1、1.3 单自由度系统受迫振动受迫振动系统在外界激励下产生的振动激励形式可以为力（直接作用力或惯性力），也可以为运动（位移、速度、加速度）。外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。有阻尼系统在简谐激振力作用下，系统的运动微分方程为令得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。齐次方程通解:x1(t)非齐次方程特解:x2(t)有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解x1(t)有阻尼自由振动运动微分方程的解：特解为:)sin()(2tBt
2、x有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解由二部分组成：第一部分振动的频率是自由振动频率 ；由于阻尼的作用，这部分的振幅都时间而衰减。-瞬态振动d第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减稳态受迫振动。特解为:代入方程解得thtBtBtBnsin)sin()cos(2)sin(22thtBtBnsin)cos(2)sin()(22222224)(nhB222tannh幅频特性与相频特性引入量纲为1的参数，s，-称为静力偏移 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。s 称为幅频特性曲线 s 称为相频特性曲线结论：（1）线性系统对简谐激励
3、的稳态响应是频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐振动（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m,k,c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性稳态响应的特性以s为横坐标画出(s)曲线幅频特性曲线简谐激励作用下稳态响应特性：（1）当)(10s激振频率相对于系统固有频率很低1响应的振幅A 与静位移B 相当（2）当1s激振频率相对于系统固有频率很高响应的振幅很小（3）在以上两个领域对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性单自由度系统受迫振动/
4、稳态响应的特性（4）当)(10s对应于较小 值，(s)迅速增大当=0(s)共振 振幅无穷大但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在s=1 附近的区域内，增加阻尼使振幅明显下降单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（5）对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左max振幅无极值（6）当1,2/1单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性222)2()1(1)(sss记:211sQ品质因子在共振峰的两侧取与2/Q对应的两点21,12带宽Q与的关系0Q阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭)sin(0tkFx单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性以s为横坐标画出(s)曲线212arctan)(sss相频特性曲
5、线（1）当s1（1（0）位移与激振力反相（3）当s 1 0共振时的相位差为 ，与阻尼无关2【例】图示带有偏心块的电动机，固定在一根不计自重的弹性梁上。设电机的质量为m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，阻力系数为c，求当电机以匀角速度旋转时系统的稳态振动的位移幅值。【解】系统可简化为图示的力学模型，将电机与偏心块看成一个质点系设电机轴心在t 瞬时相对平衡位置的坐标为x偏心块的坐标为x+esint，质点系动量定理在x方向的投影表达式为kxxctexdtdmdtxdm)sin(222221整理后得系统的微分方程为temkxxcxmmsin)(2221 temkxxcxmmsi
6、n)(2221 引入微分方程化为标准形式解得令解得其幅频特性和相频特性曲线【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为 。求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。texesin【解】以物块的静平衡位置为坐标原点，考察其相对地球的运动（绝对运动），运动微分方程可写为令mkn2mc2则微分方程可写成)sin(cos2sin222thtetexxxnn 其中2224neh22tann微分方程特解：)sin(2tBx回代得：sin)cos()cos()sin()sin()cos(2)sin(22thth
7、tBtBtBn由前计算化简可得系统的幅频特性和相频特性为代入引入量纲为1的量:系统的幅频特性为2222)2()1()2(1ssseB系统的相频特性为223)2(121arctansss系统的幅频特性和相频特性曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段受迫振动的过渡阶段在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加回顾：显含t，非齐次微分方程tFkxxcxmsin0 非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解阻尼自由振动逐渐衰减持续等幅振动暂态响应稳态响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段先考虑无阻尼的情况，假设激励为正弦
8、激励tFkxxmsin0 00)0(,)0(xxxxtBxxsin2020 kFB00stsBtctctxsin1sincos)(20201通解：齐次方程通解非齐次方程特解21,cc由初始条件确定单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段tsBtctctxsin1sincos)(202010)0(xx01xc 0)0(xx20021ssBxctsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000初始条件响应自由伴随振动强迫响应以系统固有频率振动单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段tsBtsBstxtxtxsin1sin1sincos)(20200000初始条件响应自由伴随
9、振动强迫响应初始条件为零tsBtsBstxsin1sin1)(202自由伴随振动强迫响应由于系统是线性的,也可以利用叠加定理求解000sin(0),(0)mxkxFtxx xx20000(0),(0)xxxx xx200sin(0)0,(0)0 xxFtxx 010000()cossinxx txtt002022()sinsin11B sBx tttss 通解:000120000220()()()cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss初始条件响应自由伴随振动强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段000sin(0)
10、,(0)mxkxFtxx xx000120000220()()()cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss即使在零初始条件下,也有自由振动与受迫振动相伴发生.实际中总是存在着阻尼的影响,因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减,进而消失,最终系统为稳态响应.单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段例:计算初始条件,以使 的响应只以频率 振动.tFkxxmsin0 解:000120000220()()()cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttsskFB00s如果要使系统响应只以 为频率振动必须成立:00 x 00201xB ss初始条件:00 x
11、 00021B sxs例:计算初始条件,以使 的响应只以频率 振动.0cosmxkxFt单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段解:000120000220()()()cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss全解010202()cossincos1Bx tctctts由0(0)xx01021Bcxs求一阶导数01002002()sincossin1Bx tctctts 由0(0)xx020 xc0000002200000000220()()cossincos11cossincoscos11BxBx txtttssxBBxttttss200/cx 000000022
12、0()cossincoscos11xBBx txttttss单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段如果要使系统响应只以 为频率振动初始条件:00 x 0021Bxs单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段若激励频率与固有频率十分接近000sin(0),(0)mxkxFtxx xx10s令21s为小量000120000220()()()cossinsinsin11xB sBx tx tx txttttss考虑稳态响应tsBtsBstxsin1sin1)(202ttBtx00cossin2)(单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段ttBtx00cossin2)(可看作频率为 ，振幅按 规律缓慢
13、变化的振动 0tB0sin2这种在接近共振时的特殊振动现象称为拍拍的周期为：0/图形的包络线：tB0sin2单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段ttBtxcossin2)(0当0ttBtx00cos2)(随着t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的响应曲线即使是无阻尼系统，要达到理论上的无穷大振幅，也需要无限长的时间。所以，如果机器的工作运转速度设计在共振转速以上，穿越共振去并没有很大困难，只要穿越的快些就好。单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应000)0(,)0(sinxxxxtFkxxcxm 利用前述相同的方法，可得)sin(sin)cossi
14、n(cossin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应自由伴随振动强迫响应mk0kmc2201d0skFB0222)2()1(1ss212arctanss单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段)sin(sin)cossin(cossin)sincos()(0000000tBtsteBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应自由伴随振动强迫响应经过充分长的时间，作为瞬态响应的前两种振动将消失，只剩下稳态强迫响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段)sin(sin)cossin(cossin)sincos()(0000000tBtst
15、eBtxxtxetxdddtdddt初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件0)0(,0)0(xx)sin(sin)cossin(cossin)(00tBtsteBtxdddt单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动简谐惯性力激励的受迫振动背景：地基振动，转子偏心引起的受迫振动特点：激振惯性力的振幅与频率的平方成正比坐标：相对基座的位移1x动力学方程tiDekxxcxm111 基座运动规律tifDetx)(单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动tiDekxxcxm111)(111tiDex22221)2()1(sss)12arctan(21ss解得：回顾：tFkxxcxms
16、in0 )(tiBex222)2()1(1ss)12arctan(2ss单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动若以绝对位移 为坐标xfxxx1)(111tiDextifDetx)()(1)(1111)(tiititiDeeDeDex单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动可以看出：当 时，2s12振幅恒为支撑运动的振幅D当 时，2s12振幅恒小于D增加阻尼反而会使振幅增大单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：汽车行驶的路程可表示为：
17、vtz 则lvtaxf2sin路面的激励频率为sradlv/9.342由kmc2kc,为常数得m与 成反比空载时的阻尼比为：0.12112mm满载和空载时的频率比：87.11011kms93.02022kms单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动满载时的阻尼比为：空载时的阻尼比为：满载时的频率比：空载时的频率比：5.010.1287.11s93.02s记满载时的振幅为1B空载时的振幅为2B68.0)2()1()2(12112212111sssaB13.1)2()1()2(12222222222sssaB满载与空载的振幅比为60.021BB单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动已
18、知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计例支座A产生微小竖直振动支座B不动求：质量m的稳态振动振幅解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度固有频率/0g：因 的运动而产生的质量m处的运动fxAy动力学方程：振幅单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动支承运动小结基座位移规律：相对位移绝对位移单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动高速旋转机械中，偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源。旋转机械总质量为M，转子偏心质量为m，偏心距为e，转子转动角速度为。x：机器离开平衡位置的垂直位移则偏心质量的垂直位移：由达朗伯原理，系统在垂直方向的动力学方程：0)sin()(22kxxctex
19、dtdmxmM tmekxxcxMsin2 tmekxxcxMsin2 单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动不平衡量引起的离心惯性力设20meF 单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动例：偏心质量系统共振时测得最大振幅为0.1m由自由衰减振动测得阻尼系数为05.0%10Mm设求：（1）偏心距e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01 m，系统的总质量需要增加多少？单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动解：（1）共振时的最大振幅mMme1.021me1.0（2）若要使共振时的最大振幅0.01mmMMme01.0219MMMM9
20、单自由度系统受迫振动/简谐惯性力激励的受迫振动偏心质量小结tmekxxcxMsin2 单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳机械阻抗与导纳工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性。机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比动力学方程：输入：输出：代入得：根据定义，位移阻抗：单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳位移阻抗与复频响应函数互为倒数，H()也称为导纳输出也可以定义为速度或加速度，相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗机械阻抗的倒数称为机械导纳，相应 、分别有位移导纳、速度导纳和加速度导纳)(xZ)(xZ)(xZ 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性（m，
21、k，c），它们都是复数。单自由度系统受迫振动/机械阻抗和导纳现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器，根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率，相对阻尼系数等参数及其它动力特征。单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪惯性式测振仪基础位移tifDexx 为m 相对于外壳的相对位移动力方程：0)(kxxcxxmf tiemDkxxcxm2 振幅：DsssA22221)2()1(0sDAs1lim当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1 接近外壳振动的振幅D低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值，称为位移计单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪当
22、仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比与外壳加速度的幅值成正比高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值，称为加速度计被测物体的加速度幅值单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪另一种分析方法基础位移假定为正弦:x 取绝对位移，受力图动力学方程：0)()(ffxxkxxcxm tcDtkDkxxcxmcossin 叠加原理，解为右端两项解之和tifDex)cos()2()1(1)sin()2()1(1)(12221222tsskcDtsskkDtx)sin()sin()2()1()2(1)cos()2()1(1)sin()2()1(1)(2
23、1222212221222tDtsssDtsskcDtsskkDtx单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/惯性式测振仪2222)2()1()2(1sss2112arctansss2arctan221和前述支承运动中的绝对位移法结果相同单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离振动的隔离将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为主动隔振主动隔振系数 隔振后传到地基的力幅值隔振前传到地基的力幅值隔振前机器传到地基的力：tieF0隔振后系统响应)(01)(tiekFtx222)2()1(1ss2112arctanss单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离
24、隔振后通过k、c传到地基上的力：)(22220)(01211)2()1()2(1)(titiesssFekFkickxxcFs2arctan2单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/振动的隔离解：频率比：弹性支承的刚度：机器振动的振幅：主动隔振系数：传到地基上的力幅：单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速转子的临界转速汽轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动临界转速在数值上很接近转子横向振动的固有频率以单盘转子为例单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临
25、届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速可见，当阻尼比较小时，即使转子平衡得很好（e很小），动挠度f也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速成为临届转速，为：用每分钟转速表示：min)/(260rnff单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速单自由度系统受迫振动/工程中的受迫振动问题/转子的临届转速min)/(148001.1841001043.4302606rnff单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的
26、响应当 作用于系统上所产生的静变形20a单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应2222)2()1(1nssnn单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差nn,单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应dttkxdtdtxcdtxm)(dttx
27、md)(单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/非周期激励的响应mxxkxxcxm1)0(,0)0(0 系统的单位脉冲响应即初始位移为零，而初始速度为1/m的自由振动temthtxdtdsin1)()(0解为无阻尼系统：tmthtx00sin1)()(若单位脉冲力不是作用在时刻t=0，而是作用在 时刻：如果系统在 时刻受到冲量为I0 的任意脉冲力作用，则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为：)(sin1)()(0temthdtd)()(0thItxtt单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应任意非周期激励的响应当处于零初始条件的系统受到任意激振力时，可以将激振力F(t)看作
28、一系列脉冲力的叠加对于时刻t=的脉冲力 其冲量为系统受脉冲作用后产生速度增量：并引起t 各个时刻的响应系统的脉冲响应：由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间0 t 内各个脉冲响应的总和dF)(mdF)(dthFdx)()(tdttddteFmdthFtx0)(0)(sin)(1)()()(0杜哈梅(Duhamel)积分单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应tdttddteFmdthFtx0)(0)(sin)(1)()()(0利用卷积性质tdhtFtx0)()()(任意激励力的响应公式tddtdtddetFmdteFmtxnn00)()(sin)(1)(sin)(1
29、)(单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应当t t0 时激振力已经去除，此时系统将以时刻t=t0 时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动.t t0 时的响应可以求解如下先求得t=t0 时刻的位移和速度单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应另解一个自由度系统对矩形冲量的无阻尼响应：单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应单自由度系统受迫振动/任意非周期激励的响应
