1、6.3.1 二项式定理 高二数学选择性必修 第三册 第六章 计数原理学习目标1.能用计数原理证明二项式定理;2.掌握二项式定理及其二项式展开式的通项公式;3.能解决与二项式定理有关的简单问题.4.核心素养:数学抽象、数学运算。一、回顾旧知组合数公式:(1)(2)(1);1.!mmnnmmAn nnn mCAm!()!2.mnnCm nm；01.nC我们规定：13:;mn mnnC C性质.211mnmnmnCCC性质二、探究新知1.我们知道,2)(222bababa.33)(32233babbaaba4(2).,()ab根据你发现的规律 你能写出的展开式吗？(1).观察以上展开式,分析其运算过
2、程,你能发现什么规律?(3).,()nab进一步地 你能写出的展开式吗？)()(2bababa2,()ab分析的展开过程.222baba)()(babbaabbabbaaa项共有212122CC)2,1,0(2kbakk的同类项个个数分析kkba2,0时当k22abakk个出现的次数相当于从22a,0)(02Cbba的组合数个中取出.12个只有即a,1时当kabbakk2个出现的次数相当于从2ab,1)(12Cbba的组合数个中取出.2个共有即ab,2时当k22bbakk个出现的次数相当于从22b,2)(22Cbba的组合数个中取出.12个只有即b二、探究新知)()(2bababa.)(222
3、122022bCabCaCba二、探究新知.222baba,0时当k22abakk个出现的次数相当于从22a,0)(02Cbba的组合数个中取出.12个只有即a,1时当kabbakk2个出现的次数相当于从2ab,1)(12Cbba的组合数个中取出.2个共有即ab,2时当k22bbakk个出现的次数相当于从22b,2)(22Cbba的组合数个中取出.12个只有即b的展开式吗？43)(,)(baba写出你能利用计数原理仿照上述过程,.)(3332232133033bCabCbaCaCba？思考:.)(44433422243144044bCabCbaCbaCaCba(a+b)n=?2.二项展开式定理
4、*C 110NnbbaCbaCaCbannnkknknnnnnn每个都不取b的情况有1种,即Cn0,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种,则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2 种,则an-2b2前的系数为Cn2.恰有k个取b的情况有Cnk 种,则an-kbk前的系数为Cnk.恰有n个取b的情况有Cnn 种,则bn前的系数为Cnn011(),nnnkn kknnnnnnC aC abC abaC bbnN.),2,1,0(叫做二项式系数其中各项的系数nkCkn1,kn kknkC abT叫做二展开式用通项式的表示 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式kknkn
5、kbaCT1项即通项为展开式的第1k2.二项展开式 .各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止各项中b的指数从0起依次增加1,到n为止如nnnkknnnnnxCxCxCxCCx2210)1(解:.)1(6的展开式求xx 三、巩固新知1.例1.,根据二项式定理616)()1(xxxx66651564246333624261516606xCxxCxxCxxCxxCxxCxC64224661520156xxxxxx2.例2.(1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;6212(2).xxx.求的展开式中的系数解:(1).(1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=C7317-3(2x)3 =35
6、23 x3 =280 x3所以第4项的系数是280.3537C2.例2.(1).求(1+2x)7的展开式的第4项的系数;6212(2).xxx.求的展开式中的系数解:612.(2)xx的展开式的通项是kkkxxC)1()2(66.2)1(366kkkkxC得根据题意,23k.1,k即的系数是因此2,x.1922)1(165C(1).求(1+2x)7的展开式的第4项的二项式的系数.注意:1).注意对二项式定理的灵活应用.2).注意区别二项式系数与项的系数的概念.二项式系数：Cnr 项的系数：二项式系数与数字系数的积 3).求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开.第4项的二项式系数，353
7、7C3.变式练习612).2.(xx求的展开式661212xxxx解63121xx61524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=(24256666(2)(2)CxCxC322360 12164192240160 xxxxxx=3.变式练习解:41(3).1x展 开4443342241441111111xCxCxCxCx43214641xxxx3.变式练习(4).求(x+a)12的展开式中的倒数第4项解:912 99399 112220.TC xax a(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项 是它的第10项3.变式练习1999219931()()()333rrrrrrrrrx
8、TCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791()322683TC解:933(5).xx求的展开式常数项所以，展开式的常数项为3.变式练习(6).(6).求 的展开式的中间两项 93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5,6项49 44354 193()()423xTTCxx2354596378)3()3(xxxCT3.变式练习4.例3.1917777则整除能否被试判断解:177771)176(7717676767677777677752777617777077CCCCC)767676(767677742777517776CCC整除，能被 1976.1917777整除能被.895555整除能被用二项式定理证明5.变式练习1.二项式定理：011()nnnrn rrnnnnnna bC aC abC abC b 2.通项：1,(0,1,2,)kn kkknTC abkn 3.二项式系数：rnC第(r+1)项4.特殊地：12211nkknnnnnnxC xC xC xC x （）012(11)nnnnnnCCCC 2n 注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念令以x=1得三.课堂小结：1).注意二项式定理中二项展开式的特征.2).区别二项式系数，项的系数。3).掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项。5.注 意：作业：课本P34 习题6.3 4、5题
