1、HUN-理科数学数学数学数学决胜高考专案突破名师诊断对点集训题型2010年2011年2012年小题第4题:求向量的数量积.第6题:解三角形.第14题:求向量数量积.第6题:求三角函数的值域.第7题:解三角形(求长度).第15题:三角函数求参数,定积分求面积.大题第16题:三角函数(求最大值,求零点).第17题:解三角形(求角,求最大值).【考情报告】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【考向预测】纵观近几年高考关于三角函数与平面向量部分的命题可以看出:此部分内容占1522分左右.在解答题中对平面向量的考查,都不是以独立的试题形式出现,而是把平面向量作为解题的工具,渗
2、透于解答题,如三角函数、圆锥曲线、数列等问题中.三角函数的解答题一般都为基础题,而三角函数与平面向量的小题一般都属于中低档题,不会太难.三角函数的图象和性质,如周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心);三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求值和简单的综合问题等都是考查的热点;平面向量主要考查共线名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(垂直)向量的充要条件、向量的数量积与夹角.预测在2013年的高考试卷中,考查三角函数与平面向量部分的题为两小题一大题,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形,主要是运用正余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等;二、三角函
3、数的图象与性质,主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.13年需要注意第二种题型的考查.难度为中低档题.【知能诊断】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.(2012年江西)若tan+=4,则sin 2=()(A).(B).(C).(D).【解析】tan+=44tan=1+tan2,sin 2=2sin cos=.【答案】D1tan151413121tan21tantan222sin cossincos22tan1tan2tan4tan12名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决
4、胜高考2.若,(0,),cos=-,tan=-,则+2=.【解析】,(0,),cos=-,tan=-(-,0),tan=-(-,0),(,),+2(,3),又tan 2=-,tan(+2)=-1,+2=.7501375017331333565222tan1tan34tantan21tantan2114【答案】114名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A等于()(A)30.(B)60.(C)120.(D)150.【解析】由sin C=2sin B及正弦定理,得c=2b
5、,代入a2-b2=bc,得a2-b2=b2b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理得cos A=,所以A=30.【答案】A33333332222bcabc22221274 3bbbb64 332名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.已知关于x的方程:x2+2x+=0(xR),其中点C为直线AB上一点,O是直线AB外一点,则下列结论正确的是()(A)点C在线段AB上.(B)点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.(C)点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点.(D)以上情况均有可能.【解析】根据题意,由于A,B,C三点共线,故由=-
6、x2-2x,可得-x2-2x=1,解之得x=-1,即=-+2,化简整理可得:-=-=,故点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.OAOBOCOCOAOBOCOAOBOCOBOBOABCAB【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.(2012年江西)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求ABC的面积.【解析】(1)由bsin(+C)-csin(+B)=a,应用正弦定理,得sin Bsin(+C)-sin Csin(+B)=sin A,即sin B(sin
7、C+cos C)-sin C(sin B+cos B)=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,4442244442222222222名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考即sin(B-C)=1,由于0B,C0)的图象特点:(1)在对称轴处取得最大值或最小值;(2)对称中心就是函数图象与x轴的交点;(3)两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期,相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由y=Asin(x+)的图象求其函数式:在给出图象要确定解析式y=Asin(x+)的题型中,
8、有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.2.三角函数的恒等变换:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有:切割化弦,降幂,用三角公式转化出现特殊角,异角化同角,异名化同名,高次化低次等.二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据,注意其变形:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,cos2=,sin2=.3.正弦定理1 cos221 cos22名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则=2R(R为三角形外接圆的半径).4.余弦定理已知在ABC中,
9、a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则a2=b2+c2-2bccos A,cos A=,另外两个同样.5.面积公式已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则sinaAsinbBsincC2222bcabc名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(1)三角形的面积等于底乘以高的;(2)S=absin C=bcsin A=acsin B=(其中R为该三角形外接圆的半径);(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S=(a+b+c)r;(4)若p=,则三角形的面积S=.6.航海和测量中常涉及仰角、俯角、方位角等术语.二、平面向量1.平面向量的基本概念121
10、212124abcR122abc()()()p papbpc名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使b=a.如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab 的充要条件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1=0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写为=,即对应坐标的比值相等.3.平面向量基本定理对于任意向量a,若以不共线的向量e1,e2作为基底,则存在唯一的一组实数对,使a=e1+e2.21xx21yy名师诊断名师
11、诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.向量的坐标运算a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).5.数量积(1)已知a,b的夹角为=(0,),则它们的数量积为ab=|a|b|cos,其中|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a(bc)(ab)c;(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;(3)两非零向量a,b的夹角公式为cos=;|a ba b121222221122x xy yxyxy名
12、师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(4)|a|2=aa.(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.【考点突破】热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换 (1)若0,-0,cos(+)=,cos(-)=,则cos(+)等于()2241342332名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(A).(B)-.(C).(D)-.(2)(2011年重庆)已知sin=+cos,且(0,),则的值为 .【分析】(1)角的变换:+=(+)-(-);(2)先化简,再求解.【解析】(1)cos(+)=,0,sin(+)=.33335 3969122cos
13、2sin()42442413242 23名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考又cos(-)=,-0,sin(-)=.cos(+)=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=+=.(2)(法一)=423324263244244244213332 23635 39cos2sin()422cossin2(sincos)2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=-(cos+sin),sin=+cos,cos-sin=-,两边平方得1-2sin cos=,2sin cos=.(0,),(cossin)(cossin)2
14、(sincos)22121214342名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考cos+sin=,=-.(法二)由条件得cos-sin=-,两边平方得1-2sin cos=,所以sin 2=.所以由(0,),且cos sin,知(,),所以2(,),所以cos 2=-=-.于是=-.【答案】(1)C (2)-【归纳拓展】在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的变换,把求解的角用已知角表示出来,把求解的角的三角函数使用已2(cossin)31472cos2sin()4142121434242221 sin 274cos2sin()4cos22(sincos)21421
15、42名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考知的三角函数表示出来,常见的角的变换有:+2=2(+),=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2,=(-)-(-)等.在进行三角函数化简或者求值时,如果求解目标较为复杂,则首先要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已知条件.242222名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练1 (1)已知=,则tan+的值为()(A)-8.(B)8.(C)-.(D).(2)若sin+2cos=0,则的值为()(A)-.(B).(C).(D)-.【解析】(1)=,即cos-si
16、n=,即sin cos=-,所以tan+=-8.cos22sin()4521tan181821cos2cossin223252383cos22sin()45252181tan1sin cos名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由已知sin+2cos=0得tan=-2,所以=-.【答案】(1)A (2)A21cos2cossin2222coscos2sin cos222222coscoscos2sin coscoscos212tan23名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考如图,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于A、B两点
17、.(1)如果tan=,B点的横坐标为,求cos(+)的值;【分析】利用三角函数的定义和三角函数线的定义解题.【解析】(1)已知是锐角,根据三角函数的定义,得sin=,cos=,又cos=,且是锐角,所以sin=.所以cos(+)=cos cos-sin sin=-=-.3451335455131213455133512131665名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)依题意得MA=sin,NB=sin,PC=sin(+),因为,(0,),所以cos(0,1),cos(0,1),于是有sin(+)=sin cos+cos sin sin+sin.又+(0,),-1
18、cos(+)1,sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin sin(+)+sin.同理,sin sin(+)+sin.2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由可得,线段MA、NB、PC能构成一个三角形.【归纳拓展】三角函数的定义以及三角函数线的定义的使用是解决例2的关键.近几年的高考试题对三角函数基本关系考查常以选择题、填空题的形式出现,分值在5分左右.其考查重点是基础知识,考查要点是三角函数值的计算、三角函数符号的判断、角的象限的判断等.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练2已知向量a=(sin,-2)与b=
19、(1,cos)互相垂直,其中(0,).(1)求sin 和cos 的值;(2)若sin(-)=,0,求cos 的值.【解析】(1)a与b互相垂直,ab=sin-2cos=0,即sin=2cos,代入sin2+cos2=1得sin=,cos=,又(0,),sin=,cos=.2101022 555522 5555名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)0,0,-0,-0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则等于()(A)3.(B)2.(C).(D).【分析】(1)f(x)=2sin(x+)中的各个参数中,与T有关,与平移或对称轴等有关.能够由图得出与,然后利用
20、数量积公式.(2)利用零点转化为解方程即可.(3)能够从已经给出的单调区间结合图象得出.3323223名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)由图象易得f(x)=2sin(2x+),则得A(-,0),B(,2),D(,-2),=(,2)(,-4)=-8.(2)f(x)=0,则x=0或cos x2=0,x2=k+,kZ,又x0,4,k=0,1,2,3,4,所有共有6个解,选C.(3)函数f(x)=sin x(0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,3612712ABBD422822232名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考则
21、=,即=,答案应选C.(另解一)令x2k-,2k+(kZ)得函数f(x)在x-,+(kZ)为增函数,同理可得函数f(x)在x+,+(kZ)为减函数,则当k=0,=时符合题意,即=,答案应选C.(另解二)由题意可知当x=时,函数f(x)=sin x(0)取得极大值,则f()=0,即cos=0,即=k+(kZ),结合选择项即可得答案应选C.(另解三)由题意可知当x=时,函数f(x)=sin x(0)取得最大值,则2332222k22k22k22k3223323333233名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=2k+(kZ),=6k+(kZ),结合选择项即可得答案应选C.
22、【答案】(1)-8 (2)C (3)C【归纳拓展】三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称中心是图象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象平移应注意整体代换.能够熟练画出简图,然后能够借助正弦函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.23228名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练3 (1)设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的()(A)充分而不必要条件.(B)必要而不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分也不必要条件.(2)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图
23、所示,则f()=.223名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)函数f(x)=cos(x+)若为偶函数,则有=k,kZ,所以“=0”是“f(x)=cos(x+)为偶函数”的充分不必要条件,选A.(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4(-)=,故=2.将点(,2)代入f(x)的解析式得sin(+)=1,又|0,)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的表达式;(2)求函数f(x)在区间,2上的最大值和最小值.【分析】先结合图象确定和,再求最值.【解析】(1)由题意可得=-(-),=,因此f(x)=2sin(x+),又f()=2,3232342
24、566323256名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考即sin(+)=1,而,故=,故f(x)=2sin(x+).(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+)=-2sin(x+),由x,2,则x+,最大值为,最小值为-2.【归纳拓展】(1)解决三角函数图象题要能够熟练画出简图,然后能够借助三角函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(x+)的解析式,一般通过以下几个步骤实现:根据振幅求出A;根据图象的最高点、最低点或与x轴的325632543254325432432324521342名师诊断名师诊断专案突破
25、专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考交点求周期,再求出;根据特殊值求出初相,或者利用正弦函数对称轴与对称中心之间的关系直接求解.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练4已知函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)需要把函数y=f(x)的图象经过怎样的变换才能得到函数g(x)=cos x的图象?(3)在ABC中,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角,若a=,f(A)=1,求b+c的最大值.【解析】(1)f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos
26、2x=2sin(2x+),最小正周期为T=,由-+2k2x+2k(kZ)可得-+kx+k(kZ).333362226236名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考即函数的单调递增区间为(kZ).(2)要得到函数g(x)=cos x的图象只需把函数y=f(x)的图象经过以下变换得到:把函数y=f(x)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函数y=2sin(x+)的图象;再把函数y=2sin(x+)的图象纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数y=sin(x+)的图象;再把函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位得到y=g(x)=sin(x+)=cos x的图象.(3)由
27、f(A)=1可得2sin(2A+)=1,即sin(2A+)=,又0A0,a与b的夹角(0,),且ab和ba都在集合|nZ中,则ab等于()3ABBC37223 4 2n 名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(A).(B)1.(C).(D).【解析】(1)由题意可知mn=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab,由余弦定理可得到4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3ab-4=0,即(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(舍去ab=-1),故三角形周长a+b+c=a+b+22+2=6.(2)由右图知=|cos(-B)=2|(-cos
28、B)=1.123252abABBCABBCBCcos B=.又由余弦定理知cos B=,解得BC=.12BC2222ABBCACAB BC3名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(3)由定义=可得ba=,由于|a|b|0及(0,)得01,从而=|a|=2|b|cos,ab=2cos2.由(0,)cos 1cos2112cos20,0,0)的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段MD的中点,SCDM=.223(1)求函数f(x)的解析式;(2)在CDM中,记DMN=,CMN=,证明:sin C=2cos sin.名师诊
29、断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)由已知点F(0,1)是线段MD的中点,知A=2.SDMN=SCDM=,T=,=3.f(x)=2sin(3x+),由M(-,0),sin(-+)=0,又00,故cos B=452333 73 383 73 343 73 383 73 34454545名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考.(2)由正弦定理可得=,故sin C=,于是cos C=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,ABC的面积为acsin B=.【答案】(1)(2)A (1)在ABC中,角A
30、、B、C的对边分别是a、b、c,已知sin C+cos C=1-sin.1010sinaAsincCsincAa3421 sin C742138123 73 3810102C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考求sin C的值;若a2+b2=2(a+b)=8,求边c的值.(2)(2012年大纲全国)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.【分析】(1)由于有,要先用二倍角公式化简求值.(2)本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个是角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.
31、【解析】(1)由已知得2sincos+1-2sin2=1-sin,即sin(2cos-2sin+1)=0,2C2C2C2C2C2C2C2C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由sin0得2cos-2sin+1=0,即sin-cos=,两边平方得:sin C=.由sin-cos=0知sincos,则,即C,则由sin C=得cos C=-,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8+2,所以c=+1.(2)由B=-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C,2C2C
32、2C2C2C12342C2C122C2C42C22347477名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由已知得sin Asin C=.由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.由、得sin2C=,于是sin C=-(舍去)或sin C=.又a=2c,所以C=.【归纳拓展】(1)已知a,b边的关系结合第问的结论很容易想到用余弦定理求c边.(2)本试题主要考查了解三角形的运用,通过边角的转换,结合了三角121412126名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳
33、定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到A,C角关系,然后结合a=2c,得到两角正弦值的二元一次方程组,自然很容易得到C角的值.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练8在ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c.(1)若sin(A+)=2cos A,求A的值;(2)若cos A=,b=3c,求sin C的值.【解析】(1)sin(A+)=2cos A,sin A=cos A,cos A0,tan A=,又0A,A=.(2)在三角形ABC中,cos A=,b=3c,a2=b2+c2-2bccos A=8c2,a=2c,6136333132名师诊断
34、名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由正弦定理得:=,而sin A=,sin C=.(也能根据余弦定理得到cos C=,0Csin C=)2 2sincAsincC21 cos A2 23132 2313名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点六:向量的应用向量的应用问题主要集中在论证几何命题(如平行与垂直)、求最值、求值等问题上.常用的解题知识有:向量共线的充要条件、向量垂直的充要条件、平面向量的基本定理以及向量数量积的运算公式等.(1)已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),R,若=-,则等于()APABAQACBQC
35、P32名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(A).(B).(C).(D).(2)若|a|=,|b|=1,且(a-2b)(2a+b),则a与b的夹角余弦是()(A).(B).(C)-.(D)-.【分析】(1)向量的计算“基底”是相当重要的,如果随心所欲地计算则是无济于事的,本题把=+=-b+(1-)c,=+=-c+b用b,c表示出来是关键.12122110232 22 232231232BQBAAQCPCAAP名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)利用向量的夹角公式cos=即可.【解析】(1)如图,设=b,=c,则|b|=|c|=2,b
36、c=2,又=+=-b+(1-)c,=+=-c+b,由=-得-b+(1-)c(-c+b)=(-1)|c|2-|b|2+(-2+1)bc=-,即4(-1)-4+2(-2+1)=-,整理得42-4+1=0,即(2-1)2=0,解得=,选A.|a babABACBQBAAQCPCAAPBQCP32323212名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由(a-2b)(2a+b)得(a-2b)(2a+b)=0,3ab=2a2-2b2=2,即ab=,cos=.【答案】(1)A (2)B【归纳拓展】(1)本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共
37、线向量定理及其数量积的综合运用.(2)考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用.首先利用向量垂直的充要条件,求出ab,再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦值.23|a bab23名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练9 (1)在平行四边形ABCD中,A=,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则的取值范围是 .(2)已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)(b-c)=0.若对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b,m-n的最小值是()(A).(B).(C).(D)1.3|BM
38、BC|CNCDAMAN141234名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)(法一)设=(01),则=,=(1-)=(1-),则=(+)(+)=(+)+(1-)=+(1-)+(1-),又=21cos=1,=4,=1,=-2-2+5=-(+1)2+6.01,25,即的取值范围是2,5.|BMBC|CNCDBMBCADDNDCABAMANABBMADDNABADADABABAD2AB2ADADABABAD32AB2ADAMANAMANAMAN名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(法二)以向量所在直线为x轴,以与垂直的直线为y轴建立平面
39、直角坐标系,如图所示,因为AB=2,AD=1,所以A(0,0),B(2,0),C(,),D(,).设N(x,)(x),则BM=CN,CN=-x,BM=-x,M(2+-,(-x)sin).ABAB523212323212521252541258 4x54123名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考根据题意,有=(x,),=(-,).所以=x(-)+(x),所以 25.(2)把三个向量的起点放在同一点O,如图所示,根据几何意义,由|a-b|=|b|,得OAB是等腰三角形,当(a-c)(b-c)=0时,(a-c)(b-c),故点C在以AB为直径的圆上,|c|的最大值m和最小
40、值n的差就是这个圆的直径,AN32AM2184x 5 32 38xAMAN2184x325 32 38x1252AMAN名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考只有当B,E重合时这个直径最短,即m-n的最小值是.【答案】(1)2,5 (2)BABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin 2C+cos(A+B)=0.(1)a=4,c=,求ABC的面积;【分析】因为cos(A+B)=-cos C,所以先统一角度,再求解.【解析】(1)sin 2C+cos(A+B)=02sin Ccos C-cos C=0cos C(2sin C-)=0,12313333名师诊断
41、名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以cos C=0或sin C=,所以C=或C=或C=.因为a=4c=,所以C=,由余弦定理得13=16+b2-4b,解得b=3或b=1,所以S=14sin=或S=34sin=3.(2)因为A=,cos Bcos C,所以BC,所以C=,则B=.-2-3=-|cos B+2|cos C+3|cos A=-|+|=(-|+|)|=0.32232313312331233326ABBCBCCACAABBABCCBCAACAB32BABC32ACAB32BC32ACAB名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】对
42、于向量数量积的运算,本题只要掌握基本概念就可以迎刃而解,做题时,要切实注意条件的运用.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练10已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|=.(1)求cos(-)的值;(2)若0,-0,且sin=-,求sin.【解析】(1)因为|a-b|=,所以|a-b|2=,则a2-2ab+b2=,又|a|=|b|=1,整理得:cos(-)=ab=.(2)因为0,-0,sin=-,2 55225132 5545453522513名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以0-0,所以0-,sin
43、(-)=,sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+(-)=.121335245451213355133365名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点七:应用题三角知识的应用,常在测量方面命题.题目难度有时还较大,多以大题出现,解决此类问题应该先认真审题,将实际中的问题转化成为数学模型而后解之.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考 2012年5月中下旬,强飓风袭击某地,给南部与中西部造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难,救援队随时待命进行救援.某天,信息中心在A处获悉:在其正东方向相距80海里的B处有一艘客轮
44、遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距40海里的C处的救援船,救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援.(1)若救援船的航行速度为60海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置的时间(2.646,结果保留两位小数);7名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找出图中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利用正弦定理求出sinACB,再利用同角基本关系求出tanACB,再利用两角和的正切公式即可得出结果.【解析】(1)在图中的ABC中,AB=80,AC=40,BAC
45、=120,由余弦定理可知:BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120,即BC2=802+402-28040(-)=11200,故BC=40,故救援船到达客轮遇险位置所需时间为4060=1.76小时.12772 73名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)在ABC中,由正弦定理可得=sinACB=sinBAC=,显然ACB为锐角,故cosACB=,tanACB=,而=ACB+30,故tan=tan(ACB+30)=.【归纳拓展】本题以全新的背景引入,以实际应用问题考查正弦定理与余弦定理的应用、三角公式的应用及分析问题、解决问题的能力.把问题转化为三角形中的边角
46、关系,因此本题的关键是找出图sinABACBsinBCBACABBC2172 7732tantan301tan30 tanACBACB5 33名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考中的角和边,利用余弦定理求出BC即可解决第(1)题;对于(2),利用正弦定理求出sinACB,再利用同角基本关系求出tanACB,再利用两角和的正切公式即可得出结果.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练11如图,实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成,圆P和圆Q的半径都是2,点P在圆Q上,现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动
47、场地.(1)如图甲,要建的活动场地为RST,求场地的最大面积;(2)如图乙,要建的活动场地为等腰梯形ABCD,求场地的最大面积.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【解析】(1)过S作SHRT于H,SRST=SHRT.由题意,RST在月牙形公园里,RT与圆Q只能相切或相离;RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,则有RT4,SH2,当且仅当RT切圆Q于P时(如下左图),上面两个不等式中等号同时成立.此时,场地面积的最大值为SRST=42=4.1212(2)同(1)的分析,要使得场地面积最大,且AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形,AD必须切圆Q于P,再设BPA
48、=,则有名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考S四边形ABCD=22sin 2+22sin(-2)=4(sin+sin cos)(00,(,)时,y0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为,要得到y=f(x)的图象,只须把y=sin x的图象()(A)向左平移个单位.(B)向右平移个单位.(C)向左平移个单位.(D)向右平移个单位.【解析】由已知可得=2,因此把y=sin 2x的图象向左平移个单位,可得到y=cos 2x的图象,再把y=cos 2x的图象向左平移个单位,即可35125121112111246名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考
49、决胜高考得到y=cos(2x+)的图象,共向左平移个单位.【答案】A3512名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.等于()(A).(B).(C)-.(D).【解析】=|cos 120|=|-|=.选D.【答案】D2cos 600323232122cos 6001212名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.设函数f(x)=cos(2x-),xR,则f(x)是()(A)最小正周期为的奇函数.(B)最小正周期为的偶函数.(C)最小正周期为的奇函数.(D)最小正周期为的偶函数.【解析】f(x)=cos(2x-)=-cos 2x,可知答案选B.
50、【答案】B22名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.已知sin(+)=,则cos(+2)的值为()(A)-.(B).(C).(D)-.【解析】由sin(+)=得cos=,cos(+2)=-cos 2=-(2cos2-1)=,选B.【答案】B213797929232131379名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.设a,b是两个非零向量.则()(A)若|a+b|=|a|-|b|,则ab.(B)若ab,则|a+b|=|a|-|b|.(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得b=a.(D)若存在实数,使得b=a,则|a+b|=|a
