1、A组 自主命题北京卷题组,五年高考,考点一 等差数列的概念及运算,1.(2019北京理,10,5分)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小 值为 .,答案 0;-10,一题多解 设等差数列an的公差为d,易得S5= =5a3,S5=-10,a3=-2,又a2=-3,d=1, a5=a3+2d=0,(Sn)min=S4=S5=-10.,解析 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式;考查函数的思想方法;通过求最值考查 学生的运算求解能力.考查的核心素养是数学运算. 设等差数列an的公差为d,a2=-3,S5=-10, 即 得 a5=a1+4d=0,Sn
2、=na1+ d=-4n+ = (n2-9n)= - , nN*,n=4或5时,Sn取最小值,最小值为-10.,2.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为 .,答案 an=6n-3,解析 本题主要考查等差数列的通项公式. 设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,d=6,an=a1+(n-1)d=3+6(n- 1)=6n-3.,3.(2012北京,10,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1= ,S2=a3,则a2= ;Sn= .,答案 1; n(n+1),解析 S2=a3,a1+
3、a2=a3. an为等差数列, a1+a1+d=a1+2d, d=a1= , a2=a1+d= + =1,Sn=na1+ d= n(n+1).,4.(2019北京文,16,13分)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)记an的前n项和为Sn,求Sn的最小值.,解析 本题属等差、等比数列的综合运用,重在考查等差、等比数列的基础知识、基本运算, 考查的学科素养为数学抽象与数学运算. (1)设an的公差为d. 因为a1=-10, 所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d. 因为a2+10,a3+8,a4+6成
4、等比数列, 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6). 所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,an=2n-12. 所以,当n7时,an0;当n6时,an0. 所以,Sn的最小值为S6=-30.,5.(2018北京文,15,13分)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式; (2)求 + + .,解析 (1)设an的公差为d. 因为a2+a3=5ln 2,所以2a1+3d=5ln 2. 又a1=ln 2,所以d=ln 2. 所以an=a1+(n-1)d=nln 2. (
5、2)因为 =eln 2=2, = =eln 2=2, 所以 是首项为2,公比为2的等比数列. 所以 + + =2 =2(2n-1).,6.(2015北京文,16,13分)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2. (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a4-a3=2,所以d=2. 又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,). (2)设等比数列bn的公比为q. 因为b2=a3=8,b3=a7=16,所
6、以q=2,b1=4. 所以b6=426-1=128. 由128=2n+2得n=63. 所以b6与数列an的第63项相等.,思路分析 (1)由已知可求得a1和公差d,即可求an的通项公式. (2)由已知求得b2,b3,进而求得bn的首项和公比q,即得b6的值,再由an=b6列方程求得n.,考点二 等差数列的性质,1.(2015北京,6,5分)设an是等差数列.下列结论中正确的是 ( ) A.若a1+a20,则a2+a30 B.若a1+a3 D.若a10,答案 C 因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3. 当a2a10时,公差d0,a30,a1+a32 , 2a22 ,即a2 ,故选C.,思路
7、分析 根据等差中项的概念,结合基本不等式判断,可知选C.,2.(2014北京,12,5分)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,则当n= 时,an的前n项 和最大.,答案 8,解析 根据题意知a7+a8+a9=3a80,即a80. 又a8+a9=a7+a100,a90,当n=8时,an的前n项和最大.,思路分析 先利用已知和等差中项得a80,再利用等差数列的性质得a90,从而得出结论.,B组 统一命题省(区、市)卷题组,考点一 等差数列的概念及运算,1.(2019课标全国理,9,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ( ) A.an=2n-5 B.a
8、n=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn= n2-2n,答案 A 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生的运算求解能力;考查的核 心素养是数学运算. 设an的公差为d,依题意得,4a1+ d=0,a1+4d=5, 联立,解得a1=-3,d=2.所以an=2n-5,Sn=n2-4n.故选A.,解后反思 解数列选择题,可以用逐项检验法、排除法或赋值法等“快速”解法.本题若用 逐项检验法去验证S4和a5,就会发现无法排除错误选项.因此,还是要从通用方法入手.,2.(2018课标,4,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5= ( ) A.-12
9、 B.-10 C.10 D.12,答案 B 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=- a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=- 10,故选B.,3.(2017课标,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的 和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8,答案 A 本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式. 设等差数列an的公差为d,依题意得 =a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a 1=1,S
10、6=61+ (-2)=-24.故选A.,4.(2016课标全国,3,5分)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100= ( ) A.100 B.99 C.98 D.97,答案 C 设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 解得 an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C.,评析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式.,5.(2015课标,7,5分)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和.若S8=4S4,则a10= ( ) A. B. C.10 D.12,答案 B 由S8=4S4得8a1+ 1=4 ,解得a1= ,a10=a1
11、+9d= ,故选B.,评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.,6.(2019课标全国理,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和,若a10,a2=3a1,则 = .,答案 4,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和 运算求解能力;考查了数学运算的核心素养. 设等差数列an的公差为d,a2=3a1, a2=a1+d=3a1,d=2a1, S10=10a1+ d=100a1, S5=5a1+ d=25a1, 又a10, =4.,7.(2019江苏,8,5分)已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a
12、8=0,S9=27,则S8的 值是 .,答案 16,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式,考查学生的运算求解能力,同时考查数 列基础知识的应用能力. 设数列an的公差为d, 则 解得a1=-5,d=2,所以S8=8(-5)+ 2=16.,一题多解 数列an是等差数列,S9= =9a5=27,a5=3,由3a2+a8=0,得3(a5-3d)+a5+3d =0,即12-6d=0,d=2, S8= =4(a4+a5)=4(a5-d+a5)=16.,8.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是 .,答案 20,解析 设等差数列
13、an的公差为d,则由题设可得 解得 从而a9=a1+8d=20.,评析 数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.,9.(2015浙江,10,6分)已知an是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1= ,d= .,答案 ;-1,解析 a2,a3,a7成等比数列, =a2a7,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d),解得d=- a1,2a1+a2=1,3 a1+d=1,由可得a1= ,d=-1.,10.(2019课标全国文,18,12分)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求an的通项公式; (2)若a10,求使
14、得Snan的n的取值范围.,解析 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式;考查学生对数列基础知识的掌握程度和 应用能力,主要考查数学运算的核心素养. (1)设an的公差为d. 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此an的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d,故an=(n-5)d,Sn= . 由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10. 所以n的取值范围是n|1n10,nN.,思路分析 (1)根据题意列出两个关于a1和d的方程,然后解得a1与d,从而得an的通项公式. (2)根据(1)中a1与
15、d的关系,利用等差数列的前n项和公式及通项公式,得出关于n的不等式,从而 得出n的取值范围.,11.(2019课标全国理,19,12分)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式.,解析 本题主要考查由递推关系证明数列为等比数列、等差数列以及求数列的通项公式,考 查了学生的逻辑推理、运算求解能力以及方程思想,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn), 即an+1+bn+1= (an+bn). 又
16、因为a1+b1=1,所以an+bn是首项为1,公比为 的等比数列. 由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为a1-b1=1,所以an-bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,an+bn= ,an-bn=2n-1. 所以an= (an+bn)+(an-bn)= +n- , bn= (an+bn)-(an-bn)= -n+ .,思路分析 (1)将两递推关系式左、右两边相加可得an+1+bn+1= (an+bn),从而证得数列an+bn 为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得an+1-bn+1=an-bn+2,从而证
17、得数列an-bn为等差 数列.(2)由(1)可求出an+bn,an-bn的通项公式,联立方程可解得an,bn.,解题关键 将两递推关系式相加、相减,从而证得数列为等差、等比数列是解决本题的关 键.,12.(2018课标全国,17,12分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解析 (1)设an的公差为d, 由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,13.
18、(2015重庆,16,13分)已知等差数列an满足a3=2,前3项和S3= . (1)求an的通项公式; (2)设等比数列bn满足b1=a1,b4=a15,求bn的前n项和Tn.,解析 (1)设an的公差为d,则由已知条件得 a1+2d=2,3a1+ d= , 化简得a1+2d=2,a1+d= ,解得a1=1,d= , 故通项公式为an=1+ ,即an= . (2)由(1)得b1=1,b4=a15= =8.设bn的公比为q,则q3= =8,从而q=2,故bn的前n项和 Tn= = =2n-1.,评析 本题考查等差、等比数列的基本量计算,考查运算求解能力.,14.(2015福建,17,12分)等
19、差数列an中,a2=4,a4+a7=15. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= +n,求b1+b2+b3+b10的值.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 由已知得 解得 所以an=a1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得bn=2n+n. 所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10) =(2+22+23+210)+(1+2+3+10) = + =(211-2)+55 =211+53=2 101.,评析 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力.,考点二 等差数列的性质,1.(2015课标,5,5分)设S
20、n是等差数列an的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5= ( ) A.5 B.7 C.9 D.11,答案 A an为等差数列,a1+a5=2a3, 由题意得3a3=3,则a3=1, S5= =5a3=5,故选A.,2.(2019课标全国文,14,5分)记Sn为等差数列an的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10= .,答案 100,解析 本题考查等差数列的性质和前n项和公式,考查学生的运算求解能力,考查数学运算的 核心素养. 设等差数列an的公差为d,则d= = =2, a1=a3-2d=5-4=1. S10=10+ 2=100.,失分警示 对等差数列前n项和公式记忆不清,从而导致出错
21、.,3.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .,答案 5,解析 设该数列的首项为a1,根据等差数列的性质可得a1+2 015=21 010,从而a1=5.,4.(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .,答案 10,解析 利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=5,所以a2+a8 =2a5=10.,5.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是
22、an和an +1的等比中项. (1)设cn= - ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求证: .,证明 (1)由题意得 =anan+1,有cn= - =an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2, 所以cn是等差数列. (2)Tn=(- + )+(- + )+(- + ) =2d(a2+a4+a2n) =2d =2d2n(n+1). 所以 = = = .,评析 本题主要考查等差数列及其前n项和公式、等比中项等基础知识.考查数列求和的基本 方法、推理论证能力和运算求解能力.,C组 教师专用
23、题组,考点一 等差数列的概念及运算,1.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,n N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积, 则 ( ),A.Sn是等差数列 B. 是等差数列 C.dn是等差数列 D. 是等差数列,答案 A 不妨设该锐角的顶点为C,A1CB1=,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、An顺次排列,设 |AnAn+1|=b,|BnBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDnCBn
24、于Dn,则|AnDn|=a+(n-1)bsin ,于是Sn= |BnBn+1| |AnDn|= ca+(n-1)bsin = bcsin n+ (a-b)csin ,易知Sn是关于n的一次函数,所以Sn成等 差数列.故选A.,2.(2015浙江,3,5分)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则 ( ) A.a1d0,dS40 B.a1d0,dS40,答案 B 由 =a3a8,得(a1+2d)(a1+7d)=(a1+3d)2,整理得d(5d+3a1)=0,又d0,a1=- d,则a1d=- d20,又S4=4a1+6d=- d,dS4=- d20,故选
25、B.,3.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=( ) A.-1 B.0 C.1 D.6,答案 B 设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故选B.,4.(2014福建,3,5分)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14,答案 C S3= =3a2=12,a2=4. a1=2,d=a2-a1=4-2=2. a6=a1+5d=12.故选C.,5.(2013课标全国,17,12分)已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且
26、a1,a11,a13成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)求a1+a4+a7+a3n-2.,解析 (1)设an的公差为d. 由题意得, =a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d). 于是d(2a1+25d)=0. 又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2. 故an=-2n+27. (2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2. 由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.从而Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=- 3n2+28n.,考点二 等差数列的性质,1.(2013课标,7,5分)设等差数列an的前n项和为Sn,
27、若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 C Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,公差d=am+1-am=1,由Sn=na1+ d=na1+ , 得 由得a1= ,代入可得m=5.,思路分析 由am=Sm-Sm-1,am+1=Sm+1-Sm及d=am+1-am求得d,利用等差数列前n项和公式列方程组求解.,一题多解 数列an为等差数列,且前n项和为Sn, 数列 也为等差数列. + = ,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.,2.(2013课标,16,5分)等差数列
28、an的前n项和为Sn.已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为 .,答案 -49,解析 由Sn=na1+ d得 解得a1=-3,d= , 则Sn=-3n+ = (n2-10n), 所以nSn= (n3-10n2), 令f(x)= (x3-10x2)(xN*), 则 f (x)=x2- x=x , 当x 时, f(x)单调递减, 当x 时, f(x)单调递增,又6 7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nSn的最小值为-49.,思路分析 用a1,d表示S10,S15,求出a1,d,进而得Sn,从而得nSn= (n3-10n2),构造函数f(x)= (x3-10x2), 利用导数
29、研究函数单调性,从而求出nSn的最小值.,方法指导 构造函数f(x),利用函数的单调性来研究数列的单调性.,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,考点一 等差数列的概念及运算,1.(2019北京海淀一模,3)已知等差数列an满足4a3=3a2,则an中一定为零的项是 ( ) A.a6 B.a8 C.a10 D.a12,答案 A 设等差数列an的首项为a1,公差为d,4a3=3a2,4(a1+2d)=3(a1+d),a1=-5d,a6=a1 +5d=0,故选A.,2.(2019北京丰台期末,4)已知等差数列an中,a1=3,a2=6.若bn=a2n,则数列bn的前5项和等于 (
30、 ) A.30 B.45 C.90 D.186,答案 C 数列an的公差d=6-3=3,an=3+(n-1)3=3n,bn=a2n=6n,数列bn是以6为首项,6 为公差的等差数列,其前5项的和为S5=56+ 6=90.,3.(2019北京西城二模,13)能说明“设数列an的前n项和Sn,对于任意的nN*,若an+1an,则Sn+1 Sn”为假命题的一个等差数列是 .(写出数列的通项公式),答案 an=n-3(答案不唯一),解析 只需要满足a10即可,若an=n-3,此时Sn= n2- n,S1S2=S32,才满足Sn+1Sn.,方法总结 根据等差数列的通项公式、求和公式结合二次函数的单调性求
31、解.,4.(2019北京东城一模文,9)设an是等差数列,且a1=1,a1+a3=6,则数列an的通项公式为 .,答案 an=2n-1,解析 an是等差数列,且a1=1,a1+a3=6,a3=a1+2d=5,d=2,an=a1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.,5.(2018北京顺义二模,10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=-1,S10=35,则a20= .,答案 18,解析 a1=-1,S10=10a1+ d=35, d=1. a20=a1+19d=18.,6.(2018北京西城一模,10)设等差数列an的前n项和为Sn.若a1=2,S4=20,则a3= ,Sn=
32、.,答案 6;n2+n,解析 由a1=2,S4= =20,得a4=8. d= =2, a3=a4-d=8-2=6, an=2n, Sn= =n2+n.,7.(2017北京西城二模,10)已知等差数列an的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1= ;数 列an的前n项和Sn= .,答案 2;n2+n,解析 因为等差数列an的公差为2, 且a1,a2,a4成等比数列, 所以 =a1a4, 即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得a1=2,从而an=a1+(n-1)d=2n, 所以Sn= =n2+n.,8.(2017北京朝阳二模,16)已知数列an是首项a1= ,公比q= 的等比数列.设b
33、n=2lo an-1(nN *). (1)求证:数列bn为等差数列; (2)设cn=an+b2n,求数列cn的前n项和Tn.,解析 (1)证明:由已知得:an= = , 则bn=2lo -1=2n-1(nN*). 则bn+1-bn=2(n+1)-1-2n+1=2. 所以数列bn是以1为首项,2为公差的等差数列. (2)由(1)知,bn=2n-1,则b2n=4n-1, 则数列b2n是以3为首项,4为公差的等差数列. cn=an+b2n= +4n-1. 则Tn= + + +3+7+(4n-1), 即Tn= + , 即Tn=2n2+n+ - (nN*).,考点二 等差数列的性质,1.(2019北京朝
34、阳期末,9)已知数列an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1+a3=6,a4=7,则S5= .,答案 25,解析 根据题意得,2a2=6, a2=3,又a4=7, 2d=7-3=4, d=2,a1=1, S5=5a1+ d=5+20=25.,思路分析 根据等差中项的性质求出a2,结合a4求出公差以及首项,再利用等差数列前n项和公 式,直接代入求出结果.,2.(2017北京丰台一模,10)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a2=2,S9=9,则a8= .,答案 0,解析 S9= =9a5=9, a5=1, 又a2+a8=2a5=2,a2=2,a8=0.,3.(2018北京丰台一模,10)已
35、知数列an的前n项和Sn=n2+n,则a3+a4= .,答案 14,解析 解法一:当n=1时,a1=S1=12+1=2, 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2+(n-1)=2n. 当n=1时上式也成立,所以an=2n, 故a3+a4=6+8=14. 解法二:a3+a4=S4-S2=20-6=14.,4.(2018北京东城期末,11)已知an为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,a4+a6=4,则S5= .,答案 20,解析 a4+a6=4,a5=2, S5= =20.,5.(2019北京丰台一模文)已知an是公差不为0的等差数列,且满足a1=2,a1,a3,a7成等比数列
36、. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=an+ ,求数列bn的前n项和Sn.,解析 (1)设an的公差为d,因为a1,a3,a7成等比数列, 所以 =a1a7. 所以 =a1(a1+6d). 所以4d2-2a1d=0. 由d0,a1=2得d=1, 所以 an=n+1. (2)由(1)知,bn=an+ =n+1+2n+1, 所以 Sn=2+3+4+(n+1)+(22+23+24+2n+1) = + =2n+2+ .,6.(2019北京朝阳二模文,15)在等差数列an中,已知a1+a3=12,a2+a4=18,nN*. (1)求数列an的通项公式; (2)求a3+a6+a9+a3n.,解析
37、 (1)因为an是等差数列,a1+a3=12,a2+a4=18, 所以 解得d=3,a1=3. 则an=3+(n-1)3=3n,nN*. (7分) (2)a3,a6,a9,a3n构成首项为a3=9,公差为9的等差数列. 则a3+a6+a9+a3n=9n+ n(n-1)9= (n2+n). (13分),思路分析 (1)由题意得关于基本量首项a1与公差d的两个方程,解方程后可得通项公式. (2)结合(1)中所求,可知数列a3n是首项为a3与公差为3d的等差数列,运用等差数列的求和公式 可求解.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 时间:60分钟 分值:90分 一、选择题(共5分),1.(
38、2018北京朝阳二模,8)若三个非零且互不相等的实数x1,x2,x3成等差数列且满足 + = ,则 称x1,x2,x3成一个“等差数列”.已知集合M=x|x|100,xZ,则由M中的三个元素组成的所 有数列中,“等差数列”的个数为 ( ) A.25 B.50 C.51 D.100,答案 B 设等差数列x1,x2,x3的公差为d, 由 + = 得 + = , 整理得d(3x2-d)=0, d0,d=3x2, x1=-2x2,x3=4x2,故这三个数为-2x2,x2,4x2, x1,x2,x3-100,0)(0,100,x1,x2,x3Z, -25x225,即x2有50个(除去0). 故“等差数列
39、”有50个.故选B.,二、填空题(每小题5分,共20分) 2.(2018北京西城二模,12)设等差数列an的前n项和为Sn.若a1=1,S2S3,则数列an的通项公式 可以是 .,答案 an=-n+2(答案不唯一),解析 S2S3,S3-S20,即a30. 当a3=-1时,公差d= =-1, an=-n+2.(答案不唯一),3.(2017北京东城一模,11)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若S3=12,a2+a4=4,则S6= .,答案 6,解析 由题意知 S6=66+ (-2)=6.,4.(2019北京朝阳一模,13)天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所.天坛公园中 的圜丘坛
40、共有三层(如图1所示),上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面 形石铺成(如图2所示).上层坛从第一环至第九环共有九环,中层坛从第十环至第十八环共有九 环,下层坛从第十九环至第二十七环共有九环;第一环的扇面形石有9块,从第二环起,每环的扇 面形石块数比前一环多9块,则第二十七环的扇面形石块数是 ;上、中、下三层坛所 有的扇面形石块数是 . 图1 图2,答案 243;3 402,解析 设第n环的扇面形石块数是an, 由题意知,从第二环起,每环的扇面形石块数比前一环多9块,第一环的扇面形石有9块,所以每 环的扇面形石块数是一个首项为9,公差为9的等差数列, 所以通项公式为an=a1
41、+(n-1)d=9+9(n-1)=9n, 所以a27=927=243. 因为前n项和Sn= , 所以前27项和为S27= = =3 402.,5.(2017北京朝阳一模,11)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若S6=51,a1+a9=26,则数列an的 公差d= ,通项公式为an= .,答案 3;3n-2,解析 由题意知 an=1+3(n-1)=3n-2.,三、解答题(共65分) 6.(2019北京延庆一模文,15)已知等差数列an满足a1+a2=6,a2+a3=10. (1)求数列an的通项公式; (2)设数列bn= ,求数列bn的前n项和Sn.,解析 (1)设数列an的公差为d, 因
42、为a1+a2=6,a2+a3=10,所以a3-a1=4, 所以2d=4,即d=2. (3分) 又a1+a1+d=6,所以a1=2, (4分) 所以an=a1+(n-1)d=2n. (6分) (2)因为an=2n,所以bn=22(n+1)=4n+1, (7分) 所以 = =4,b1=42=16, 所以bn是首项为16,公比为4的等比数列, (10分) 其前n项和Sn= = . (13分),7.(2019北京海淀一模文,15)已知等差数列an的公差d=2,且a2+a5=2,an的前n项和为Sn. (1)求an的通项公式; (2)若Sm,a9,a15成等比数列,求m的值.,解析 (1)因为a5+a2
43、=2,d=2, 所以2a1+5d=2a1+10=2,所以a1=-4,所以an=2n-6. (2)因为an=2n-6, 所以Sm= =m2-5m,a9=12,a15=24, 因为Sm,a9,a15成等比数列, 所以 =Sma15,所以m2-5m-6=0, 解得m=6或m=-1, 因为mN*,所以m=6.,8.(2018北京西城一模,15)设等差数列an的公差不为0,a2=1,且a2,a3,a6成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)设数列an的前n项和为Sn,求使Sn35成立的n的最小值.,解析 (1)设等差数列an的公差为d,d0. 因为a2,a3,a6成等比数列,所以 =a2a6, (
44、2分) 即(1+d)2=1+4d, (4分) 解得d=2或d=0(舍去). (6分) 所以an的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3. (8分) (2)因为an=2n-3,所以a1=-1, 所以Sn= =n2-2n. (10分) 依题意有n2-2n35,又nN*,所以n7. (12分) 所以使Sn35成立的n的最小值为8. (13分),9.(2017北京丰台一模,16)已知an是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17. (1)求证:数列bn是以-2为公差的等差数列; (2)设数列bn的前n项和为Sn,求Sn的最大值.,解析 (1)证明:设等比数列an的公
45、比为q, 则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2 =log2q, 因此数列bn是等差数列. 又b11=log2a11=3,b4=17, 所以等差数列bn的公差d= =-2, 所以数列bn是以-2为公差的等差数列. (2)由(1)知bn=25-2n,b1=23, 则Sn= = =(24-n)n=-(n-12)2+144, 于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.,解后反思 本题考查了等差和等比数列的定义及等差数列的前n项和公式,数列是特殊的函 数,用函数的观点解决数列问题时要注意nN*.,10.(2019北京东城二模文,15)设数列an满足:a1=1,an+1+2an
46、=0. (1)求an的通项公式及前n项和Sn; (2)若等差数列bn满足b1=a4,b2=a2-a3,问:b37与an的第几项相等?,解析 (1)依题意,数列an满足:a1=1,an+1=-2an, 所以an是首项为1,公比为-2的等比数列, 则an的通项公式为an=(-2)n-1, 前n项和Sn= = . (7分) (2)由(1)可知,b1=-8,b2=-6, 因为bn为等差数列,所以d=b2-b1=2. 所以b2的通项公式为bn=2n-10. 所以b37=237-10=64. 令64=(-2)n-1,解得n=7. 所以b37与数列an的第7项相等. (13分),C组 20172019年高考
47、模拟应用创新题组,1.(2019北京门头沟一模,20)给定数列an,若满足a1=a(a0且a1),对于任意的n,mN*,都有am+ n=anam,则称数列an为“指数型数列”. (1)已知数列an,bn的通项公式分别为an=53n-1,bn=4n,试判断数列an,bn是不是“指数型数 列”; (2)已知数列an满足a1= ,an=2anan+1+3an+1(nN*),判断数列 是不是“指数型数列”.若 是,请给出证明,若不是,请说明理由; (3)若数列an是“指数型数列”,且a1= (aN*),证明数列an中任意三项都不能构成等差 数列.,解析 (1)anam=253n+m-2= (53n+m-1)
