1、专题复习专题复习 与圆的切线有关的证明与计算与圆的切线有关的证明与计算仁德一中仁德一中 保德礼保德礼切线的性质切线的性质 定理：圆的切线定理：圆的切线_于经过切点的半径于经过切点的半径技巧：技巧：圆心与切点圆心与切点的连线是常用的辅助线的连线是常用的辅助线切线的判定切线的判定 垂直垂直 垂直垂直 有交点，连半径，证垂直有交点，连半径，证垂直1.1.如图如图9 9所示，点所示，点O O在在APBAPB的平分线上，的平分线上，O O与与PAPA相切相切于点于点C.C.（1 1）求证：直线）求证：直线PBPB与与O O相切相切（2 2）POPO的延长线与的延长线与O O交于点交于点E E，若，若O
2、O的半径为的半径为3 3，PC=4.PC=4.求弦求弦CECE的长的长（1 1）证明）证明:过点过点O O作作ODPB,ODPB,连接连接OC.OC.APAP与与O O相切相切,OCAP.,OCAP.又又OPOP平分平分APB,OD=OC.APB,OD=OC.PBPB是是O O的切线的切线.CFOPCPOCSOCP2121（2）解:过C作CFPE于点F.522CPOP在在RtRtOCPOCP中，中，OP=OP=512CF在RtCOF中，2295OFCOCF524593FE在在RtRtCFECFE中，中，551222EFCFCE【教材原型教材原型】如图，如图，O O的切线的切线PCPC交直径交直
3、径ABAB的延长线于点的延长线于点P P，C C为切点，为切点，若若P P3030，O O的半径为的半径为1 1，则，则PBPB的长为的长为_【解析解析】连结连结OC，因为，因为PC为为 O的切的切线，所以线，所以PCO90，在在RtOCP中，中，OC1，P30，所以所以OP2OC2，所以，所以PBOPOB211.【思想方法】(1)(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直。练习：如图，练习：如图，ABAB是是O O 的直径，的直径，
4、O O交交BCBC的中点于的中点于D D，DEDEACAC.求证：求证：DEDE与与O O相切相切.一题多解一题多解变式训练变式训练 规范书规范书写写(昆明）如图，已知昆明）如图，已知ABAB是是O O的直径，过点的直径，过点E E的直线的直线EFEF与与ABAB的延长线交于点的延长线交于点F F，ACACEFEF，垂足为，垂足为C C，AEAE平分平分FACFAC。求证：求证：CFCF是是O O的切线。（的切线。（5 5分）分）（1）证明：连接）证明：连接OE1分分AE平分平分FACCAE=OAE又又OA=OE，OEA=OAE.2分分 CAE=OEAOEAC.3分分OEF=ACF又又ACEF
5、OEF=ACF=90OECF.4分分又又点点E在在 O上上CF是是 O的切线的切线.5分分看看你能得几分？看看你能得几分？变式变式（广州）（广州）如图，如图，C=90o，BD平分平分ABC，DEBD，设，设 O是是BDE的外接圆。的外接圆。求证：求证：AC是是 O的切线。的切线。DEBD，设，设 O是是BDE的外接圆的外接圆变式训练变式训练 例：如图例：如图 ，已知：，已知：为为 角平分线上一点，角平分线上一点，于于 ，以，以 为圆心，为圆心，为半径作圆。为半径作圆。求证：求证：是是 的切线。的切线。DODOABOD OOACBAC无交点，作垂直，证半径无交点，作垂直，证半径证明：过证明：过O
6、作作OEAC于于E AO平分平分BAC ODAB OEOD OE是是 O的半径的半径 AC是是 O的切线的切线E【教材原型教材原型】已知：如图，已知：如图，A A是圆是圆O O外一点，外一点，AOAO的延长线交的延长线交O O于点于点C C，点，点B B在圆上，且在圆上，且ABABBCBC，A A3030，求证：直线求证：直线ABAB是是O O的切线的切线证明证明：连结：连结OB，OBOC，ABBC，A30，OBCCA30，AOBCOBC60.ABO180(AOBA)180(6030)90，ABOB，AB为为 O的切线的切线【思想方法思想方法】证明圆的切线常用两种方法证明圆的切线常用两种方法“
7、连半径，证垂连半径，证垂直直”或者或者“作垂直，证半径作垂直，证半径”【中考变形中考变形】1 1如图，点如图，点C C是是O O的直径的直径ABAB延长线上的一点，延长线上的一点，且有且有BOBOBDBDBCBC.(1)(1)求证：求证：CDCD是是O O的切线；的切线；(2)(2)若半径若半径OBOB2 2，求，求ADAD的长的长解解：(1)证明：连结证明：连结OD，BOBC，BD为为ODC的中线的中线又又DBBC，ODC90.又又OD为为 O的半径，的半径，CD是是 O的切线；的切线；(2)AB为为 O的直径，的直径，BDA90，BOBD2，AB2BD4，2.2.（20192019昆明）如
8、图，昆明）如图，AHAH是是O O的直径，的直径，AEAE平分平分FAHFAH，交，交O O于点于点E E，过点，过点E E的直线的直线FGAFFGAF，垂足为，垂足为F F，B B为直径为直径OHOH上一点，点上一点，点E E、F F分别在矩形分别在矩形ABCDABCD的边的边BCBC和和CDCD上上（1 1）求证：直线）求证：直线FGFG是是O O的切线；的切线；（2 2）若）若CD=10CD=10，EB=5EB=5，求，求O O的直径的直径证明：（证明：（1 1）如图）如图1 1，连接，连接OEOE，OA=OEOA=OE，EAO=AEOEAO=AEO，AEAE平分平分FAHFAH，EAO
9、=FAEEAO=FAE，FAE=AEOFAE=AEO，AFOEAFOE，AFE+OEF=180AFE+OEF=180，AFGFAFGF，AFE=OEF=90AFE=OEF=90，OEGFOEGF，点点E E在圆上，在圆上，OEOE是半径，是半径，GFGF是是O O的切线的切线（2 2）四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，CD=10CD=10，AB=CD=10AB=CD=10，ABE=90ABE=90，设设OA=OE=xOA=OE=x，则，则OB=10OB=10 x x，在在RtRtOBEOBE中，中，OBE=90OBE=90，BE=5BE=5，由勾股定理得：由勾股定理得：OBOB2 2
10、+BE+BE2 2=OE=OE2 2，（1010 x x）2 2+5+52 2=x=x2 2，O O的直径的直径为为【中考预测中考预测】如图，如图，O O的直径的直径ABAB为为10 cm10 cm，弦，弦BCBC为为6cm6cm，D D，E E 分别是分别是ACBACB的平分线与的平分线与O O，ABAB的交点，的交点，P P为为ABAB延长线上一点，且延长线上一点，且PCPCPE.PE.(1)(1)求求ACAC，ADAD的长；的长；(2)(2)试判断直线试判断直线PCPC与与O O的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由解解：(1)如图如图，连结，连结BD，AB是是O O直径，直径，ACBADB90.在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，(2)(2)直线直线PCPC与与O O相切相切理由：如图，连结理由：如图，连结OCOC，OCOCOAOA，CAOCAOOCAOCA.PCPCPEPE，PCEPCEPECPEC.PECPECCAECAEACEACE，PCBPCBECBECBCAECAEACEACE，CDCD平分平分ACBACB，ACEACEECBECB.PCBPCBCAECAE.PCBPCBACOACO.ACBACB9090，OCPOCPOCBOCBPCBPCBACOACOOCBOCB9090，OCOCPCPC，直线直线PCPC与与O O相切相切
