1、高耸结构高耸结构10-1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度1、结构动力计算的特点、结构动力计算的特点 动力荷载与静力荷载的区别动力荷载与静力荷载的区别 “静力荷载静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。或是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。或者荷载虽者荷载虽随时间变化但变得很慢，对结构的影响与静力荷载比相差甚徵随时间变化但变得很慢，对结构的影响与静力荷载比相差甚徵，这，这类荷载类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计对结构产生的惯性力可以忽略不计，仍属于静力荷载。由它所引起的，仍属于静力荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。内力和变形都是确定的。
2、“动力荷载动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载荷载对结构产生的惯性力不能忽略对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。动力计算与静力计算的的区别动力计算与静力计算的的区别 两者都是建立平衡方程，但动力计算，根据达朗伯原理利用动静法，建两者都是建立平衡方程，但动力计算，根据达朗伯原理利用动静法，建立的是形式上的平衡方程，力系中包含了惯性力；考虑的是瞬间平衡，荷载、立的是形式上的平衡
3、方程，力系中包含了惯性力；考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程平衡方程是微分方程。动力计算的内容：动力计算的内容：研究结构在动研究结构在动力力荷载作用下的动力反应（荷载作用下的动力反应（内力、位移、内力、位移、速度、加速度及惯性力等速度、加速度及惯性力等）的计算原理和方法。）的计算原理和方法。FP(t)tFP(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载一般周期荷载2、动力荷载分类、动力荷载分类 动力计算涉及到内外两方面的因素：动力计算涉及到内外两方面的因素：1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；）确定动
4、力荷载（外部因素，即干扰力）；2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等）；阻尼等等）；3）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。按变化规律及其作用特点可分为：按变化规律及其作用特点可分为：周期荷载：周期荷载：荷载随时间作周期性变化。荷载随时间作周期性变化。最简单也是最重要的一种称为最简单也是最重要的一种称为简谐荷载简谐荷载，荷荷载载FP(t)随时间随时间t 的变化规律可用的变化规律可用正弦或余弦函数正弦或余弦函数表示，如转动电机的偏心力。表示，如转动电机的偏
5、心力。其他的周期荷载可称为其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载非简谐性的周期荷载。随机荷载：随机荷载：冲击荷载：冲击荷载：FPtFP(t)ttrFPtrFP短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载）短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载）荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或称为称为随机荷载随机荷载（如地震荷载、风荷载）。（如地震荷载、风荷载）。3、动力计算中体系的自由度动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度体系的振动自由度。实
6、际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：困难，常作简化如下：集中质量法集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。自由度问题。mm m梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振动厂房排架水平振动时的计算简图时的计算简图单自由度体系单自由度体系2个自由度个自由度y2y12个自由度个自由度自由度与质量数不一定相等自由度与质量数不一定相等4个自由度个自由度m1m2m32个自由度个自由度水平振
7、动时的计算体系水平振动时的计算体系多自由度体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块构架式基础顶板简化成刚性块(t)v(t)u(t)(xmy(x,t)x无限自由度体系无限自由度体系1y2y1y1y2yEI1y2yEIm1y1y2yEI1y2yEIm 广义坐标法：广义坐标法：假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表示。如具有分布质量示。如具有分布质量 m 的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠度曲线可用三角级数来表示：度曲线可用三角级数来表示：1(,)()si
8、nnkkk xy x ta tl用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。lxksin ak(t)称广义坐标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，若式中所称广义坐标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，若式中所需确定的参数需确定的参数a k 只取有限项，则简支梁被简化为有限只取有限项，则简支梁被简化为有限x yx2112()()nny xxaa xa xy(x,t)自由度体系。自由度体系。(此法可将无限自由度体系简化为有限此法
9、可将无限自由度体系简化为有限自由度体系自由度体系)这样，就简化为有限自由度体系。这样，就简化为有限自由度体系。如右图所示烟囱原来也是一个具有无限自由度的如右图所示烟囱原来也是一个具有无限自由度的体系，由于底部是固定端，因此体系，由于底部是固定端，因此 x=0 处，挠度处，挠度 y 及转及转角角 应为零。应为零。根据上述位移边界条件，挠度曲线近根据上述位移边界条件，挠度曲线近似设为似设为dydx 有限元法：有限元法：有限单元法可以看作为广有限单元法可以看作为广义坐标的一种特殊应用。将结义坐标的一种特殊应用。将结构分成若干个单元。单元的结构分成若干个单元。单元的结点位移作为基本未知量（广义点位移作
10、为基本未知量（广义坐标）。整个结构的位移曲线坐标）。整个结构的位移曲线则借助于给定的形状函数叠加则借助于给定的形状函数叠加而得。而得。m l/5l/5l/5l/5l/5m l/5m l/5m l/55l/5432105432101(x)y1=12(x)5432101=1 如图如图10-9a中，梁分为中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角和转角）作为）作为广义坐标。在图广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数中取中间四个结点的八个位移参数 y1、1，y2、2，y3、3，y4、4 作广义坐标。作广义坐标。11124748()()()()()y
11、xyxxyxx 通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和和 c中分别中分别给出结点位移参数给出结点位移参数 y1 和和1 相应的形状函数相应的形状函数1(x)和和2(x)。梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：第第10章章 所有习题动所有习题动力自由度数的判断，力自由度
12、数的判断，写在课本上写在课本上)()(tFtymp)(tFp)(ty )(tpF)()(tymtFp 0)()(tymtFp)(tFp)(tym n 次超静定结构次超静定结构0X.XX.0X.XX0X.XXnPnnn22n11nP2nn2222121nPnn1212111基本结构在荷载作用下发生的 沿Xi方向的 位移 iP 基本结构在Xj=1作用下发生的沿Xi方向的 位移ij假设原结构沿Xi方向的位移为零ij位移的地点位移的地点产生位移的原因产生位移的原因n 次超静定结构次超静定结构0X.XX.0X.XX0X.XXnPnnn22n11nP2nn2222121nPnn12121111）,iPij
13、的物理意义；的物理意义；2）由位移互等定理）由位移互等定理jiij；3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；ij4）柔度系数及其性质）柔度系数及其性质nn2n1nn22221n11211.主系数主系数0ii副系数副系数000ij5)最后内力最后内力Pnn2211MXM.XMXMMF=111)()()(11tymtFtyP EIl3311)()(3)(3tFtylEItymp 柔度法步骤：柔度法步骤：1.1.在质量上沿位移正向加惯性力；在质量上沿位移正向加惯性力；2.2.求外力和惯性力引起的位移；求外力和惯性力引
14、起的位移；3.3.令该位移等于体系位移。令该位移等于体系位移。EIl)(tFp)(tFP)(tym 柔度法实质：柔度法实质：从从变形协调角度建立运动变形协调角度建立运动微分方程微分方程,思路类同于力法思路类同于力法方程的建立。方程的建立。二、刚度法二、刚度法EIl)(ty)(tFP)(tym)()(11tFtykymp 3113lEIk1:注意到1111k刚度法步骤：刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移求发生位移y所需之力；所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。令该力等于体系外力和惯性力。111ky)(11tyk柔度法步骤：柔度法步骤：1.
15、在质量上沿位移正向加惯性力；在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。令该位移等于体系位移。刚度法实质：刚度法实质：从从静力平衡角度建立运动静力平衡角度建立运动微分方程微分方程,思路类同于位移思路类同于位移法方程的建立。法方程的建立。柔度法实质：柔度法实质：从从变形协调角度建立运动变形协调角度建立运动微分方程微分方程,思路类同于力法思路类同于力法方程的建立。方程的建立。)()()(11tymtFtykp 三、列运动方程例题三、列运动方程例题(1)(1)例例1.1.EIl)(tFPEIl)(ty)(tym )(tFP11F=1l
16、EIl32311)(1)(23)(3tFmtymlEItyP)()()(11tFtymtyp 将系数代入并整理后将系数代入并整理后:Ptymty111)()(例例2.2.)(ty)(tym)(tP11=1l)(tyEIl)(tPEIl/2l/2P1FP(t)EIltFPP16)(31FPl/4将系数代入并整理后将系数代入并整理后:)(323)(23)(3tFmtymlEItyp 柔度法步骤：柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。EIl32311)(323111tFmppk11 1+k12 2+k1n n+F1P=0 k21 1+k2
17、2 2+k2n n+F2P=0 kn1 1+kn2 2+knn n+FnP=0 nnnnnnkkkkkkkkk.212222111211具有具有n个独立结点位移的超静定结构：个独立结点位移的超静定结构：位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。刚度矩阵中的系数称为刚度系数：对称方阵主系数0iik 副系数000ijjikk ijk约束的地点产生反力的原因结构的结构的刚度矩阵刚度矩阵基本结构基本结构j处附加约束发处附加约束发生单位位移在生单位位移在i处产生的处产生的约束反力约束反力层间侧移刚度层间侧移刚度l
18、EIEIl1EI)(tFp13/12lEI3/12lEI 对于带刚性横梁的刚架对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架剪切型刚架),),当两层之间发生相对单位水平位移时当两层之间发生相对单位水平位移时,两两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度层的层间侧移刚度.324lEIk k111111k2kEIl1EIlEIEIEI1EI1k?1k?2k32124lEIkkk层间侧移刚度层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架剪切型刚架),),当两层之间发生相对单位水平位移时当两层之间发生相对单位水平位移时,两两层之间的所有柱子中的剪力之和
19、称作该层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度层的层间侧移刚度.324lEIk k111111k2kEIl1EIlEIEIEI1EI1k?1k?2k32124lEIkk2kEIl1EIlEIEIEI1EI1k?1k?2k32136lEIkk三、列运动方程例题三、列运动方程例题(1)(1)例例3.3.311/24lEIkEIl)(tFpEIl1EI)(tym)(ty)(tFP11k13/12lEI11k3/12lEI)()()(11tymtFtykp)()(24)(3tFtylEItymp 经整理后经整理后,得得:三、列运动方程例题三、列运动方程例题(1)(1)例例4.4.EIl/2)
20、(tFpEI1EIl/2)(ty)(tFP)(tym 0)(tR11k1)(tFP)(tym)(1tRP0)()()(111tRtRtykP311/24lEIk2)(1tFymRpP)(ty)(tFP)(tR)(tym 三、列运动方程例题三、列运动方程例题(1)(1)列运动方程时可不考虑重力影响列运动方程时可不考虑重力影响例例5.5.EIl48311)()(48)(3tFtylEItymP)(ty-F-FP P(t)(t)引起的动位移引起的动位移st-重力引起的位移重力引起的位移质点的总位移为质点的总位移为sttytY)()(加速度为加速度为)()(tytY )(tFPEIl/2l/2W)(t
21、yst)(tym 111)()()(11tymWtFtyPst 11Wst)()()(11tymtFtyP 例例6 6 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程 0AMy(t)2y(t)3y(t)(2tym yk2)(3tym 033222lymlyklym 0)(4)(11tkytym EI2mlllEI2mlllEI 2mlll思考题思考题?例例7 7 建立图示体系的运动方程建立图示体系的运动方程)(tlm)(tFP)(4til1EIlEI)(tFP)(t)(tlm AB 0BM043221)(illlmltFP ltFilmP)(4313)(tFP)(t J)(tFP)(4ti J
22、0BM04)(iJltFP 231llmJ其中方法方法2:2:方法方法1:1:三、列运动方程例题三、列运动方程例题(2)(2)例例8.8.EIl243432211)()()()(221211111tymtymtPty )()(11tymtP 1)(tPEIl/3l/3l/32)(1ty)(2ty)(11tym )(22tym 1112111222)(22tym =)()()()(222211212tymtymtPty 2121222112112221121121000yymmPyy 简记为简记为 ymPy 位移位移向量向量柔度矩阵柔度矩阵荷载向量荷载向量质量质量矩阵矩阵加加速速度度向向量量EI
23、l486732112例例9.9.1)(1tP2k1EI1EI1k)(2tP2)(1ty)(2ty)(22tym )(1tP)(2tP)(1ty)(2ty)(11tym 1y)(1tR)(2tR)(1ty)(2ty11k21k112k22k12y=2121111111ykykymPR 2221212222ykykymPR 212221121121212100yykkkkyymmPP Pykym 刚度矩阵刚度矩阵11k21k2k1k2111kkk221kk212kk222kk12k22k2k 22221kkkkkk例例9.9.1)(1tP2k1EI1EI1k)(2tP2)(1ty)(2ty)(22
24、tym )(1tP)(2tP)(1ty)(2ty)(11tym 111ymP)00(2121212221121121yymmPPyy 111/1 k121/1 k112/1 k2122/1/1kk Ik1112112122222ymP=+22212111111ymPymPy 22222111212ymPymPy )(ymPy 21111/1/1/1/1/1kkkkk)(2tP)(122yyk11yk)(22tym )(11tym )(1tP)()(12211111yykykymtP)()(122222yykymtP 例例9.9.1)(1tP2k1EI1EI1k)(2tP2)(1ty)(2ty)
25、(22tym )(1tP)(1ty)(2ty)(11tym )(2tP10-2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动自由振动：自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。体系在振动过程中没有动荷载的作用。静平衡位置静平衡位置m 获得初位移获得初位移ym 获得初速度获得初速度 y自由振动产生原因：自由振动产生原因：体系在初始时刻（体系在初始时刻（t=t=0 0）受到外界的干扰。）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2 2、它是分析多
26、自由度体系的基础，包含了许多基本概念。、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼 .1 1、自由振动微分方程的建立、自由振动微分方程的建立方法：方法：达朗伯原理达朗伯原理应用条件：应用条件：微幅振动（线性微分方程）微幅振动（线性微分方程）刚度法：刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。mk弹簧模型弹簧模型0(10 1)myky 由平衡位置计量。以位移为未
27、知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。刚度法。yy y y y my kym 如图所示的悬臂立柱顶部有一重物，质量为如图所示的悬臂立柱顶部有一重物，质量为m。设柱本身质量比。设柱本身质量比 m 小得小得多，可忽略不计。因此，体系只有一个自由度。多，可忽略不计。因此，体系只有一个自由度。设由于外界干扰，质点设由于外界干扰，质点 m 离开离开静止的平衡位置。干扰消失后，由静止的平衡位置。干扰消失后，由于柱弹性力的影响，质点于柱弹性力的影响，质点m 沿水平沿水平方向产生自由振动，在任一时刻方向产生自由振动，在任一时刻 t质点的水平位
28、移为质点的水平位移为 y(t)。取质量取质量 m 在振动中位置为在振动中位置为 y 时的状态时的状态作隔离体，其上作用有作隔离体，其上作用有惯性力惯性力 ,与加速度与加速度 反向；反向；弹性力弹性力 与位移与位移 反向反向。()ky t()my ty y动力平衡法（达朗伯原理）：动力平衡法（达朗伯原理）：考虑质点上力系的平衡考虑质点上力系的平衡 柔度法柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。FI (t)()()Iy tF tmy 0myyk1可得与刚度法相同的方程可得与刚度法相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。刚度法常用于刚
29、架类结构，柔度法常用于梁式结构。mky惯性力：惯性力：()()IF tmy t 2、自由振动微分方程的解、自由振动微分方程的解0myky改写为改写为0ymky 02yy 其中其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：12()sincos()y tCtCtd积分常数积分常数C1，C2 由初始条件确定。由初始条件确定。12()sincos()y tCtCtd设设 t=0 时：时：vyyy)0()0(vCyC12（d）式可以写成式可以写成()cossin(103)vy tytt 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移 y 引起的余弦运动和由初速度
30、引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令令cos,sinAvAy(103)式改写成式改写成()sin()(104)y tAt它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A 和和 可由下式确定可由下式确定221(105)vAyabytgv、振幅振幅相位角相位角mky()cossin(103)vy tytt()sin()(104)y tAty0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsin3、结构的自振周期、结构的自振周期由式由式()sin()y tAt及图，可见位移方程是
31、一个周期函数。及图，可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周周 期：期：2T工程频率：工程频率：1()2fHzT圆频率圆频率：Tf22计算频率和周期的几种形式：计算频率和周期的几种形式：stgWgmmk1gkmTst22频率和周期的讨论：频率和周期的讨论：只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；与与m 的平方根成正比，与的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；成反比，据此可改变周期；是结构动力特性的重要数量标志。是结构动力特性的重要数量标志。l例例10-110-1、计算图示结构的频率和周期。计算图示结构的频率和周期。13212()()24
32、23448llllEIEI3148,EImml32248mlTEI 计算竖向振动周期计算竖向振动周期HE,I1323HHWWlTgEIgE,A1V22stVWlTgEAgWlA,E,ImEI2l2l14l 计算水平振动周期计算水平振动周期例例10-2、图示结构杆顶有重物，其重量为图示结构杆顶有重物，其重量为W，分别求水平和竖向振动的周期。，分别求水平和竖向振动的周期。312()()233HllllEIEIstWlEAIIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI例例10-310-3、计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。312hEI312hEI由截面平衡条件：由截面平衡条件：
33、324hEIk 324mhEImkEImhT22326hEI 0AMy(t)2y(t)3y(t)(2tym yk2)(3tym 033222lymlyklym 0)(4)(11tkytym EI2mlllEI2mlllEIm,3mlllmk114例例 计算图示体系的自振频率。计算图示体系的自振频率。练习练习10.1：结构柔度系数或刚度系数的求解。结构柔度系数或刚度系数的求解。315EIkh23112315177()222 3 163 32896768lllllllEIEIEI 1kEIh11532lmEI2l2l2l2l2l316lmhEI EIEI11k26EIh312hEI312hEIEI
34、h23EIh33EIh33EIh26EIh312lEI一端铰结的杆的一端铰结的杆的侧移刚度为：侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的两端刚结的杆的侧移刚度为：侧移刚度为：1l/8l/8练习练习10-210-2、图示三根单跨梁，图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。质量，试比较三者的自振频率。解：解：求求柔度系数柔度系数EIl4831l/81l/2311121()()2223838192lllllEIEIEIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据
35、此可得据此可得：1?2?3=1?1.512?2 结构约束越强结构约束越强,其刚度越大其刚度越大,刚度越大刚度越大,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。mEI2l2lmEI2l2lm2l2l习题习题10-3,10-410-3,10-4IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI例、例、计算图示刚架的频率和周期。计算图示刚架的频率和周期。312hEI312hEI由截面平衡条件：由截面平衡条件：324hEIk 324mhEImk EImhT22326hEIk1例、例、求图示结构的自振圆频率。求图示结构的自振圆频率。解法解法1 1：求：求 k=1/hMBA=kh=MBCklhmIEIBACl
36、hEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 1解法解法2 2：求：求 EIlhhlhEI33221221131mlhEImh例、例、求图示结构的自振圆频率求图示结构的自振圆频率 0AMy(t)2y(t)3y(t)(2tym yk2)(3tym 033222lymlyklym 0)(4)(11tkytym EI2mlllEI2mlllmk114例例.质点重质点重W,W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期.EIkl11k111kk33lEI解解:3113lEIkk gWm/gWlEIkmk3113弹簧的并联与串联弹簧的并联与串联（1 1）弹簧并联）弹簧并联Fk 11Fk 2221kkk （2 2）弹簧串联）弹簧串联,kkkkk1212121211111K K 发生单位位移所需施加的力发生单位位移所需施加的力 单位力作用下质点发生的位移单位力作用下质点发生的位移例、求图示结构的自振圆频率。设弹簧垫的刚度系数例、求图示结构的自振圆频率。设弹簧垫的刚度系数EIlEIlEIl485481233321 3112lEIk 35481mlEIm 解解:例、计算图示刚架的频率。（忽略柱子的质量）例、计算图示刚架的频率。（忽略柱子的质量）解解:321kkkk 333363hEIhEIhEI 312hEI 362mhEImk
