1、本章主要内容本章主要内容冲量与冲量与动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律质心运动定理质心运动定理 火箭飞行原理火箭飞行原理质点的角动量和角动量质点的角动量和角动量 定理定理 角动量守恒定律角动量守恒定律第三章第三章 动量与角动量动量与角动量动量动量和和角动量角动量不仅是经典力学，也是物理学中十不仅是经典力学，也是物理学中十分重要的物理量，因为与它们相联系的分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律守恒定律是自是自然界然界普遍普遍遵循的基本规律。遵循的基本规律。动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律经典力学经典力学 牛顿运动定律牛顿运动定律量子力学量子力学相对论力学相对论力学
2、 牛顿运动定律牛顿运动定律前言前言我们往往只关心过程中力的效果我们往往只关心过程中力的效果力对时间和空间的积累效应。力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累力在时间上的积累效应：效应：平动平动冲量冲量动量的改变动量的改变转动转动冲量矩冲量矩角动量的改变角动量的改变力在空间上的积累力在空间上的积累效应效应功功改变能量改变能量 牛顿定律是瞬时的规律。牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，在有些问题中，如：碰撞（宏观）、如：碰撞（宏观）、（微观）（微观）散射散射000pppddtFppt瞬时式瞬时式vmp 力的作用可以使动量变化。力的作用可以使动量变化。dtpdFpddtF 力对时间的积累等于动量增
3、量。力对时间的积累等于动量增量。tdtFI0力力 对时间间隔对时间间隔 0 t t 的的为为F（对（对dt）00ppdtFItpddtF或或1.1.冲量与动量定理冲量与动量定理 关于关于Fx(t)txFt物体受到冲击，动量会明显改变。冲击物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过程持续一般时间很短，因此冲击中物体受过程持续一般时间很短，因此冲击中物体受力力冲力具有冲力具有作用时间短作用时间短、量值大量值大的特点，的特点，通常是通常是变变力。力。：dttFtFtttxx)(1tFIxx冲量可表为冲量可表为说明：说明：冲量是矢量，是冲量是矢量，是。平均冲力平均冲力tptttFFtt 1221d 例例已知
4、：已知：一篮球质量一篮球质量m=0.58kg，求：求：篮球对地的平均冲力篮球对地的平均冲力F解：解：篮球到达地面的速率篮球到达地面的速率m/s26.6280.922 ghvN1082.3019.026.658.0222 tmFv从从h=2.0m的高度下落，的高度下落，到达地面后，到达地面后，接触地面时间接触地面时间 t=0.019s。FFto t速率反弹，速率反弹，以同样以同样例题、一质量为例题、一质量为10千克的质点，在变力千克的质点，在变力F=3+2t（SI）作）作用下由静止开始作直线运动。试求：在用下由静止开始作直线运动。试求：在t=3秒时质点的运秒时质点的运动速度。动速度。解：根据动量
5、定理，先计算解：根据动量定理，先计算0到到3秒内的冲量秒内的冲量)(18|)3()23(3023021NSttdttdtFIttxxsmvvPIxx/8.101018得：由：多个质点组成的系统。多个质点组成的系统。（质点的集合）（质点的集合）iiiiitijjiitippdtfdtF00,0相加相加NiiiNiivmpp11每个质点动量的矢量和。即每个质点动量的矢量和。即 设第设第 i 个质点受个质点受为为 ，受质点系其他质点的合力，受质点系其他质点的合力，即即为为 iFijjif,对第对第 i 个质点应用动量定理：个质点应用动量定理：00,iitijjiippdtfFNiiiiiiiffff
6、f,1,1,2,1,2.2.质点系的动量定理质点系的动量定理000,0ppppdtfdtFiiiitiijjitii0,iijjif对任选的一对质点对任选的一对质点II ,Iji0III,III,ff00ppdtFtii：（积分形式）（积分形式）微分形式：微分形式：pddtFii)(dtpdFii 或或定理表述：定理表述：合合力的冲量等于质点系力的冲量等于质点系动量的增量。动量的增量。系统总动量系统总动量的冲量决定，与的冲量决定，与。用质点系动量定理处理问题可用质点系动量定理处理问题可。一辆运煤车以速率一辆运煤车以速率 v 从上方高从上方高 h 处的煤斗下面通过，煤从煤处的煤斗下面通过，煤从煤
7、斗中以恒定的速率斗中以恒定的速率 b=dm/dt 装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩擦系数为擦系数为，t 时刻车箱和所载煤的质量为时刻车箱和所载煤的质量为M，如果保持车的速率不变，应如果保持车的速率不变，应以多大的牵引力拉车厢？以多大的牵引力拉车厢？：以：以M和和dt时间里落到车厢时间里落到车厢的煤粒的煤粒dm为质点系。为质点系。FvbMvdvvdmMdpdtNFx)()(水平方向运用动量定理：水平方向运用动量定理：ghdmdpdtgdmMNy20)(铅直铅直方向方向:略去二阶无穷小量：略去二阶无穷小量：vdmMdvdtNF)(ghdmdtMgN2
8、)(gdmM)(NNdm解得解得bvghbMgF2bvghbMgF2克服车厢和其克服车厢和其中的煤的重量中的煤的重量引起的摩擦力引起的摩擦力克服落下煤粒克服落下煤粒对车厢冲力对车厢冲力引起的摩擦力引起的摩擦力将下落煤获将下落煤获得水平动量得水平动量所需牵引力所需牵引力FvbgdmM)(NNdm解的意义：解的意义：0iiF如果质点系所受合外力为零如果质点系所受合外力为零考虑质点系的动量定理：考虑质点系的动量定理：dtpdFii0dtpd则有则有 ，NiiiNiivmpp11常矢量常矢量守恒守恒：当一个质点系所受的合外力为零时，：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。这一质点
9、系的总动量保持不变。说明：说明：守恒条件：合守恒条件：合为零。与内力无关。为零。与内力无关。冲击碰撞过程中，一般有冲击碰撞过程中，一般有 ，动量近似守恒。，动量近似守恒。Ff 内力改变各质点的动量，但总动量不变。内力改变各质点的动量，但总动量不变。动量守恒可以在动量守恒可以在单一方向单一方向上守恒。上守恒。iizizziiyiyyiixixxvmpFvmpFvmpF常量若常量若常量若 ,000 动量守恒定律仅在惯性系中成立。动量守恒定律仅在惯性系中成立。动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿牛顿定律而成立。定律而成立。微观粒子的实验（如电子转化
10、为光子）微观粒子的实验（如电子转化为光子）动量守恒定律的动量守恒定律的：一个在水平地面上的炮车发射炮弹，炮车的质量一个在水平地面上的炮车发射炮弹，炮车的质量m0，炮，炮筒的仰角为筒的仰角为，炮弹的质量为炮弹的质量为m，炮弹射出炮口时，相对于炮身的，炮弹射出炮口时，相对于炮身的速度为速度为 u。若不计地面摩擦，试求炮弹射出炮口时，炮车的速度。若不计地面摩擦，试求炮弹射出炮口时，炮车的速度。在在。系统外力有重力系统外力有重力G 和地面对炮车的支和地面对炮车的支持力持力N。这些力都沿竖直方向，即外。这些力都沿竖直方向，即外力在水平方向上投影为零，因此系力在水平方向上投影为零，因此系统在水平方向上动量
11、守恒。统在水平方向上动量守恒。设炮弹射出炮口时的速度相对于地面的投影为设炮弹射出炮口时的速度相对于地面的投影为 ，炮车速度，炮车速度在水平方向上的投影为在水平方向上的投影为 。，xxV由于炮车原来是静止的，故有：由于炮车原来是静止的，故有：00 xmvVmx由速度变换，得：由速度变换，得：xVuvcosx二式联立得：二式联立得：cos0ummmVx 如图所示，一如图所示，一带有带有四分之一四分之一圆弧、质量为圆弧、质量为M的滑块置于光滑桌的滑块置于光滑桌面上，圆弧半径为面上，圆弧半径为 R。今有一质量为。今有一质量为 m的小滑块从圆弧顶端沿圆弧面自由的小滑块从圆弧顶端沿圆弧面自由下滑，圆弧面的
12、摩擦力忽略不计。求当小滑块滑至圆弧底端时，大滑块相下滑，圆弧面的摩擦力忽略不计。求当小滑块滑至圆弧底端时，大滑块相对桌面移动的距离。对桌面移动的距离。：大小滑块在水平方向上不受：大小滑块在水平方向上不受外力，二者组成的质点系的水平动量外力，二者组成的质点系的水平动量守恒。守恒。0 xxMVmv0)(dtdXmMdtxdmRMmXdXmMxmd)(xRdXmMxdm00)(RmMmX)(M 运动方向运动方向与与 X 轴反向轴反向dtdXVdtxdvxxRMmXxRx 0)(xxxMVVvm质量中心。质量中心。1.1.质心的定义质心的定义iiiiiCiiiiiCiiiiiCmzmzmymymxmx
13、 ,质心的质心的位置矢量位置矢量表表示示为为设一设一质点系质点系中各质点中各质点m1,m2,mN 的的空间坐标空间坐标分别为分别为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(xN,yN,zN)。则质心。则质心 的坐标的坐标定义为定义为iiiiiCmrmr Cr C xzOy说明：说明：质心的位置由质点系质心的位置由质点系各质点的相对位置各质点的相对位置决定，决定，与与坐标原点的位置无关坐标原点的位置无关。对对质量连续质量连续的物体，质心位置可用积分式计算：的物体，质心位置可用积分式计算：dmzdmzdmydmydmxdmxCCC ,dmdmrrC 重力的着力点重力的着力点重心，就在物体的质心
14、上。重心，就在物体的质心上。质元质元dm视为质点视为质点 求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量分别为量分别为 M=5.98 1024 kg 和和 m=7.35 1022 kg，地球中心，地球中心与月球中心的距离为与月球中心的距离为 L=3.84105 km。km1072.43mMmLmMmxMxxmMC：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。地月系统的质心必定在它们的连线上。地月系统的质心必定在它们的连线上。选取坐标如图，选取坐标如图，原点在地球中心原点在地球中心。O xC：一段均匀铁丝弯成半径为
15、：一段均匀铁丝弯成半径为R R的半圆形，求的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。：选如图坐标系，取长为：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以，以表示表示线密度，线密度，dm=dl.分析得质心分析得质心应在应在y轴上。轴上。Rddl Ry mdlyycsin注意：质心不在铁丝上。注意：质心不在铁丝上。2021sin1 RmRdRmyc RyRmc2 2.2.质心运动定理质心运动定理iiiiiiiiirmdtddtrdmvmp代入质点系的动量定理，有代入质点系的动量定理，有考虑一考虑一质点系质点系，其总动量为，其总动量为dtpdFii CCiiivmdtrdm
16、mrmdtdmdtvdmC Cam 质心的运动如质心的运动如同一个在质心位置同一个在质心位置处的质点的运动，处的质点的运动，该质点集中了整个该质点集中了整个质点系的质量和所质点系的质量和所受的外力。受的外力。在质点在质点力学中所谓力学中所谓“物体物体”的运动，实际上是的运动，实际上是物体质心的运动。物体质心的运动。系统系统内力内力不会影响质心的运动，不会影响质心的运动，在光滑水平面上滑动在光滑水平面上滑动的扳手，的扳手，做跳马落地动作的运做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但动员尽管在翻转，但 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动但其质心仍在做抛物线运动其
17、质心仍做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：例如：其质心做匀其质心做匀速直线运动速直线运动质心的定义质心的定义iiiiimrmcryoxz质点系质点系imiriiiiimmccrctrccddtaccddiiiiicmamadmdmrrC 一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，下一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，下端刚与地面接触。此时放开绳子，从静止状态开始下落。已端刚与地面接触。此时放开绳子，从静止状态开始下落。已知绳子质量为知绳子质量为m，长为，长为l，求下落到所剩长度为，求下落到所剩长度为z时，地面对时，地面对这段绳子的作用力这段绳子的作用力.：把绳子看作一质点系。当
18、绳子下落把绳子看作一质点系。当绳子下落到所剩长度为到所剩长度为z时，其质心高度和速度时，其质心高度和速度分别为分别为lzzdlmzmzzc2120 所谓完全柔软的绳子所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt与一个质点自由下落的速度相同，即与一个质点自由下落的速度相同，即z zOz zzl lzvdtdzlzdtdzvcc gdtdvzlgv 2由此可得质心加速度为由此可得质心加速度为lzggdtdvlzlvlzvdtddtdvacc322 设地板对上段绳子的作用力为设地板对上段绳子的作用力为F F，对整根绳子应用质心，对整根绳子应用质心运动定理，则有运
19、动定理，则有cmamgFlzmgagmFc13忽略二级小量，并考虑忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为内落地绳子的长度为-vdt，可得，可得lzmglmvdtlmvdtvdtdmvF12121加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为lzmgglmzlFF131 vdmdtgdmF 1 绳子上端的下落速度为绳子上端的下落速度为 ，而紧靠地面，而紧靠地面的质元的质元dm与地面相碰时其动量由与地面相碰时其动量由vdm变为零变为零.故若设该质元受故若设该质元受到的支持力为到的支持力为 ，根据质点动量定理有，根据质点动量定理有zlgv21
20、F火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。冲动力。由由动量守恒定律动量守恒定律dmdvudmMdvMvuvdmdvvdmMMv )()(设设M为火箭在为火箭在 t 时刻的总质量，时刻的总质量，dt 时间喷出时间喷出dm质量的燃料，质量的燃料，相对火箭以相对火箭以u的速度喷射。的速度喷射。xMvdmM dmv+dvt 时刻时刻t+dt 时刻时刻0udmMdv0udMMdv dMdmt 时刻时刻总动量总动量t+dt 时刻时刻总动量总动量m/s10815m/s103301103vvMMuMdMudv 0udMMdv1001lnMMu
21、vv1010MMvvMdMudv积分积分火箭受燃料的反冲力为火箭受燃料的反冲力为dtdmuF N104kg/s104.1m/s103743Fdtdmu：火箭在燃烧后所火箭在燃烧后所正比于相对喷射速度正比于相对喷射速度u 和火箭的始末质量比和火箭的始末质量比(M0/M1)的自然对数。的自然对数。火箭通过喷射燃料获得的火箭通过喷射燃料获得的正比正比u于和于和dm/dt。t+dt时刻：时刻：速度速度 v-u，动量动量dm(v-u)由由动量定理动量定理，dt内喷出气体所受冲量内喷出气体所受冲量 火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究对象：研究对象：喷出气体喷出气体 dmt 时刻：时刻：速度速度v(和主体
22、速度相同和主体速度相同)，动量动量 vdm F箭对气箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为由此得火箭所受燃气的反推力为tmuFFdd 气气对对箭箭引入引入角动量角动量的的：和动量一样，角动量服从：和动量一样，角动量服从守恒定律守恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。因此它是力学中最重要的物理量之一。prLrLpOm1.1.质点的角动量质点的角动量 角动量的角动量的：（）设一质点具有动量设一质点具有动量 ，由惯性系中某一固定点，由惯性系中某一固定点O指向指向它的位置矢量为它的位置矢量为 ，则该质点，则该质点O 为为prLsinrpL L的大小：的
23、大小：的方向：垂直于的方向：垂直于 和和 构成的平面。构成的平面。Lrp右手螺旋法则右手螺旋法则矢量的叉乘矢量的叉乘(矢量积矢量积)在物理中常有两个矢量相互作用，呈现出某些特殊效在物理中常有两个矢量相互作用，呈现出某些特殊效应，例如动量矩、力矩及运动电荷伴存的磁场等。叉乘是应，例如动量矩、力矩及运动电荷伴存的磁场等。叉乘是描述这类效应的矢量运算。叉乘用描述这类效应的矢量运算。叉乘用 表示，其积为矢量，表示，其积为矢量，所以叫矢量积。所以叫矢量积。若若 是交角为是交角为 的两个矢量，则叉乘定义为的两个矢量，则叉乘定义为ba,nebabasinne是由叉乘符号规定的，是由叉乘符号规定的，两矢量所在
24、平面两矢量所在平面的右手系法线方向的单位矢量的右手系法线方向的单位矢量.ba,右手系：将右手拇指伸直，其余四指并拢指向右手系：将右手拇指伸直，其余四指并拢指向的方向，并沿的方向，并沿 的计算方向弯向的计算方向弯向 ，拇指所指的方向就是拇指所指的方向就是 的方向。的方向。a)180(bneabne叉乘的运算规则叉乘的运算规则1)叉乘的反交换律叉乘的反交换律)(abba2)叉乘与数乘的结合律叉乘与数乘的结合律)()()(bababa3)叉乘的分配律叉乘的分配律cabacba)(4)叉乘可得叉乘可得 同向和反向同向和反向(平行平行)的充分必要条件的充分必要条件ba,0 aa0ba且直角坐标系中的叉乘
25、运算直角坐标系中的叉乘运算jikikjkji0kkjjii,若若kjibaba)()()(,bababababaabbbaaaxyyxxzzxyzzyzyxzyxb则bbbaaazyxzyxkjiba按行列式展开按行列式展开易记易记 角动量是角动量是矢量矢量。圆周运动的质点对圆圆周运动的质点对圆心的角动量：心的角动量：mvrL bmvL00 粒子散射实验中，粒子散射实验中，粒子粒子对固定的重原子核的角动量：对固定的重原子核的角动量：vrL 角动量的分量式角动量的分量式：xyzzxyyzxypxpLxpzpLzpypL )(kzj yi xrLrvO0v0rLbOrMFOm2.2.质点的角动量定
26、理质点的角动量定理 力矩力矩的定义的定义 （）FrM设设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量为矢量为 ，则该质点，则该质点O 为为rMFdrFMsinM的大小：的大小：d 角动量定理角动量定理 （）考虑角动量的变化率：考虑角动量的变化率：dtpdrpdtrdprdtddtLd)(FrdtpdrdtLdM：质点所受质点所受合外力矩合外力矩等于它的等于它的角动量角动量对对时间的变化率，即时间的变化率，即 利用抛体运动的速度方程证明利用抛体运动的速度方程证明角动量定理。角动量定理。dtLdM注意注意：合外力矩和角动量是对某：合外力矩和角动量是对某
27、惯性系中惯性系中同一固定点同一固定点的。的。xyxyzyvgtvxmyvxvmL00)()(gtvvvvyyxx00：速度方程为：速度方程为yOxrgmxyzvdtdygxvdtdxmdtdL0)(sinmgrmgxzM：质点所受合外力矩等于它的角质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即动量对时间的变化率，即dtLdM：合外力矩和角动量是对某惯性系：合外力矩和角动量是对某惯性系 中中同一固定点同一固定点的。的。：。只有当质点不受外力。只有当质点不受外力（做匀速直线运动）时，对（做匀速直线运动）时，对任何点任何点角动量守恒。角动量守恒。：如果对于某一如果对于某一，质点所受，质点所受的合外
28、力矩为零，则此质点对的合外力矩为零，则此质点对的角动量保持不变。的角动量保持不变。由角动量定理由角动量定理 ，可知：，可知：dtLdM当外力矩为零当外力矩为零 时，时，于是，于是0M0dtLd常矢量L 如果质点受力与矢量如果质点受力与矢量 平行或反平行，力矩必为平行或反平行，力矩必为零，则对该点角动量守恒。零，则对该点角动量守恒。r如：如：有心力场有心力场3.3.角动量守恒定律角动量守恒定律 试证明试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同第二定律：行星对太阳的位矢在相同的时间里扫过的面积相等。的时间里扫过的面积相等。：由于行星受力总是指向恒星（即为有心力）：由于行星受力总是指向恒星（
29、即为有心力）Fr/dtdSmdtrdrmdtrdmrdtrdmrrmvL2)2sin(2)sin(sin sin故故 ，角动量守恒。，角动量守恒。0MrvS常量mLdtdStS2sinrd 我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心中心O为该轨道的一个焦点（图）。已知地球的平均半径为该轨道的一个焦点（图）。已知地球的平均半径R=6378km，人造卫星距地面最近距离，人造卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离，最远距离l2=2384km。若人造卫星在近地点。若人造卫星在近地点A1的速度的速度v1=8.10km/s，求，求人造卫星在远地点
30、人造卫星在远地点A2的速度的速度。1111lRvmL 人造卫星在近地点人造卫星在近地点A1的角动量的角动量：运动过程中对运动过程中对O 点的角点的角动量守恒动量守恒 2222lRvmL 人造卫星在远地点人造卫星在远地点A2的角动量的角动量A2l2l1A1 222111lRvmlRvm 因为角动量守恒，所以因为角动量守恒，所以1212vlRlRv 将将R、l1、l2和各值代入，得和各值代入，得skmv/30.62 于是于是质点系的总角动量质点系的总角动量iiiiiprLL质点系对质点系对的的定义为：质点系的各质点对定义为：质点系的各质点对该该的角动量的矢量和，即的角动量的矢量和，即质点系的角动量
31、定理质点系的角动量定理dtLdFrMiii质点系的质点系的：质点系的各质点所受：质点系的各质点所受外外力矩力矩之和等于该质点系总角动量对时间的变化率，即之和等于该质点系总角动量对时间的变化率，即该定理可以由质点的角动量定理导出。该定理可以由质点的角动量定理导出。4.4.质点系的角动量定理与角动量守恒定律质点系的角动量定理与角动量守恒定律ijjiiiifFrdtLd,证明：对第证明：对第 i 个质点应用角动量定理个质点应用角动量定理相加相加iijjiiiiiiifrFrdtLd,iijjiiiiiiifrFrLdtd,0I,IIIIII,IIfrfr0 ,iijjiifriiiFriiiFrdt
32、LddtLdII,IfIIrI,IIfIrOIImImd内力矩之和为零内力矩之和为零守恒守恒质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律质点系的质点系的：如果质点系所受：如果质点系所受合外力合外力矩矩为零，则该质点系的为零，则该质点系的总角动量总角动量保持不变。保持不变。：质点系的角动量守恒定律比质点的更具普遍意义。质点系的角动量守恒定律比质点的更具普遍意义。与动量守恒定律一样，角动量守恒定律是自然界与动量守恒定律一样，角动量守恒定律是自然界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依赖于普遍遵循的守恒定律之一，它并不依赖于牛顿牛顿定定律而成立。律而成立。如果质点系所受如果质点系所受合外力为零合外力为零，
33、对，对任何固定点的角任何固定点的角动量都守恒。动量都守恒。常矢量L0dtLdiiiFrM0如果如果 ，两个质量都是两个质量都是 m 的小球由一长度的小球由一长度 a 的轻质硬杆连的轻质硬杆连结起来，结起来，静止于光滑的水平桌面静止于光滑的水平桌面，今有另一质量是，今有另一质量是m 的的 k 倍的倍的小球以速率小球以速率 v0，沿水平面内垂直于连杆的方向飞来，与杆上，沿水平面内垂直于连杆的方向飞来，与杆上其中一个小球发生碰撞后，粘在一起。求碰撞发生后它们的运其中一个小球发生碰撞后，粘在一起。求碰撞发生后它们的运动速度。动速度。：以三个：以三个小球组成质点系，质点小球组成质点系，质点系不受外力，动
34、量和角动量均守恒。系不受外力，动量和角动量均守恒。0vmmkmOx（2 2）（1 1）（3 3）210)1(mvkmvkmvx 方向动量守恒：方向动量守恒：对对O点的角动量守恒：点的角动量守恒：2)1(22210amvkamvakmvkkvvv1 0021，解得解得（2 2）（1 1）（3 3）0vmmkmOxABC00 )1(0120mvBamvkakmvA：对：对如对如对A、B点点讨论：讨论：角动量对其他点也守角动量对其他点也守恒（因合外力为零）。恒（因合外力为零）。210)1(mvkmvkmv动量守恒：动量守恒：)2(2)2(2)1(2)2()2(0033kkamkamkamykkxmk
35、kmxxCC质心质心平动平动+绕质心绕质心转动转动0dtdvC 有有 常量常量 如考虑质心运动，如考虑质心运动，xCCvv（2 2）（1 1）（3 3）0vmmkmOxABC00 )1(0120mvBamvkakmvA：对：对如对如对A、B点点讨论：讨论：角动量对其他点也守角动量对其他点也守恒（因合外力为零）。恒（因合外力为零）。210)1(mvkmvkmv动量守恒：动量守恒：kkvvxC22mCmk)1(动量定理动量定理 角动量定理角动量定理tLMtPFddddLtMPtFttttdd21210000LMPF21tttFPFd21tttMLMd力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩掌握动量，动量定理，系统的动量定理，动量守恒掌握动量，动量定理，系统的动量定理，动量守恒定律，并能熟练用来分析解决常见问题；定律，并能熟练用来分析解决常见问题；了解火箭飞行原理；理解质心概念和质心运动定律；掌握质点的角动量概念，角动量守恒定律，并能用掌握质点的角动量概念，角动量守恒定律，并能用来分析解决简单问题。来分析解决简单问题。
