1、5.3.2 5.3.2 函数的极值与函数的极值与最大最大(小小)值值(1)(1)广东高州中学 黎小倩1.函数f(x)的单调性与导函数f(x)的正负之间的关系：在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.复习回顾复习回顾2.利用导数研究函数y=f(x)的单调性的一般步骤：第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.第2步，求出导数f(x)的零点；第1步，确定函数f(x)的定
2、义域；问题1 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？单调递增单调递减0)(th0)(th=()0h a探究新知探究新知 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.观察下图，我们发现，当 t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.Otabh追问1：如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？探究新知探究新知y)(xfy xOabcde 函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.追问2：y=f(x)在这些点处的导数值是多
3、少？探究新知探究新知f(a)=0f(b)=0y)(xfy xOabcde问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？追问3：在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？探究新知探究新知y)(xfy xOabcde在x=a附近左侧f(x)0在x=b附近左侧f(x)0,右侧f(x)0又因为函数 f(x)=x3是增函数所以0不是函数 f(x)=x3的极值点.追问：x=0 是否为函数 f(x)=x3 的极值点?问题4 若 f(x0)=0，则 x0是否为极值点?探究新知探究新知x0是函数 f(x)的极值点 f(x0)=0 x0是函数 f(x)的极值点 x0左右两侧导数异号 f(x0)
4、=0 结论：f(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.yfx6x5x4x3x2x1xabxyox2,x4是函数是函数f(x)的极的极值点值点,其中其中x2是极大是极大值点值点,x4是极小值点是极小值点.追问：追问：函数函数y=f(x)的极大值点和极小值点分别是什么？的极大值点和极小值点分别是什么？x1,x5是函数是函数y=f(x)的极大值点的极大值点,x3,x6是函数是函数y=f(x)的极小值点的极小值点.探究新知探究新知问题5 函数函数y=f(x)的图象如图所示的图象如图所示,试找出函数试找出函数f(x)的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极
5、小值点？哪些是极小值点？求求函函数数的的极极值值例例31()44.31 f xxx=-+=-+典例分析典例分析()R.函数的解：定义域为f x31()443f xxx=-+因为，所以()022.fxxx=-令,解得,或(),()xfxf x当 变化时，的变化情况如下表所示:2()4(2)(2)fxxxx=-=-+.x(,2)2(2,2)2(2,+)f(x)00f(x)+单调递增单调递减单调递增32834282()(2);3因此，当时，有极大值，极大值为xf xf=-=42()().3xf xf x=-当时，有极小值，极小值为-2Oxy23432831()443f xxx=-+函数的图象如图所示
6、.归纳方法归纳方法一般地，可按如下方法求函数y=f(x)的极值：解方程f(x)=0，当f(x0)=0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.x0 x0巩固练习巩固练习1.求下列函数的极值：(1)f(x)=x327x;(2)f(x)=6+12xx3.解:(1)函数f(x)的定义域为R,且 f(x)=3x227.令f(x)=0,得x=3所以,f(x)在x=3时取得极大值,且极大值为f(3)=54;f(x)在x=3时取得极小值,且极小值为f(3)=54.(2)同理可得，f(x)在x=2时取得极小值
7、,且极小值为f(2)=10;f(x)在x=2时取得极大值,且极大值为f(2)=22.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(,3)3(3,3)3(3,+)f(x)00f(x)5454+单调递增单调递减单调递增ln2.().xf xx=求函数的极值x(0,e)e(e,+)f(x)0f(x)当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减e1因此，xe 是函数的极大值点，极大值为 f(e)，没有极小值.e1解：函数 的定义域为(0,+)，且 .ln()xf xx=21ln()xfxx-=巩固练习巩固练习令 f(x)0，解得 xe.课堂小结课堂小结y=f(x)的单调性y=f(x)的正负性y=f(x)的极值点导数的工具性作用y=f(x)的零点函数单调不单调，导数正负破玄妙；若有增减各一边，导数为零极值点.通过这节课，大家收获了什么？请谈谈你的想法.
