1、欢迎你参加欢迎你参加初等数论初等数论的学习的学习 8/1/2022阜阳师范学院 数科院2绪绪 论论8/1/2022阜阳师范学院 数科院3一一 初等数论及其主要内容初等数论及其主要内容 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心，包括整除性、其初等部分是以整数的整除性为中心，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary elementary number theorynumber
2、 theory）。）。初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。8/1/2022阜阳师范学院 数科院4 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的德的几何原本几何原本（公元前（公元前3 3世纪）中就已出现。欧世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧
3、几里得算法。然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出贡献，现在一般数论我国古代在数论方面亦有杰出贡献，现在一般数论书中的书中的“中国剩余定理中国剩余定理”，正是我国古代，正是我国古代孙子算孙子算经经中的下卷第中的下卷第2626题，我国称之为孙子定理。题，我国称之为孙子定理。近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。朗日、勒让德和高斯等人的工作。18011801年，德国数年，德国数学家高斯集前人的大成，写了一本书叫做学家高斯集前人的大成，写了一本书叫做算术探算术探究究，开始了现代数论的新纪元。高斯还
4、提出：，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王数学是科学之王，数论是数学之王”。二二 数论的发展史数论的发展史8/1/2022阜阳师范学院 数科院5 由于自由于自2020世纪以来引进了抽象数学和高等分析的世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内都得到了学、密码学
5、、代数编码、计算方法等领域内都得到了 广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。8/1/2022阜阳师范学院 数科院6三三 几个著名数论难题几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理费尔马大定理 ；孪生素数问题；孪生素数问题 ；完
6、全数问题等。；完全数问题等。8/1/2022阜阳师范学院 数科院7 1742 1742年年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。发现的。17421742年年6 6月月7 7日，哥德巴赫写信给当时的大数日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉学家欧拉,正式提出了以下的猜想：正式提出了以下的猜想：一个大于一个大于6 6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。的偶数可以表示为不同的两个质数之和。陈景润在陈景润在19661966年证明了年证明了“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”的的“一一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素
7、数的乘积之和的乘积之和”所谓的所谓的1+21+2，是，是筛法筛法的光辉顶点，的光辉顶点，至今仍是至今仍是“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”的最好结果。的最好结果。1 1、哥德巴赫猜想：、哥德巴赫猜想：8/1/2022阜阳师范学院 数科院82 2、费尔马大定理：、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以律师，世人冠以“业余王子业余王子”之美称。在三百七十多之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥年前的某一天，费马正
8、在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。写下一个看起来很简单的定理。(3)nnnxyzn方方程程无无非非0 0整整数数解解 经过经过8 8年的努力，英国数学家年的努力，英国数学家 安德鲁安德鲁怀尔斯怀尔斯 终于在终于在19951995年完成了该定理的证明。年完成了该定理的证明。8/1/2022阜阳师范学院 数科院93 3、孪生素数问题、孪生素数问题 存在无穷多个素数存在无穷多个素数 p,使得使得 p+2+2 也是素数。也是素数。究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是究竟谁最早明确提出这
9、一猜想已无法考证，但是18491849年法国数学年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对提出猜想：对 于任何偶数于任何偶数 2k,存在无穷多组以存在无穷多组以2k为间隔的素数。为间隔的素数。对于对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。作为孪生素数猜想的提出者。不同不同的的 k 对应的素数对的命名也很有趣，对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们我们已经知道叫做孪生素数已经知道叫做孪生素数；k=2(即间隔为即间隔为4)4)的素数的素数对被称为对被称为 cou
10、sin prime ；而而 k=3(即间隔为即间隔为 6)6)的素数的素数对竟然被称为对竟然被称为 sexy prime(不过别想歪了，之所以称为不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因其实是因为为 sex 正好是拉丁文中的正好是拉丁文中的 6 6。)8/1/2022阜阳师范学院 数科院104 4、最完美的数、最完美的数完全数问题完全数问题 下一个具有同样性质的数是下一个具有同样性质的数是28,28=1+2+4+7+14.28,28=1+2+4+7+14.接着是接着是496496和和8128.8128.他们称这类数为完美数他们称这类数为完美数.欧几里德在大约公元前欧几里德在大约
11、公元前350-300350-300年间证明了年间证明了:注意以上谈到的完全数都是偶完全数注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然至今仍然不知道有没有奇完全数。不知道有没有奇完全数。完美数又称为完全数完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的徒发现的,他们注意到他们注意到,数数6 6有一个特性有一个特性,它等于它自它等于它自己的因子己的因子(不包括它自身不包括它自身)的和，的和，如：如：6=1+2+3.6=1+2+3.1212(21)nnn 若若是是素素数数，则则是是完完全全数数8/1/2022阜阳师范学院 数科院11四、我国古代数学的伟大成就四、我国古代数学的伟
12、大成就 公元前公元前100100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的著名的“勾三股四弦五勾三股四弦五”这是勾股定理的一个特例。这是勾股定理的一个特例。1 1、周髀算经、周髀算经2 2、孙子算经、孙子算经 约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的清楚。现在传本的孙子算经孙子算经共三卷。卷上叙述算共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法
13、和筹算开平方法。卷下第明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第3131题，可谓题，可谓是后世是后世“鸡兔同笼鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算鹤龟算”。8/1/2022阜阳师范学院 数科院12 具有重大意义的是卷下第具有重大意义的是卷下第2626题：今有物不知其数，题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？物几何？孙子算经孙子算经不但提供了答案，而且还给不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工
14、作，推广一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数物不知数”的的问题。德国数学家高斯问题。德国数学家高斯1777-18551777-1855于于18011801年出版年出版的的算术探究算术探究中明确地写出了上述定理。中明确地写出了上述定理。18521852年，年，英国基督教士伟烈亚士将英国基督教士伟烈亚士将孙子算经孙子算经中物不知数中物不知数问题的解法传到欧洲，问题的解法传到欧洲，18741874年马蒂生指出孙子的解年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为个定理称为“中国剩余定理中国剩余定理”。8/1/2022阜阳师范
15、学院 数科院13周髀算经周髀算经孙子算经孙子算经8/1/2022阜阳师范学院 数科院14 1983 1983年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉年在湖北省江陵县张家山，出土了一批西汉初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步初年，即吕后至文帝初年的竹简，共千余支。经初步整理，其中有律令、整理，其中有律令、脉书脉书、引书引书、历谱、日、历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫算数书算数书。算数书算数书是中国现已发现的最古的一部算书，是中国现
16、已发现的最古的一部算书，大约比现有传本的大约比现有传本的九章算术九章算术还要早近二百年，而还要早近二百年，而且且九章算术九章算术是传世抄本或刊书，是传世抄本或刊书，算数书算数书则是则是出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以出土的竹筒算书，属于更可珍贵的第一手资料，所以算数书算数书引起了国内外学者的广泛关注，目前正在引起了国内外学者的广泛关注，目前正在被深入研究之中。被深入研究之中。3 3、算数书、算数书8/1/2022阜阳师范学院 数科院15 数术记遗数术记遗相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家相传是汉末徐岳所作，亦有数学史家认为本书是北周甄鸾自著。认为本书是北周甄鸾自著。数术记遗数术记遗
17、把大数的名称按不同的涵义排列三个把大数的名称按不同的涵义排列三个不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明，不同的数列，另一部份是关于一个幻方的清楚的说明，它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中它成为数论中这一发现的最古的文字记载之一，书中至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的至少提到了四种算盘，因此它是谈到算盘的最古老的书籍。书籍。4 4、数术记遗、数术记遗8/1/2022阜阳师范学院 数科院16算数书算数书数术记遗数术记遗 中的算盘中的算盘8/1/2022阜阳师范学院 数科院17 根据研究，西汉的张苍根据研究，西汉的张苍 、耿寿昌曾经做过增补、耿寿昌曾经做过增补和整理，
18、其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，前期。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是就是“九章九章”。三国时期的刘徽为三国时期的刘徽为九章九章作注，加上自己心得作注，加上自己心得体会，使其便于了解，可以流传下来。体会，使其便于了解，可以流传下来。唐代的李淳风又重新做注唐代的李淳风又重新做注(656(656年年)，作为，作为算数算数十经十经之一，版刻印刷，作为通用教材。之一，版刻印刷，作为通用教材。5 5、九章算术、九章算术8/1/2022阜阳师范学院 数科院18 九章算术九章算术的出现，标志着我国古代数
19、学体系的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，当中有以下的一些特点：的正式确立，当中有以下的一些特点：1.1.是一个应用是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式；数学体系，全书表述为应用问题集的形式；2.2.以算法以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，为主要内容，全书以问、答、术构成，“术术”是主要是主要需阐述的内容；需阐述的内容；3.3.以算筹为工具。以算筹为工具。九章算术九章算术取得了多方面的数学成就，包括：取得了多方面的数学成就，包括：分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、分数运算、比例问题、双设法、一些面积、体积计算、一次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、一
20、次方程组解法、负数概念的引入及负数加减法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。开平方、开立方、一般二次方程解法等。九章算术九章算术的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自的思想方法对我国古代数学产生了巨大的影响。自隋唐之际，隋唐之际，九章算术九章算术已传入朝鲜、日本，现在更已传入朝鲜、日本，现在更被译成多种文字。被译成多种文字。8/1/2022阜阳师范学院 数科院196 6、海岛算经、海岛算经 海岛算经海岛算经由三国刘徽所着，最初是附于他所由三国刘徽所着，最初是附于他所注的注的九章算术九章算术（263263）之后，唐初开始单行，体）之后，唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。例亦是以
21、应用问题集的形式。全书共全书共9 9题，全是利用测量来计算高深广远的问题，全是利用测量来计算高深广远的问题，首题测算海岛的高、远，故得名。题，首题测算海岛的高、远，故得名。海岛算经海岛算经是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了是中国最早的一部测量数学事着，亦为地图学提供了数学基础。数学基础。8/1/2022阜阳师范学院 数科院208/1/2022阜阳师范学院 数科院217 7、算经十书、算经十书 唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学习数学，规定学生学习数学，规定周髀算经周髀算经、九章算术九章算术、孙子算经孙子算经、五曹算经五曹算经、夏侯
22、阳算经夏侯阳算经、张丘建算经张丘建算经、海岛算经海岛算经、五经算术五经算术、缀术缀术、缉古算经缉古算经十部算经为课本，用以进行十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书算经十书是数学教育和考试，后世通称为算经十书算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作北宋时中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作北宋时期（期（10841084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书（此时最早的印刷本数学书（此时缀术缀术已经失传，实已经失传，实际刊刻的只有九种）。际刊刻的只有九种）。8/1/2022阜阳师范学院 数科院228 8、测圆海
23、镜、测圆海镜测圆海镜测圆海镜由中国金、元时期数学家由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于李冶所著，成书于12481248年。全书共有年。全书共有1212卷，卷，170170问。这是中国古代论述容圆的一问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。部专箸，也是天元术的代表作。测圆海镜测圆海镜所讨论的问题所讨论的问题大都是已知大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在题。在测圆海镜测圆海镜问世之前，我国虽有文字代表未知数用问世之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。以列方程和多项式的工
24、作，但是没有留下很有系统的记载。李冶在李冶在测圆海镜测圆海镜中系统而概栝地总结了天元术，使文中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。词代数开始演变成符号代数。所谓天元术，就是设所谓天元术，就是设“天元天元一一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了1616世纪以世纪以后才完全作到这一点。后才完全作到这一点。8/1/2022阜阳师
25、范学院 数科院23测圆海镜测圆海镜8/1/2022阜阳师范学院 数科院24五、国外古代数学家及数学成果五、国外古代数学家及数学成果1 1、莱因德纸草书、莱因德纸草书 莱因德纸草书莱因德纸草书Rhind PapyrusRhind Papyrus是公元前是公元前16501650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代依据了更早年代1849 B.C.1801 B.C.1849 B.C.1801 B.C.的教科的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，书
26、，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元18581858年由英年由英国的埃及学者莱因德国的埃及学者莱因德A.H.RhindA.H.Rhind购得，故名。购得，故名。现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544544厘米，宽厘米，宽3333厘米。厘米。8/1/2022阜阳师范学院 数科院25 纸草书主要内容有分数的分解：纸草书主要内容有分数的分解：211.332266分数的乘法运算；等差、等比数列的问题；圆、正分数的乘法运算；等差、等比数列的问题；圆、正方形、等腰三角形、等腰梯形的面积；体积计算；
27、方形、等腰三角形、等腰梯形的面积；体积计算；金字塔问题；比例问题等。金字塔问题；比例问题等。莱因德纸草书是了解埃及数莱因德纸草书是了解埃及数学的最主要依据。它准确反映了学的最主要依据。它准确反映了当时埃及的数学知识状况，其中当时埃及的数学知识状况，其中鲜明地体现了埃及数学的实用性。鲜明地体现了埃及数学的实用性。对我们应该如何看待数学的起源对我们应该如何看待数学的起源问题有很大的启发。问题有很大的启发。8/1/2022阜阳师范学院 数科院26 公元前公元前3 3世纪，古希腊数学家欧几里得在前人工世纪，古希腊数学家欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、作的基础之上，对希腊丰
28、富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意的证明。他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的几几何原本何原本。2 2、几何原本、几何原本8/1/2022阜阳师范学院 数科院27 几何原本几何原本是欧几里得的是欧几里得
29、的一部不朽之作，是当时整个希腊一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达影响。自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订，自它历经多次翻译和修订，自14821482年年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。8/1/2022阜阳师范学院 数科院28 几何原本几何原本按照公理化结构，运用了亚里士按照公理
30、化结构，运用了亚里士多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学多德的逻辑方法，建立了第一个完整的关于几何学的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的演绎知识体系。所谓公理化结构就是：选取少量的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和的原始概念和不需证明的命题，作为定义、公设和公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，公理，使它们成为整个体系的出发点和逻辑依据，然后运用逻辑推理证明其他命题。然后运用逻辑推理证明其他命题。几何原本几何原本成成为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。为了两千多年来运用公理化方法的一个绝好典范。它的影响之深远使得它的影响之深远使得“欧几里得欧几里得”与与
31、“几何学几何学”几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的几乎成了同义语。它集中体现了希腊数学所奠定的数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。数学思想、数学精神，是人类文化遗产中的一块瑰宝。8/1/2022阜阳师范学院 数科院293 3、算术、算术 公元公元3 3世纪，古希腊数学家丢番图的著作世纪，古希腊数学家丢番图的著作算术算术是关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析是关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析处理问题，代表了古希腊代数思想的最高成就。处理问题，代表了古希腊代数思想的最高成就。并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未
32、知量及其各次幂用量及其各次幂用S S、r r、KrKr、r r、KrKr、KrKKrK等符等符号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。因此，丢番图的因此，丢番图的算术算术虽然代表了古希腊代数学的虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。产生太大的影响。8/1/2022阜
33、阳师范学院 数科院30 直到直到1515世纪世纪算术算术被重新发掘，鼓舞了一大被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。首先是法国数学家蓬贝利认识到了。首先是法国数学家蓬贝利认识到算术算术的的重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到的启示下才做出了符号代数的贡献，到1717世纪，世纪，费马手持一本费马手持一本算术算术，并在其空白处写写画画，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。竟把数论引上了近代的轨道。算术算术中的不定中的不定分析，对现代数
34、学影响也很深远，在不同数域上，分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上，凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢丢番图方程番图方程”或或“丢番图分析丢番图分析”。8/1/2022阜阳师范学院 数科院314 4、代数学、代数学 代数学代数学由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫约约783783约约850850所著，该书所著，该书11831183年被译成拉丁文传年被译成拉丁文传入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中“代数学代数学”AlgebraAlgebra一词是由阿拉伯文的拉丁转写一词是由阿拉伯
35、文的拉丁转写al-jabral-jabr演变而来，后渐称该书为演变而来，后渐称该书为代数学代数学，一般认为该，一般认为该著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的初等代数；第二部份讲各种实用算术问题。最后列举初等代数；第二部份讲各种实用算术问题。最后列举了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号，而是用语言叙述。而是用语言叙述。8/1/2022阜阳师范学院 数科院325 5、几何学、几何学 几何学几何学是法国数学家笛卡儿一生中
36、所写的惟是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著更好地指导更好地指导推理和寻求科学真理的方法论推理和寻求科学真理的方法论（简称（简称方法论方法论）的三个附录之一，于的三个附录之一，于16371637年出版的。年出版的。几何学几何学在在方法论方法论中大约占中大约占100100页，共分三页，共分三卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解析几何的方法。笛卡儿所提出的方程与曲线的思想，析几何的方法。笛
37、卡儿所提出的方程与曲线的思想，最终被人们所逐渐接受，并且最终被人们所逐渐接受，并且几何学几何学也被认为是也被认为是论述解析几何的一部经典之作。论述解析几何的一部经典之作。8/1/2022阜阳师范学院 数科院33几何学几何学首页首页笛卡儿，笛卡儿，1596159616501650，法国哲学家、数学家、物理学家，法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。解析几何学奠基人之一。8/1/2022阜阳师范学院 数科院346 6、几何基础、几何基础 几何基础几何基础（Grundlagen der GeometrieGrundlagen der Geometrie）是）是德国著名数学家希尔伯特所著
38、，德国著名数学家希尔伯特所著，18991899年初版，此后年初版，此后不断再版，至不断再版，至19301930年已出第七版。希尔伯特精确地年已出第七版。希尔伯特精确地提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求，把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系，定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系，这些关系由五组公理得以保障：关联公理；顺序公这些关系由五组公理得以保障：关联公理；顺序公理；合同公理；平行公理；连续公理。记述了希尔理；合同公理；平行公理；连续公理。
39、记述了希尔伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的几几何基础何基础出版后，立即引起了整个数学界的关注，出版后，立即引起了整个数学界的关注，并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代公理化方法的奠基人。公理化方法的奠基人。8/1/2022阜阳师范学院 数科院35六、学习数论的意义六、学习数论的意义 本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。用到的若干
40、基础知识、基本概念、方法和技巧。通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系关系,使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时，培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他学科，尤其是信息科学研究的能力。学科，尤其是信息科学研究的能力。8/1/2022阜阳师范学院 数科院36 数论是一门高度抽象的数学学科，长
41、期以来，数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际意义。意义。由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子孙子定理定理”来进行测距，
42、用原根和指数来计算离散傅立来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算方法去逼近连续量而达到所要求的精度成为可能。算方法去逼近连续量而达到所要求的精度成为可能。8/1/2022阜阳师范学院 数科院37七七 主要参考书主要参考书1.1.于秀源于秀源 初等数论初等数论 山东教育出版社山东教育出版社 200220022.2.阎满富阎满富 初等数
43、论及其应用初等数论及其应用 贵州教育出版社贵州教育出版社 199919993.3.闵嗣鹤闵嗣鹤 初等数论初等数论 高等教育出版社高等教育出版社 195819584.4.陈景润陈景润 初等数论初等数论 科学出版社科学出版社 198819885.U5.U杜德利著周仲良译杜德利著周仲良译基础数论基础数论上海科技出版社上海科技出版社 198219826.6.潘承洞、潘承彪著潘承洞、潘承彪著初等数论初等数论 北京大学出版社北京大学出版社 199919997.7.编委会编委会 初等数论初等数论 开明出版社开明出版社 199819988/1/2022阜阳师范学院 数科院38附：相关数学家附：相关数学家8/1
44、/2022阜阳师范学院 数科院39欧几里得欧几里得 前前330330年前年前275275年年 欧氏几何学的开创者欧氏几何学的开创者 ，古希腊数学家，以其所著的古希腊数学家，以其所著的几何原本几何原本闻名于世。闻名于世。丢番图丢番图Diophante 246Diophante 246330330“代数学之父代数学之父”古希腊数学家，著古希腊数学家，著算术算术8/1/2022阜阳师范学院 数科院40刘徽，生于公元刘徽，生于公元250250年左右，年左右，三国时期三国时期数学家，是世界上最数学家，是世界上最早提出十进小数概念的人早提出十进小数概念的人，著，著九章算术注九章算术注1010卷；卷；海岛海
45、岛算经算经；九章重差图九章重差图.割割圆术求圆面积和圆周率圆术求圆面积和圆周率.祖冲之，祖冲之，429500429500，数学家，数学家，科学家，算出科学家，算出在在3.14159263.1415926和和3.14159273.1415927之间，求球体积公式之间，求球体积公式著有著有缀术缀术.在天文历法和机在天文历法和机械方面均有建树略。械方面均有建树略。8/1/2022阜阳师范学院 数科院41宋元数学四大家宋元数学四大家 秦九韶秦九韶 约约1202120212611261，著，著数书九章数书九章,最重要的数学成最重要的数学成就就“大衍总数术大衍总数术”一次同余组解法一次同余组解法 与与“正
46、负开方术正负开方术”高次方程数值解法高次方程数值解法，在中世纪世界数学史上占有突出地位。，在中世纪世界数学史上占有突出地位。李冶李冶119211921279,1279,著著测圆海镜测圆海镜，主要目的就是说明用开，主要目的就是说明用开元术列方程的方法。元术列方程的方法。“开元术开元术”与现代代数中的列方程法相与现代代数中的列方程法相类似。类似。朱世杰朱世杰13001300前后前后，著，著算学启蒙算学启蒙和和四元玉鉴四元玉鉴。算学算学启蒙启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。数学的发展。四元玉鉴四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的
47、又一个标则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有志，其中最杰出的数学创作有“四元术四元术”多元高次方程列式多元高次方程列式与消元解法与消元解法、“垛积法垛积法”高阶等差数列求和高阶等差数列求和 与与“招差术招差术”高次内插法高次内插法。杨辉杨辉12501250前后前后，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著构成规律的数学家。著详解九章算法详解九章算法,日用算法日用算法等。等。8/1/2022阜阳师范学院 数科院42费马费马 法法1601-16651601-1665，是数学史上，是数学史上最伟大的业余数学家，提出了费马最
48、伟大的业余数学家，提出了费马大、小定理；在坐标几何，无穷小，大、小定理；在坐标几何，无穷小，概率论等方面有巨大贡献。概率论等方面有巨大贡献。哥德巴赫哥德巴赫 1690-17641690-1764，德国数学家；曾担任中学德国数学家；曾担任中学教师，教师，17251725年到俄国，年到俄国，被选为彼得堡科学院院士被选为彼得堡科学院院士.8/1/2022阜阳师范学院 数科院43欧拉欧拉1707170717831783，瑞士数学家，瑞士数学家，自然科学家。是数学史上最多产自然科学家。是数学史上最多产的数学家，每年写出八百多页的数学家，每年写出八百多页的论文，的论文，无穷小分析引论无穷小分析引论、微分学
49、原理微分学原理、积分学原理积分学原理等都成为数学中的经典著作。等都成为数学中的经典著作。高斯高斯1777185517771855，德国数学家、，德国数学家、物理学家、天文学家、大地测物理学家、天文学家、大地测量学家。在数论、非欧几何、量学家。在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。均有开创性贡献。8/1/2022阜阳师范学院 数科院44勒让德勒让德 法法1752175218331833，在分，在分析学、数论、初等几何与天体析学、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，是椭力学，取得了许多成果，是
50、椭圆积分理论奠基人之一。对数圆积分理论奠基人之一。对数论的主要贡献是二次互反律，论的主要贡献是二次互反律，还是解析数论的先驱者之一还是解析数论的先驱者之一.雅可比雅可比 德德1804180418511851，在偏，在偏微分方程中，引进了微分方程中，引进了“雅可比雅可比行列式。对行列式理论作了奠行列式。对行列式理论作了奠基性的工作，在代数学、变分法、基性的工作，在代数学、变分法、复变函数论、分析力学复变函数论、分析力学 、动、动力学及数学物理方面也有贡献。力学及数学物理方面也有贡献。8/1/2022阜阳师范学院 数科院45希尔伯特希尔伯特 德德1862186219431943，他领，他领导的数学
