1、2013版高考数学一轮复习精品学案：选修系列第五部分 矩阵与变换【高考新动向】一、线性变换与二阶矩阵1考纲点击（1）了解二阶矩阵的概念；（2）了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法；（3）理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即；（4）了解几种常见的平面变换。2热点提示来源:（1）矩阵相等概念的应用；（2）求常见的平面变换公式及其矩阵；（3）求曲线在二阶矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程及其图形；二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1考纲点击（1）了解矩阵与矩阵的乘法的意义，理解矩阵乘法不满足交换律、消去律。会验证二阶矩阵乘法满足结合律；（
2、2）理解逆矩阵的意义、唯一性、存在性和（AB）-1=B-1A-1等简单性质，了解其在变换中的意义；（3）了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；来源:（4）能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；（5）会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性。2热点提示（1）二阶矩阵乘法的运算及其在变换中的应用；（2）逆矩阵的求及其在解二元一次方程组中的应用。三、变换的不变量与矩阵的特征向量1考纲点击（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义；（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），利用矩阵A的特征值、特征向量给出An简单的表示
3、，并能用它来解决问题。2热点提示（1）计算二阶矩阵的特征值、特征向量；（2）利用矩阵的特征值、特征向量表示An。【考纲全景透析】一、线性变换与二阶矩阵1矩阵的相关概念（1）由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵，数a,b,c,d称为矩阵的元素。在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列。矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，表示。（2）二阶矩阵称为零矩阵，简记为0，矩阵称为二阶单位矩阵，记作E2。（3）对于两个二阶矩阵A，B，如果它们的对应元素分别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B，设A=，B=，若A=B，则。2
4、线性变换的相关概念（1）我们把形如的几何变换叫做线性变换，式叫做这个线性变换的坐标变换公式，是在这个线性变换作用下的像。（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换。（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换、，如果对平面内任意一点P，都有（P）=（P），则称这个两个线性变换相等，简记为=，设，所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A=B。注：旋转变换，平行于x轴，y轴的切变变换，对应的二阶矩阵分别是：，是非零常数。3二阶矩阵与平面向量的乘法设A=，=，则A=.4.线性变换的基本性质设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是一个任意实数，（1）性质1 A()=A.A(+
5、)=A+A.（2）定理1 （3）定理2 二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）。二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵1二阶矩阵的乘法一般的，设A=，B=，则AB=对直角坐标系xOy内任意向量，有A（B）=（AB）。2矩阵乘法的性质（1）结合律设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）=（AB）C。（2）二阶矩阵A的方幂的性质3逆变换与逆矩阵（1）一般地，设是一个线性变换，如果存在线性变换，使得=，=，则称变换可逆，并且称是的逆变换。（2）一般地，设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA=AB=E2，则称矩阵A可逆，并且称B是A的逆矩阵。4逆矩阵的性
6、质（1）性质1 设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。（2）性质2 设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且（AB）-1=B-1A-1。5逆矩阵的判定及求法定理：二阶矩阵A=是可逆的，当且仅当detA=ad-bc0,当矩阵A=可逆时，A-1=。6逆矩阵与二元一次方程（1）定理 如果关于变量x,y的二元一次方程组（线性方程组）的系数矩阵A=可逆时，那么该方程组有唯一解。（2）推论 关于变量x,y的二元一次方程组，其中a,b,c,d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式。注：利用矩阵知识解二元一次方程组的一般步骤是（先将二元一次方程组化为的形式
7、，其次判断系数矩形A=是否可逆，若可逆则求，代入求解；若A不可逆，当时，方程组有无数个解，当时，方程组无解。）三、变换的不变量与矩阵的特征向量1矩阵特征值、特征向量的相关概念（1）定义 设矩阵A=，如果存在实数以及非零向量，使得A=，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。（2）一般地，设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数，也矩阵A的属于特征值的特征向量。（3）一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。（4）设矩阵A=，称为矩阵A的特征多项式，方程=0为矩阵A的特征方程。2特征向量的应用（1）设A是一个二阶矩阵，是矩阵A的属于特征值的任意一个特征向
8、量，则An=n(nN*)（2）性质1 设是二阶矩阵A的两个不同特征值，是矩阵A的分别属于特征值的特征向量，对于任意的非零平面向量，设=，则对任意的正整数n，有注：求二阶矩阵特征值和特征向量的步骤是：（1）求出矩阵A的特征多项式;（2）令=0，求出矩阵A的特征值；（3）分别就列出相应的二元一次方程组，求出对应的特征向量。【热点难点全析】一、 线性变换与二阶矩阵（一）矩阵相等的应用来源:例已知A=，B=，若A=B，求，。思路解析：由矩阵相等的定义，知矩阵A，B对应元素相等，列出方程组后求解。解答：由矩阵相等的定义知，解得（二）二阶矩阵与平面向量乘法的应用例在平面直角坐标系xOy中，设椭圆在矩阵对应
9、的变换作用下得到曲线F，求F的方程。思路解析：由已知矩阵可得坐标变换公式，从而得到椭圆上点与曲线上F上点坐标间的关系，再代入椭圆方程即可得F的方程。解答：设是椭圆上任意一点，点P在矩阵A=的作用下的像为。A=，坐标变换公式点P在椭圆上，故，来源:，曲线F的方程为。（三）线性变换性质的应用例二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变成点（-1，-1）与（0，-2）。（1）求矩阵M；（2）设直线在变换M作用下得到了直线求直线的方程。思路解析：由已知条件下可利用待定系数法求矩阵M，再通过矩阵M对应的坐标变换公式确定直线与直线上点坐标间的关系，即可求直线的方程。解答：二、变换的复合与二阶
10、矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵（一）与矩阵乘法的相关问题例ABC的顶点为A（0，0），B（0，0），C（0，1）。如果将三角形先后经过和两次变换变成，求的面积。思路解析：先将两次变换转化成矩阵的乘法，再利用矩阵与向量的乘法求出变换后的点的坐标，最后用三角形的知识求面积。解答：（二）与逆矩阵（变换相关的问题）例已知矩阵A=。（1）求逆矩阵A-1；（2）若二阶矩阵X满足AX=，试求矩阵X。思路解析：利用可以求出A-1，再利用AA-1=E2，可求出二阶矩阵X。解答：（1）=-10。矩阵A是可逆的，且A-1=（2）AX=，A-1 AX= A-1，X=。（三）用矩阵知识解二元一次方程组例用矩阵知识解二元一次
11、方程组思路解析：用二阶行列式可以表示二元一次方程组的一般解，计算出相应量后代入即可。用逆矩阵从几何变换的角度也可求解二元一次方程组。解答：二元一次方程组可化为其系数矩阵为A=该方程组的矩阵形式为A=，方程组有唯一解=A-1，A-1=代入上式得= A-1= =，原方程组的解为。三、变换的不变量与矩阵的特征向量（一）二阶矩阵的特征值、特征向量的求法例设A=，求A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。思路解析：求特征向量要先求出特征多项式及特征方程的根（特征值），再将特征值代入方程（组），求出一组非零解，即得对于相应特征值的特征向量。解答：矩阵A的特征多项式为（二）的简单表示例已知矩阵，试计算。
12、思路解析：利用特征值和特征向量，可以方便地计算多次变换的结果，应用公式时要熟悉各个系数的意义，并分别求出代入。解答：设矩阵的特征多项式为（三）矩阵的简单应用例工业发展时常伴有环境污染，怎样减少甚至消除环境污染是很重要的问题。某研究机构提出了有关污染和工业发展的工业增长模型。设P是目前的污染程度，D是目前的工业发展水平，和分别是5年以后的污染程度和工业发展水平。在许多发展中国家，工业发展模型实际上是：=P+2D，=2P+D。（1）设和分别是第二个5年以后的污染程度和工业发展水平，试求、与P、D的关系式；（2）某发展中国家目前的污染程度和工业发展水平都是1，设第n个5年以后，污染程度和工业发展水平
13、分别为和，试求、，并说明污染程度和工业发展的趋势。思路解析：由、表达式可以得相应的变换矩阵，再将实际问题转化成矩阵的运算。解答：（1）= P+2D，=2P+D，设A=，（2）说明污染程度和工业发展水平同时以3倍的速度发展，高水平工业能提高人们的生活水平，但处理不当，随之加重的环境污染会造成不堪设想的后果，这个结果告诫人们在发展工业的同时，一定要注意减轻污染，治理污染。【高考零距离】1. （2012江苏高考数学科21）B选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值【解题指南】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。【解析】，。来源:，。 矩
14、阵的特征多项式为。 令，解得矩阵的特征值。2.（2011福建卷理科21）（1）设矩阵M=（其中a0，b0）.（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：，求a，b的值.【答案】（I）设矩阵M的逆矩阵，则.又，所以所以即故所求的逆矩阵（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵所对应的线性变换作用下得到点则即又点在曲线上，所以则为曲线C的方程.又已知曲线C的方程为，故，又，所以.3.（2011江苏高考21B）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，向量，求向量，使得【答案】设，由得：，4（2010上海文数）3.行列式的值是 0.5
15、 。解析：考查行列式运算法则=5（2010福建理数）（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=，且，（）求实数的值；（）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。解答：【解析】（）由题设得，解得；（）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线上的两（0，0），（1，3），由，得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为。6.（2010江苏卷）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零
16、实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求k的值。解析 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。解：由题设得由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。计算得ABC面积的面积是1，A1B1C1的面积是，则由题设知：。所以k的值为2或-2。来源:【考点提升训练】一、选择题1.设A，B，若ABBA，则k_.解析：AB，BA，由ABBA，k3.答案：32.已知N，则N2_.解析：N2.答案：3函数yx2在矩阵M 变换作用下的结果为_解析：xx，y4y，代入yx2，得y
17、x2.答案：yx24向量(左)乘向量的法则是(C )A. B. 来源:数理化网C. D. 5变换的几何意义为( B )A.关于y轴反射变换 B. 关于x轴反射变换来源:C. 关于原点反射变换 D.以上都不对6点通过矩阵和的变换效果相当于另一变换是( D )A. B. C. D. 7下列说法中错误的是( C )A.反射变换,伸压变换,切变都是初等变换 B.若M,N互为逆矩阵,则MN=IC.任何矩阵都有逆矩阵 D.反射变换矩阵都是自己的逆矩阵8结果是( A )A. B. C. D. 9关于矩阵乘法下列说法中正确的是( B )来源:A.不满足交换律,但满足消去律 B.不满足交换律和消去律C.满足交换
18、律不满足消去律 D.满足交换律和消去律10矩阵的逆矩阵是( A )A. B. C. D. 二、填空题11. 设数列an、bn满足an12an3bn，bn12bn，且满足M，二阶矩阵M为_解析：依题设有，令A，则MA4，A2.MA4(A2)2.答案：12. 设a，bR，若矩阵A把直线l：xy10变成为直线m：xy20，则a_，b_.解析：得代入xy20，得a2，b1.答案：2113.将点（2，4）先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转90角所得的点坐标为 .答案 （-8，2）14.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换，再将它做关于直线
19、y=x对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 来源:15.若矩阵A=把直线l:2x+y-7=0变换成另一直线l:9x+y-91=0,则a= ,b= .答案 0 -116.矩阵M=的所有特征向量为 .答案 k和k，（k0）三、解答题17在直角坐标系中，OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M，N.解析：MN，.可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O(0,0)，A(2,0)，B(2，1)可知OAB的面积为1.18（本题13分）已知矩阵，定义其转置矩阵如下：（1） 若，写出A的转置矩阵，并求行列式和，两者有什么关系？（2） 若表示的方程组为，请写出表示的方程组解答：（1）由定义可知（2）表示的方程组为
