1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国课标1）理科数学解析 第卷一选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A=|，B=，则=.-2,-1 .-1,2） .-1,1 .1,2）【答案】：A【解析】：A=|=，B=，=，选A.2.=. . . .【答案】：D【解析】：=，选D.3.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数【答案】：C【解析】：设，则，是奇函数，是偶函数，为奇函数，选C.4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为. .3
2、 . .【答案】：A【解析】：由：，得，设，一条渐近线，即，则点到的一条渐近线的距离=，选A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率. . . .【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：一天一人一天三人有种；每天2人有种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为；选D. 6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点
3、作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M作MDOP于，则 PM=，OM=,在中，MD=，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=. . . .【答案】：D【解析】：输入；时：；时：；时：；时：输出 . 选D.8.设，且，则. . . .【答案】：【解析】：，即，选B9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：，：,：，：.其中真命题是 .， .， .， .，【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设，即，当直线过时，命题、真命题，选C. 10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，
4、若，则=. . .3 .2【答案】：C【解析】：过Q作QM直线L于M，又，由抛物线定义知选C11.已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）【答案】：B【解析1】：由已知，令，得或，当时，；且，有小于零的零点，不符合题意。当时，要使有唯一的零点且0，只需，即，选B【解析2】：由已知，=有唯一的正零点，等价于有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，由，要使有唯一的正零根，只需，选B12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的
5、长度为. . .6 .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，选C第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)【答案】：20【解析】：展开式的通项为，的展开式中的项为，故系数为20。14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .【答案】：A
6、【解析】：丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市三人同去过同一个城市应为，乙至少去过，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，可判断乙去过的城市为.15.已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .【答案】：【解析】：，O为线段BC中点，故BC为的直径，与的夹角为。16.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .【答案】：【解析】：由且 ，即，由及正弦定理得：，故，三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.
7、【解析】：()由题设，两式相减，由于，所以 6分（）由题设=1，可得，由()知假设为等差数列，则成等差数列，解得；证明时，为等差数列：由知数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，（），因此，存在存在，使得为等差数列. 12分18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似
8、为样本方差.(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：12.2.若，则=0.6826，=0.9544.【解析】：() 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 6分（）（）由()知，从而 9分（）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知，所以 12分19. (本小题满分12分)如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.【解析】：()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，
9、所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又，故 6分（）因为且O为的中点，所以AO=CO=又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.20. (本小题满分12分) 已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.【解析】：() 设()，由条件知，得= 又，所以a=2
10、=， ,故的方程. .6分（）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 将代入，得，当，即时，从而= +又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ，设，则，当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. 12分21. (本小题满分12分)设函数，曲线在点（1，处的切线为. ()求； （）证明：.【解析】：() 函数的定义域为，由题意可得()，故 6分（）由()知，(，从而等价于设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递减，在()单调递增，从而()在()的最小值为(. 8分设函数()，则，所以当()时，()，当()时，()，故()在()单调递增，在
11、()单调递减，从而()在()的最小值为(. 综上：当时，即. 12分请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22.（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE.()证明：D=E； （）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形.【解析】：.() 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得，CBE=E ,所以D=E 5分（）设BCN中
12、点为，连接MN,则由MB=MC=,知MNBC 所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OMAD， 即MNAD，所以AD/BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=E=由()（1）知D=E， 所以ADE为等边三角形 10分23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.()写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.【解析】：.() 曲线C的参数方程为： （为参数）， 直线l的普通方程为： 5分 （）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，则+-，其中为锐角且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 10分24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲若，且.() 求的最小值；（）是否存在，使得？并说明理由.【解析】：() 由，得，且当时等号成立，故，且当时等号成立，的最小值为. 5分（）由，得，又由()知，二者矛盾，所以不存在，使得成立. 10分
