1、5.5 微分一、微分的概念二、微分的计算三、高阶微分四、微分在近似计算中的应用五、小结一、微分的概念一、微分的概念复习，导数定义 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)(x xx 0 xx 01、
2、问题的提出、问题的提出再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x.320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值因此希望用 问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2、微分的定义、微分的定义定义定义x0 x0 xx()yf xy00()xxU x 相应地函
3、数的增量为00()()yf xxf x ()yAxox 0.x xdyAx即 .的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy(微分的实质微分的实质)0()x xdf xAx或 由定义知由定义知:(1);dyx是自变量的改变量的线性齐次函数;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 3、可微的条件、可微的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf
4、 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1)必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),(xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A).(,)(00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2)充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导dydx()xxx 例例1 1解解
5、.02.0,23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02.02202.023 xxxxxxdy.24.0.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy4、微分的几何意义、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P.,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段
6、的附近的附近在点在点很小时很小时当当 二、微分的计算 1、四则运算法则与基本初等函数微分公式、四则运算法则与基本初等函数微分公式dxxfdy)(微分算法微分算法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 由由 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11
7、)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 2、一阶微
8、分形式的不变性、一阶微分形式的不变性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自变变量量时时若若则则微函数微函数的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数由复合函数求导法则，知()dyftdt,)(dxdtt .)(dxxfdy ()()fxt dt,()xyf x无论 是自变量还是中间变量 函数的微分形式总是结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)(用微分形式不变性是计算复合函数的微分可以不漏、不乱、不易出错。例例4 4解解.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbx
9、dedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例3 3解解.),12sin(dyxy求求设设 .12,sin xuuyududycos)12()12cos(xdxdxx2)12cos(.)12cos(2dxx 例例5 5解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21co
10、s2)()(sin)2(22,cos42xxx).()cos4()(sin22xdxxxxd 三、高阶微分 1.概念()dyfx dx定义：即2d yd dy 即1nnd yd dy二阶或二阶以上的微分，统称为高阶微分。即32d yd d y2,3,n 2.高阶微分的计算高阶微分的计算 由微分定义，2()d yd dyd fx dx2()fxdx23()d yd fxdx3()fxdx 1(1)()nnd fxdx()()nnfxdx()fx dxdx2()fxdxdx1nnd yd dy1(1)()nnfxdxdx 上述高阶微分公式又可写为：注意：上述计算总假定对应导数存在。,nndxdx1
11、;nnd xnxdx20.d xd dx()()nnnd yfxdx()()nnnd yfx dx1,2,n 222()()d yfxdxfx d x3.高阶微分不具有形式不变性()yfg t由一阶微分形式不变性知：()dyfx dx但对高阶微分 从而2()d yd dyd fx dx()()dfxdxfx d dx 故高阶微分不具有微分形式不变性。例 解：法1 于是22 cosytt 22222 cos2cos4sinyttttt 22222cos4sind ytttdt法2 222()()d yfxdxfx d x22sincosxdxxd x 22222sin2cos2ttdttdt 2
12、2222cos4sintttdt错误22()d yfxdx222sin2ttdt 2224sintt dt 解法，见几何意义四、微分在近似计算中的应用 1、计算函数增量的近似值、计算函数增量的近似值00()()0,yf xxfxx若在点 处的导数 且很小时例例1 1?,05.0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2rA 设设.05.0,10厘米厘米厘米厘米 rr2AdArr05.0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 2、计算函数的近似值、计算函数的近似值01).();f xxx求在
13、点附近的近似值)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)(,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3(ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924.0 2).()0;f xx 求在点附近的近似值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf .,00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3
14、();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(,1)0(nff xffxf)0()0()(.1nx 例例2 2.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5.998)1(03.03 e335.110005.998)1(3)10005.11(1000 30015.0110 )0015.0311(10 .995.9 03.01)2(03.0 e.97.0 3、误差估计、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因
15、素的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：.,的绝对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为aaAaA.的相对误差的相对误差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与aaaAa 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法:将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内.,的相对误差限的相对误差限叫
16、做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末即即又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过测得它的近似值是测得它的近似值是如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.量量y相对误差限为相对误差限为00().yf x间接测量误差0()()yf xf x0()fxx0()xfx00()()xfxf x0yy例例3 3.,005.041.2误差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解则则面积为面
17、积为设正方形边长为设正方形边长为,yx.2xy ,41.2时时当当 x).(8081.5)41.2(22my 41.241.22 xxxy.82.4,005.0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为005.082.4 y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为).(0241.02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081.50241.0%.4.0 五、小结五、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及
18、其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(.10000它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx .0 000000002.,()()(,(),()()()(,().fxyf xxf xdyfxxxyf xxf xx从几何意义上来看是曲线在点处切线的斜率 而微 分是曲线在点处的切线方程在点
19、的纵坐标增量近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x,0时时当当 x1nnd yd dy()()nnnd yfx dx思考题思考题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？思考题解答思考题解答说法不对说法不对.从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线
20、性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念.一、一、填空题：填空题：1 1、已知函数已知函数2)(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自变量么自变量x的始值为的始值为_._.2 2、微分的几何意义是微分的几何意义是_._.3 3、若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时，dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小.4 4、xdxd sin_.5
21、 5、dxedx2_.6 6、xdxd3sec_2.7 7、xexY22,_22dxdedYx .8 8、_)2(arctan2 xed，_ xde.练练 习习 题一题一二、二、求下列的函数的微分：求下列的函数的微分：1 1、12 xxy；2 2、2)1ln(xy ；3 3、21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ；5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy；6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所确定的所确定的 y微分微分.一一、1 1、-2 2；2 2、曲曲线线的的切切线线上上点点的的纵纵坐坐标标的的相相应应增增量量；3 3、高高阶阶；4 4、Cx co
22、s1；5 5、Cex 221；6 6、Cx 3tan31；7 7、xex22,；8 8、xxee4222.二二、1 1、dxx232)1(；2 2、dxxx1)1ln(2 ；练习题一答案练习题一答案3 3、10,101,122xxdxxxdxdy；4 4、dxxx412；5 5、dx3；6 6、dxxy.一、一、填空题：填空题：1 1、利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 计算计算)(xf时，要求时，要求_很小很小.2 2、当当0 x时，由 公 式时，由 公 式dyy 可 近 似 计 算可 近 似 计 算_)1ln(x；_tan x，由此得，由此得_45tan ；_002.1l
23、n.二二、利利用用微微分分计计算算当当x由由 45变变到到0145 ,时时，函函数数xycos 的的增增量量的的近近似似值值(017453.01 弧弧度度).三三、已已知知单单摆摆的的振振动动周周期期glT 2，其其中中980 g厘厘米米/秒秒2 2，l为为摆摆长长（单单位位为为厘厘米米），设设原原摆摆长长为为 2 20 0厘厘米米，为为使使周周期期T增增大大 0 0.0 05 5 秒秒，摆摆长长约约需需加加长长多多少少？练习题二练习题二四四、求求近近似似值值：1 1、136tan；2 2、5002.0arcsin；3 3、3996.五、设五、设0 A，且，且nAB，证明，证明 1 nnnnA
24、BABA，并计算，并计算101000的近似值的近似值.六、已知测量球的直径六、已知测量球的直径D有有 1%1%的相对误差，问用公式的相对误差，问用公式 36DV 计算球的体积时，相对误差有多大？计算球的体积时，相对误差有多大？一、一、1 1、0 xx ；2 2、002.0,01309.0,xx.二、二、0021.021602 .三、约需加长三、约需加长 2.232.23 厘米厘米.四、四、1 1、-0.96509-0.96509；2 2、7430o；3 3、9.9867.9.9867.六、六、3%.3%.七、七、00056.0 (弧度弧度)=)=551 .练习题二答案练习题二答案)(xfy 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x xx0 P 返回近似计算
