新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册PPT课件（全册29份打包）.rar

4.1数 列的概念讲课人：邢启强21.王芳从1岁到17岁,每年生日那天测量身高,将这些身高数据(单位：cm)依次排成一列数：75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.记王芳第i岁时的身高为hi,那么h1=75,h2=87,，h17=168.我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h1=75是排在第1位的数，h2=87是排在第2位的数h17=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以，是具有确定顺序的一列数。新知引入新知引入2.在两河流域发掘的一块泥版（编号K90,约产生于公元前7世纪)上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数:5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.记第i天月亮可见部分的数为si,那么s1=5,s2=10 s15=240反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即s1=5是排在第1位的数,s2=10是排在第2位的数 s15=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，也是具有确定顺序的一列数.注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示。讲课人：邢启强34，5，6，7，8，9，10 1，0.1，0.01，0.001，0.0001.-1，1，-1，1，-1，1，.2，2，2，2，2，观察下面几列数：观察下面几列数：新知引入新知引入讲课人：邢启强4数列的定义数列的定义:(1)按一定次序排列的一列数叫做按一定次序排列的一列数叫做数列数列.(2)数列中的每一个数都叫做数列的数列中的每一个数都叫做数列的项项,(3)各项依次叫做这个数列的第各项依次叫做这个数列的第1项项(或首项或首项)常用符号常用符号a1表示表示,第第2项项,用符号用符号a2表示表示,第第n项项,(4)数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成有时简记为有时简记为问问：下面二列数是否为同一数列？：下面二列数是否为同一数列？（1）1，2，3，4，5 （2）5，4，3，2，1结论结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。：因其排列次序不同，故不是同一数列。新知学习新知学习讲课人：邢启强5数列的分类数列的分类:(1)按项的多少来分按项的多少来分:(2)按项数之间大小关系来分按项数之间大小关系来分:新知学习新知学习讲课人：邢启强6数列的每一项与这一项的序号对应关系数列的每一项与这一项的序号对应关系 项项 序号序号 1 2 3 4 5通项公式：通项公式：如果数列的第如果数列的第n项与项与n之间的关系可以用一个公式之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。新知学习新知学习讲课人：邢启强7一般表示法 a1 ,a2 ,a3 ,an ,其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为an.例如：把数列 2，4，6，8，10，4，5，6，7，8，分别简记为 2n,n+3数列的三种表示方法数列的三种表示方法 解析表示法解析表示法通项公式通项公式表示.(3)数列的图象表示法例:数列-1,1,-1,1,-110-1123456nan是一群孤立的点是一群孤立的点新知学习新知学习（4）列表表示法讲课人：邢启强81.不是每一个数列都能写出其通项公式不是每一个数列都能写出其通项公式2.数列的通项公式不唯一数列的通项公式不唯一 如如-1，1，-1，1，-1，.可写成可写成 和和3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。注意:数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。无穷数列表示无限个孤立的点。新知学习新知学习4.实质：实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集数集 N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）的函数，当自）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。应的函数解析式。讲课人：邢启强9例例1：根据下列数列：根据下列数列an的通项公式，写出前的通项公式，写出前5项项,并画出它们的图象：并画出它们的图象：（1）解:(1)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列an的前5项依次为1,3,6,10,15.图象如图所示.思考：思考：例题讲解例题讲解(2)当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列an的前5项依次为1,0,-1,0,1.图象如图所示.讲课人：邢启强10例题讲解例题讲解解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为(2)这个数列前4项的奇数项是2,偶数项是0,所以它的一个通项公式为讲课人：邢启强11题后感悟根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系具体可参考以下几个思路：先统一项的结构，如都化成分数、根式等分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(1)k处理符号对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等讲课人：邢启强12（2）1，0，-1，0，（3）（4）1，0.1，0.01，0.001，.（5）-1，1，-1，1，-1，.（6）2，2，2，2，2，.（1）1,2,3,4,5,6，.巩固练习巩固练习写出下列通项公式写出下列通项公式讲课人：邢启强13（1）写出下列通项公式写出下列通项公式巩固练习巩固练习（4）1,0,1,0,1,0（5）7，77，777，7777.讲课人：邢启强14巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15练习练习讲课人：邢启强16（3）试比较）试比较 与与 的大小。的大小。设数列设数列 中，中，对所有对所有 都有都有（1）求）求（2）是此数列中的项吗？是此数列中的项吗？巩固练习巩固练习讲课人：邢启强17例题讲解例题讲解讲课人：邢启强18讲课人：邢启强191.数列数列an中，中，an2n229n3，则此数列最大项的值是，则此数列最大项的值是()A105 B106 C107 D108 D13或或12练习练习讲课人：邢启强20小结：小结：1数列的有关概念数列的有关概念2观察法求数列的通项公式观察法求数列的通项公式3.应用通项公式解决数列问题应用通项公式解决数列问题 4.1数 列的概念（2）讲课人：邢启强2数列的定义数列的定义:(1)按一定次序排列的一列数叫做按一定次序排列的一列数叫做数列数列.(2)数列中的每一个数都叫做数列的数列中的每一个数都叫做数列的项项,(3)各项依次叫做这个数列的第各项依次叫做这个数列的第1项项(或首项或首项)常用符号常用符号a1表示表示,第第2项项,用符号用符号a2表示表示,第第n项项,(4)数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成有时简记为有时简记为问问：下面二列数是否为同一数列？：下面二列数是否为同一数列？（1）1，2，3，4，5 （2）5，4，3，2，1结论结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。：因其排列次序不同，故不是同一数列。巩固复习巩固复习讲课人：邢启强3数列的分类数列的分类:(1)按项的多少来分按项的多少来分:(2)按项数之间大小关系来分按项数之间大小关系来分:巩固复习巩固复习讲课人：邢启强4一般表示法 a1 ,a2 ,a3 ,an ,其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为an.数列的三种表示方法数列的三种表示方法 解析表示法解析表示法通项公式通项公式表示.(3)数列的图象表示法是一群孤立的点是一群孤立的点 通项公式：通项公式：如果数列的第如果数列的第n项与项与n之间的关系可以用一个公式之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。巩固复习巩固复习讲课人：邢启强51.不是每一个数列都能写出其通项公式不是每一个数列都能写出其通项公式2.数列的通项公式不唯一数列的通项公式不唯一 如如-1，1，-1，1，-1，.可写成可写成 和和3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。注意:数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。无穷数列表示无限个孤立的点。4.实质：实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集数集 N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）的函数，当自）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。应的函数解析式。巩固复习巩固复习讲课人：邢启强6例1.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。例题讲解例题讲解解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.因此，这个数列的一个通项公式是 .换个角度观察图中的4个图形，可以发现，a1=1,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1,a2=3 a1,a3=3a2,a4=3a3,由此猜测这个数列满足公式.当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算未寻找规律，如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。讲课人：邢启强7递推公式递推公式:如果已知数列的第如果已知数列的第1项项(或前几项或前几项)和和递推公式，和和递推公式，就能就能求出数列的每一项。知识点评知识点评如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.例例2：已知数列的第：已知数列的第1项是项是1，以后的各项由公式，以后的各项由公式 给出给出,写出这个数列的前写出这个数列的前5项。项。例题讲解例题讲解讲课人：邢启强8例例3：已知数列：已知数列 中，中，试写出数列的前试写出数列的前4项项1,2,7,22例题讲解例题讲解 例例4、已知、已知（1）写出数列的前）写出数列的前5项；项；（2）由（）由（1）中的前）中的前5项推测数列的通项公式并进行验证。项推测数列的通项公式并进行验证。以上等式相加得以上等式相加得讲课人：邢启强92若若又又,求求 的前的前5项项.1.写出下面各数列的前写出下面各数列的前4项，根据前项，根据前4项写出项写出该数列的一个通项公式该数列的一个通项公式 巩固练习巩固练习讲课人：邢启强10 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+.+an.如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+an-1(n2),于是我们有学习新知学习新知例：已知数列an的前几项和公式为Sn=n2+n,你能求出an的通项公式吗？解：因为a1=S1=2，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)+(n-1)=2n(n2),并且当n=1时，a1=21=2依然成立.所以an的通项公式是an=2n.讲课人：邢启强11巩固练习巩固练习已知数列an的前几项和公式为Sn=,an的通项公式为 .【解析】数列an的前几项和公式为Sn=,当n=1时，a1=S1=1+4=5;当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+4)-(n-1)2+4=2n-1.又当n=1时，a1=51,讲课人：邢启强12巩固练习巩固练习已知数列an的前几项和公式为2Sn=3an-3,则a4的值为().A.27 B.81 C.93 D.243B解：根据2Sn=3an-3,可得2Sn+1=3an+1-3,两式相减得2an+1=3an+1-3an,即an+1=3 an 当n=1时，2S1=3a1-3解得a1=3,则a4=3a3=32a2=33a1=81.讲课人：邢启强13讲课人：邢启强14讲课人：邢启强15讲课人：邢启强16小结：小结：1.通项公式与递推公式区别通项公式与递推公式区别 4.2.1等差数列的概念（1）讲课人：邢启强2在过去的三百多年里，人们在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差相差76新知引入新知引入讲课人：邢启强3新知引入新知引入再请看下面几个问题中的数列.1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81.2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48.3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为 25,24,23,22,21.4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=12n)元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为 ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,.讲课人：邢启强4(3)25,24,23,22,21.(4)ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,.(1)9,18,27,36,45,54,63,72,81.(2)38,40,42,44,46,48.定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个于同一个常数常数，这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。这个数列就叫做这个数列就叫做等差数列等差数列。它们的共同的规律是？它们的共同的规律是？第第2项起项起学习新知学习新知对于，我们发现18=9+9,27=18+9.81=72+9,换一种写法，就是18-9=9,27-18=9.81-72=9.如果用an表示数列，那么有a2-a1=9,a3-a2=9,.a9-a8=9.这表明，数列有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.d=9d=2d=-1d=-br讲课人：邢启强5它们是等差数列吗？它们是等差数列吗？(6)5，5，5，5，5，5，公差公差 d=0 常数列常数列公差公差 d=2x(5)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10(7)是项数 的函数学习新知学习新知讲课人：邢启强6(1)1，4，7，10，13，16，(2)2，0，-2，-4，-6，-8 你会求它们的通项你会求它们的通项公式吗？公式吗？学习新知学习新知讲课人：邢启强7等差数列的通项公式等差数列的通项公式如果一个数列如果一个数列是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，那么，那么，n=1时亦适合学习新知学习新知累加法以上各式两边同时相加得以上各式两边同时相加得迭代法迭代法讲课人：邢启强8等差数列的图象1（1）数列：-2,0,2,4,6,8,10，12345678910123456789100学习新知学习新知讲课人：邢启强9等差数列的图象2（2）数列:7,4,1,-2，12345678910123456789100学习新知学习新知讲课人：邢启强10等差数列的图象3（3）数列：4,4,4,4,4,4,4，12345678910123456789100学习新知学习新知讲课人：邢启强11直线的一般形式：直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直线上的点。学习新知学习新知讲课人：邢启强12例1.(1)已知等差数列an的通项公式为an=52n,求an公差首项；(2)求等差数列8，5，2.的第20项典型例题典型例题分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an an1=d即可求出公差d;(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项解：(1)当n2时，由an的通项公式为an=52n,可得an1=52(n1)=72n.于是d=an an1=(52n)(72n)=2.把n=1代入通项公式an=52n,得a1=5-21=3.所以,an的公差为2,首项为3.解：(2)由已知条件,得d=58=3.把a1=8,d=3代入an=a1+(n1)d,得an=83(n1)=113n.把n=20代入上式，得a20=11320=49.所以，这个数列的第20项是49.讲课人：邢启强13例例2.401是不是等差数列是不是等差数列 5,9,13,的项？如果是，是第几项？的项？如果是，是第几项？典型例题典型例题分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=5,d=9(5)=4,得这个数列的通项公式为an=54(n1)=4n1.令4n1=401,解这个关于n的方程，得n=100.所以，401是这个数列的项，是第100项。练一练练一练1.求等差数列求等差数列3,7,11，的第的第4,7,10项；项；巩固练习巩固练习2.100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，中的项？中的项？3.-20是不是等差数列是不是等差数列0,，-7中的项；中的项；讲课人：邢启强14例例3 3 在等差数列中在等差数列中,已知已知a5 5=10,=10,a1212=31,=31,解：由题意可知解：由题意可知即这个等差数列的首项是即这个等差数列的首项是-，公差是，公差是.求首项求首项a1 1与公差与公差d.这是一个以这是一个以 和和 为未知数的二元一次方程组为未知数的二元一次方程组,解这个方程组解这个方程组,得得【说明说明】在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中a1、d、an、n 任知任知 个，可求个，可求 .三三另外一个另外一个典型例题典型例题讲课人：邢启强15 在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2，()，4 （2）-12，()，0 3-6如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。思思 考考学习新知学习新知讲课人：邢启强16例例3(1)已知数列已知数列 an 的通项公式是的通项公式是 an=3n-1，求证：求证：an为等差数列；为等差数列；【小结小结】数列数列 an 为等差数列为等差数列 ；证明一个数列为等差数列的方法是证明一个数列为等差数列的方法是：.an=kn+bk、b是常数是常数.证明：证明：an+1-an为一个常数为一个常数.(2)已知数列已知数列an是等差数列，是等差数列，求证：数列求证：数列an+an+1也是等差数列也是等差数列.学习新知学习新知讲课人：邢启强1730083+5(n-1)5001.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1，则则 a 等于（等于（)A.1 .1 B.-1 .-1 C.-.-D.2.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=.(-3a-5)-(a-6-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列在等差数列an中中a1=83,a4=98,则这个数列有多少项在则这个数列有多少项在300到到500之间？之间？-35提示：提示：n=45，46，8440A巩固练习巩固练习讲课人：邢启强184.4.在等差数列中在等差数列中巩固练习巩固练习讲课人：邢启强19 1、等差数列的概念。必须从第必须从第2项起后项减去项起后项减去前项，并且差是前项，并且差是 同同 一常数一常数 2、等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 知道其中三 个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。这节课主要讲了以下两个问题：课堂小结课堂小结4.2.1等差数列的概念（2）讲课人：邢启强2定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个于同一个常数常数，这个数列就叫做这个数列就叫做等差数列等差数列这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。等差数列的通项公式等差数列定义等差数列定义复习引入复习引入如果一个数列如果一个数列那么那么，是等差数列，它的公差是是等差数列，它的公差是d，讲课人：邢启强3推导等差数列通项公式的方法叫做推导等差数列通项公式的方法叫做法法.累加累加每一项与每一项与它前一项的差它前一项的差等差数列等差数列如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.【说明说明】数列数列 an为等差数列为等差数列；an+1-an=d 或或an+1=an+dd=an+1-an公差是公差是的常数；的常数；唯一唯一an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都等差数列各项对应的点都在同一条直线上在同一条直线上.复习引入复习引入讲课人：邢启强4(1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第20项是项是；(2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第项是项是-401；(3)已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a1=3，d=，an=21，则，则n=；(4)已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10=，d=，则，则a3=.-4910013复习引入复习引入讲课人：邢启强5典型例题典型例题例1.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列an.由题意可知，10年之内（含10年）,这台设备的价值应不小于（2205%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用an的通项公式列不等式求解。讲课人：邢启强6典型例题典型例题例2.已知等差数列an的首项a1=2,公差d=8,在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn的通项公式.(2)b29是不是数列an的项？若是,它是an的第几项？若不是，说明理由.分析：(1)an是一个确定的数列，只要把a1,a2表示为bn中的项，就可以利等差数列的定义得出bn的通项公式；解：(1)设数列bn的公差为d.由题意可知，b1=a1,b5=a2,于是b5-b1=a2-a1=8.因为b5-b1=4d,所以4d=8,所以d=2.所以bn2+(n-1)2=2n(2)数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13.项，这些下标构成一个首项为1,公差为4的等差数列cn则cn=4n-3.令4n-3=29,解得n=8.所以，b29是数列an的第8项.所以，数列bn的通项公式是bn2n.你还有其他解决方法吗？(2)设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.法2：由b29=an得8n-6=58解得n=8.讲课人：邢启强7梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽，最低一级宽110，中间还有，中间还有10级，各级的宽度级，各级的宽度成等差数列成等差数列.计算中间各级的宽计算中间各级的宽.用用 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，解：解：由已知条件，有由已知条件，有由通项公式，得由通项公式，得代入解得代入解得d=7=7则则巩固练习巩固练习讲课人：邢启强8典型例题典型例题分析：只要根据等差数列的定义写出ap,aq,as,at,再利用已知条件即可得证。证明：设数列an的公差为d,则ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d.所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d.因为p+q=s+t,所以ap+aq=as+at.讲课人：邢启强9等差数列的基本性质等差数列的基本性质：在等差数列在等差数列an中，若中，若p+q=s+t，则，则ap+aq=as+at【说明说明】上面命题的逆命题上面命题的逆命题是不一定成立是不一定成立的；的；上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有相同数目相同数目的项，如的项，如a1+a2=a3？推广的通项公式推广的通项公式(n-m)d在等差数列在等差数列an中，若中，若m+n=2p，则，则 am+an=2ap总结结论总结结论讲课人：邢启强10例例4.在等差数列在等差数列an中中(1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+q；(3)若若a12=23，a42=143，an=263，求，求n.d=2,a101=154d=-1,ap+q=0d=4,n=72典型例题典型例题讲课人：邢启强11等等差差中中项项三个数成等差数列，可设这三个数为：三个数成等差数列，可设这三个数为：a、b b、c c成等差数列成等差数列,则则 _b与与a的等差中项是的等差中项是即即a、b的算术平均数的算术平均数.2b=a+ca,a+d,a+2d 或或a-d,a,a+d例例5(1)已知已知a,b,c成等差数列成等差数列,求证求证:ab-c2，ca-b2，bc-a2也成等差数列；也成等差数列；(2)三数成等差数列三数成等差数列,它们的和为它们的和为12,首尾二数的积为首尾二数的积为12,求此三数求此三数.典型例题典型例题讲课人：邢启强12例例6.在等差数列在等差数列an中中(1)a6+a9+a12+a15=20，则，则a1+a20=；(2)a3+a11=10，则，则a6+a7+a8=；(3)已知已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187,求求a14及公差及公差d.典型例题典型例题1017讲课人：邢启强13例7.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.典型例题典型例题讲课人：邢启强143005001.1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1，则则 a 等于（等于（)A.1 .1 B.-1 .-1 C.-.-D.A2.在数列在数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=.(-3a-5)-(a-6-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列在等差数列an中中a1=83，a4=98，则这个数列有，则这个数列有多少项在多少项在300到到500之间？之间？-35d=5,提示：提示：an=78+5nn=45，46，8440巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15四、小结： 等差数列的前等差数列的前n项和项和讲课人：邢启强21上一节刚学过等差数列，即满足 的数列就是等差数列2等差数列的通项公式是 ，其中d是等差数列的 an1andana1(n1)d公差复习引入复习引入讲课人：邢启强3某仓库堆放的一堆钢管(如图)，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管新知引入新知引入讲课人：邢启强41.公式推导公式推导问题：设等差数列问题：设等差数列 的首项为的首项为 ，公差为，公差为 ，新知引入新知引入两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得讲课人：邢启强5于是有：于是有：.这就是倒序相加法这就是倒序相加法.设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为sn an=a1+(n-1)d学习新知学习新知讲课人：邢启强6典型例题典型例题讲课人：邢启强7 已知数列an是等差数列，(1)若a11,an512,Sn1022,求公差d；(2)若a2a519，S540，求a10；(3)若S10310，S201220，求Sn.巩固练习巩固练习n=4,d=171a10=29Sn=3n2+n讲课人：邢启强9典型例题典型例题例2.已知一个等差数列an前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？求出Sn分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式Sn=na1+n(n-1)d后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。Sn=3n2n.讲课人：邢启强101624n=15an2n8典型例题典型例题讲课人：邢启强12典型例题典型例题已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=10,公差d=2,则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析：由a1 0和d0,可以证明an是递减数列，且存在正整数k,使得当n=k时，an 0,Sn递减，这样，就把求Sn的最大值转化为求an的所有正数项的和.讲课人：邢启强13 在等差数列an中,a125,S17S9,求Sn的最大值由题目可获取以下主要信息：an为等差数列a125，S17S9.解答本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an0，an10或利用性质求出大于或等于零的项巩固练习巩固练习讲课人：邢启强15讲课人：邢启强162.等差数列前n项和的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最 值；(2)若a10，d0，d0，则 是Sn的最 ；若a10，d0，则 是Sn的最 值负数小正数大a1小大a1学习新知学习新知讲课人：邢启强17课堂小结课堂小结2等差数列的前n项和公式的应用(1)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好(2)两个公式共涉及a1、d、n、an及Sn五个基本量，依据方程的思想，在五个基本量中要知道三个基本量可求其它基本量，这也就是我们所说的“知三求二”讲课人：邢启强1等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质讲课人：邢启强2设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d,末项为末项为an,前前n项和为项和为sn 【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫 ；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于 ；an为等差数列为等差数列 ，这是一个关于，这是一个关于 的的 没有没有 的的“”倒序相加法倒序相加法梯形的面积公式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（注意注意 a 还可以是还可以是 0）复习引入复习引入讲课人：邢启强3例1.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.典型例题典型例题分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列an.设数列an的前n项和为Sn，由题意可知，an是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项练习(课本第24页)某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金;第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元，你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？讲课人：邢启强4 在等差数列an中,a160,a1712,求数列|an|的前n项和由题目可获取以下主要信息：数列an为等差数列；a160，a1712，可求得公差d.解答本题可先分清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和典型例题典型例题感悟 本题为非常规等差数列求和解题的关键首先是确定数列an的前20项为负数，其次是当n20时，用SnS20表示从a21到an这些非负的项的和本题是此类问题的一个典型例题，类似问题都可以这样处理讲课人：邢启强5已知等差数列an中，S216，S424，求数列|an|的前n项和An.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强6典型例题典型例题讲课人：邢启强7巩固练习巩固练习讲课人：邢启强8讲课人：邢启强9变式练习变式练习讲课人：邢启强101若一个等差数列an的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()A13项 B12项 C11项 D10项A巩固练习巩固练习讲课人：邢启强113.在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=6,S8=20,求S16.典型例题典型例题72课本第23页练习讲课人：邢启强124.在等差数列an中，若S15=5(a2+a6+a1),求k.典型例题典型例题16课本第23页练习讲课人：邢启强135.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.典型例题典型例题an=29项数为19课本第23页练习讲课人：邢启强14典型例题典型例题讲课人：邢启强151.(1)已知数列an的前n项和Snn23n1，求通项公式an；(2)已知数列an的前n项和Sn(1)n1n，求通项公式an.巩固练习巩固练习讲课人：邢启强161数列an的前n项和Sn2n2n(nN*)，则数列an为()A.首项为1,公差为2的等差数列 B.首项为3,公差为2的等差数列C.首项为3,公差为4的等差数列 D.首项为5,公差为3的等差数列C2设等差数列an的前n项和为Sn.若S972,则a2a4a9_.巩固练习巩固练习解析:由等差数列的性质S99a572，a58，a2a4a9a1a5a93a524，故填24.答案:24讲课人：邢启强17等差数列前等差数列前n项和的性质项和的性质讲课人：邢启强2等差数列前等差数列前n项和公式的复习：项和公式的复习：1.设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1,公差为公差为d,末项为末项为an,前前n项和为项和为sn 二次函数 0 4.3.14.3.1复习引入复习引入讲课人：邢启强3复习引入复习引入讲课人：邢启强4已知数列an为等差数列，其前12项和354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，求这个数列的通项公式典型例题典型例题感悟 等差数列an中，a1，a3，a5，是首项为a1，公差为2d的等差数列，a2，a4，a6，是首项为a2，公差为2d的等差数列当项数为2n时，S偶S奇nd，讲课人：邢启强5巩固练习巩固练习讲课人：邢启强6例.一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10，求前110项之和.讲课人：邢启强7一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10，求前110项之和.讲课人：邢启强82.等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于()A12 B18 C24 D423.已知等差数列an的前n项和为Sn，若Sm1，S3m4，试求S6m.C解:Sm,S2mSm,S3mS2m成公差为d的等差数列设S2mSmx，则S3mS2m2x1巩固练习巩固练习讲课人：邢启强91等差数列an中，d2，an11，Sn35，则a1等于()A5或7B3或5C7或1 D3或1D2已知等差数列an，a150，d2，Sn0，则n等于()A51 B50C49 D48A3等差数列an的前n项和为Sn，若a3a1710，则S19的值为_95巩固练习巩固练习讲课人：邢启强104已知an