当a<0时，f(x)的最小
13、值为a3. a="">0)，令f(x)0，得x1<x2a.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在a,2a上单调递增因为f(a)a3，f a3，f(a)a3，f(2a)2a3.所以f(x)maxf(2a)2a3.f(x)minf(a)f(a)a3.跟踪训练2解f(x)x22ax.令f(x)0，解得x10，x22a.令g(a)f(x)max，当2a 0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而g(a)f(x)maxf(2)4a.当2a2，即a1时，f(x)在0,2上单调递减，从而g(a)f(x)maxf(0)0.当0<2a<2，即0<
14、;a<1时， a=>0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.当a<0时，同理可得，当x0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在1,2上的最小值，f(0)b29. 29="">f(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.跟踪训练3解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9
15、.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，h(x)取极大值28；当x1时，h(x)取极小值4.而h(2)3<h(3)28，如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k3.所以k的取值范围为(，3例4解V(x)(x)2(602x)x2(602x)2x360x2(0<x<30)V(x)6x2120x6x(x20)令V(x)0，得x0(舍去)或x20.当0<x<20时，v(x)>0；当20<x<30时，V(x)<0.V(x)在x20时取极
16、大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为x20(cm)，高为(30x)10(cm)，即高与底面边长的比值为.跟踪训练4解(1)由题设可知，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x15，x2(舍去)当0<x<5时，f(x)<0，当5<x<10时，f(x)>0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.即当隔热层修建5 c
17、m厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元1.答案D解析函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2.答案C解析y1cos x，当x时，y>0，则函数在区间上单调递增，所以y的最大值为ymaxsin .3.答案C解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上单调递减，无最大值和最小值，也无极值4.答案B解析设圆锥的高为h cm,0<h<20， h=>0，当h时，V<0，故当h时，体积最大5.答案33解析f(x)6x2
18、12x6x(x2)由f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取得最大值3.1.答案A解析因为Mm，所以f(x)为常数函数，故f(x)0，故选A.2.答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)<g(x)，F(x)f(x)g(x)<0，F(x)在a，b上单调递减，F(x)maxF(a)f(a)g(a)3.答案C解析f(x)3x233(x1)(x1)，令f(x)0，得x1.又f(3)279117，f(0)1，f(1
19、)1313,13,0所以函数f(x)的最大值为3，最小值为17.4.答案D解析设毛利润为L(P)则L(P)PQ20Q(8 300170PP2)(P20)P3150P211 700P166 000，所以L(P)3P2300P11 700.令L(P)0，解得P30或P130(舍去)此时，L(30)23 000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元5.答案BC解析f(x)3x23a，且f(x)0有解，ax2.又x(0,1)，0<a<1.6.答案182解析f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1(舍去)又因为x0,1)时，f(x
20、)<0，x(1,3时，f(x)>0，所以当x1时，f(x)取得极小值f(1)2.又f(0)0，f(3)18，所以m18，n2.7.答案解析y.因为0<x<，所以当<x<时，y>0；当0<x<时，y<0.所以当x时，ymin.8.答案f(x)x32x21解析f(x)3x23ax3x(xa)，令f(x)0得x10，x2a，当x1,0时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(0,1时，f(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)maxf(0)b1，因为f(1)a，f(1)2a，所以f(x)minf(1)a，所以a2，即a，所以ab1，所
21、以f(x)x32x21.9.解(1)f(x)cos xsin x.令f(x)0，即tan x1，且x，所以x.又因为f ，f 1，f 1，所以当x时，函数的最大值为f ，最小值为f 1.(2)f(x)x，令x0，化简为x2x20，解得x12(舍去)，x21.当0x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增；当1<x2时，f(x)<0，f(x)单调递减， 1= ln=>0，f(1)>f(2)所以f(0)0为函数f(x)ln(1x)x2在0,2上的最小值，f(1)ln 2为函数在0,2上的最大值10.解f
22、(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，f(x)有最大值f(0)0.若a>0，则令f(x)0，解得x.因为x0,1，所以只考虑x的情况(1)若0<<1，即0<a<1，则当x时，f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)02a3a1(2)若1，即a1，则当0x1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0，当0<a<1，x时，f(x)有最大值2a， 1.= a=>0，解得x&
23、gt;0，令f(x)<0，解得x<0， a.="">0恒成立，则1a>0，解得a>1，故选A.12.答案D解析由f(x)>0得0<x<2，故正确f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得x，当x<或x>时，f(x)<0，当<x<时，f(x)>0，当x时，f(x)取得极小值，当x时，f(x)取得极大值，故正确当x时，f(x)<0，当x时，f(x)<0，>0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故不正确13.答案22解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.又
24、f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，f(x)max2，f(x)min2.14.答案2解析设OO1x m，则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为.于是底面正六边形的面积为6()2(82xx2)帐篷的体积为V(x)(82xx2)(1612xx3)则V(x)(123x2)令V(x)0，解得x2(不合题意，舍去)或x2.当1<x<2时，v(x)>0，V(x)单调递增；当2<x<4时，v(x)<0，v(x)单调递减 4= a=>1时，令f(x)3ax230，解得x，1,1当1<x<时，f(x)>0，f(x)单调递增；当&
25、lt;x<时，f(x)<0，f(x)单调递减；当<x<1时，f(x)>0，f(x)单调递增所以只需f 0，且f(1)0即可，由f 0，得a3310，解得a4，由f(1)0，可得a4，综上可得a4.16.解函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x)，(1)a<0，f(x)>0，故函数在其定义域(0，)上单调递增f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间(2)当x1，e时，分如下情况讨论：当a<1时，f(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a<1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，
26、函数f(x)在1，e上单调递增，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1<a<e时，函数f(x)在1，a)上有f(x)<0，f(x)单调递减，在(a，e上有f(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，由ln a1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当a>e时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)1>2，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为.</a<e时，函数f(x)在1，a)上有f(x)<0，f(x)单调递减
27、，在(a，e上有f(x)></x<1时，f(x)></x<时，f(x)></x<4时，v(x)<0，v(x)单调递减></x<2时，v(x)></x<时，f(x)></a<1，x时，f(x)有最大值2a，></x2时，f(x)<0，f(x)单调递减，></x<时，y></h<20，></x<5时，f(x)<0，当5<x<10时，f(x)></x<20时，v(x)></a<1时，></x<2；></x<，则函数y的最小值是_>
