1、2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算2.4 2.4 平面力偶平面力偶2 2 平面力系平面力系2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡 按照力系中各力的作用线是否在同一平按照力系中各力的作用线是否在同一平面来分，力系可分为：面来分，力系可分为：平面力系和空间力系平面力系和空间力系汇交力系、平行力系和任意力系汇交力系、平行力系和任意力系 按照力系中各力的作用线是否相交、平按照力系中各力
2、的作用线是否相交、平行来分，力系可分为：行来分，力系可分为：平面汇交力系：平面汇交力系：各力的作用线都在同一各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。平面内且汇交于一点的力系。2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、平面汇交力系合成的几何法一、平面汇交力系合成的几何法 力多边形力多边形可任意变换各分力矢的次序可任意变换各分力矢的次序已知：平面汇交力系已知：平面汇交力系 F1，F2，F3，F4 求：合力求：合力 FRFR2=FR1+F3FR1=F1+F2=F1+F2+F3=F1+F2+F3+F4FR=FR2+F4作力多边形时，不必画出作力多边形时，不必
3、画出 FR1.FR2F3F2F1F4F4F1F2F3F1F2F3F4FRFRFRFR1FR2结论结论:平面汇交力系可简化为一合力平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向其合力的大小与方向等于各分力的矢量和等于各分力的矢量和(几何和几何和),合力的作用线通过汇交点。合力的作用线通过汇交点。特殊情况：特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力系合力的大小与方向决定于各分力的系合力的大小与方向决定于各分力的代数和代数和，即，即 2.1 2.1 平面汇交力系
4、合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法nii1FniiRFF1nRFFFF21推广推广:设平面汇交力系包含设平面汇交力系包含n个力个力,以以FR表示合力矢，则有表示合力矢，则有 二、平面汇交力系平衡的几何法二、平面汇交力系平衡的几何法平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。即该力系的合力等于零。即 在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的在平衡时，力多边形最后一个力的终点与第一个力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：于是，平面汇交力
5、系平衡的必要和充分条件是：该力系该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法01niiF 例：门式刚架，在例：门式刚架，在B点受一水平力点受一水平力F=20kN，不计刚架，不计刚架自重。求支座自重。求支座 A、D 的约束力。的约束力。解：解：1.取刚架为研究对象取刚架为研究对象 2.画受力图画受力图 3.按比例作力三角形按比例作力三角形 4.量得量得 10kN22.5kNDAFF 2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法abFDFarctan
6、1 226.545 例例PFCFB45 FAFC45 P45 FBFC三铰刚架受力如图示三铰刚架受力如图示 求求:A,B,C处的约束反力处的约束反力解解:（1 1）以）以AC为研究对象为研究对象,画受力图画受力图(2)(2)以以CB为研究对象为研究对象,画受力图，画受力图，FA=FC=0.707PABCPaaaBC AC所以所以 FB=FC=Pcos45o=0.707P 2.1 2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法（3）画力多边形）画力多边形又：又：NcosFF)2(1)(cos22hRhRRhRRN(2)F RFhRh解：解：研究物块研究物块,受力如图，受力如
7、图，解力三角形：解力三角形：2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 例例 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h再研究球，受力如图：再研究球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：NsinPFRhR sin又NNFF Nsin(2)F RRhPFRhRh)2()(hRhhRFPhRhRhPF)2(时球方能离开地面当hRhRhPF)2(2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法FNB=0时为时为球离开地面球离开地面一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式一、力在正交
8、坐标轴系的投影与力的解析表达式 coscosFFFFyx力在轴上的投影力在轴上的投影:Fx和Fy为为代数量代数量 称为称为力的解析表达式力的解析表达式 22yxFFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法jiFyxFFjFiFyyxxFF如已知投影如已知投影Fx和和Fy，则力，则力F的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为力力F沿轴分解沿轴分解:Fx和和Fy 为为矢量矢量 FFFFyx),cos(),cos(jFiF二、二、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系合成的解析法根据合矢量投影定理根据合矢量投影定理 RxFRyF22RyRxRFFFRRxRFF),c
9、os(iFRRyRFF),cos(jF由上节知：由上节知：nxxxFFF21niixF1nyyyFFF21niiyF122)()(iyixFFRixFFRiyFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法求合力求合力FR。nRFFFF21nii1F已知：已知：F1，F2，F3，Fn。FR例：例：F1=2kN，F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，用解析法求合力。，用解析法求合力。取坐标系取坐标系Axy。45cos4F41iixRxFFkN29.141iiyRyFF45sin4FkN12.122RyRxRFFF2212.129.1kN71.122)()
10、(iyixFFRxRyFFarctan29.112.1arctan 41象限）第(合力方向合力方向:合力大小合力大小:2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解：30cos1F60cos2F45cos3F30sin1F60sin2F45sin3FFR三、平面汇交力系平衡的解析法三、平面汇交力系平衡的解析法该力系平衡的必要和充分条件是该力系平衡的必要和充分条件是:0)()(22iyixRFFF欲使上式成立，必须同时满足欲使上式成立，必须同时满足 00iyixFF平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：称为平面汇交力系的平衡方
11、程。称为平面汇交力系的平衡方程。0ixF 0iyF 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法该力系的合力该力系的合力FR 等于零。等于零。例：如图所示，重物例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮，用钢丝绳挂在支架的滑轮上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆上。杆AB与与BC铰接，并铰接，并以铰链以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆摩擦和滑轮的大小，试
12、求平衡时杆AB和和BC所受的力。所受的力。2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法1.取滑轮取滑轮B为研究对象为研究对象 2.画研究对象的受力图画研究对象的受力图3.列平衡方程列平衡方程 0 xF 0yF4.解方程解方程kN321.7366.0PFBAkN32.27366.1PFBC FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同，即杆即杆BC受压。受压。FBA为负值，表示这力的假设方向与实际为负值，表示这力的假设方向与实际方向相反，即杆方向相反，即杆AB也受压力。也受压力。BAF30sin1F60sin2F0BCF
13、30cos1F60cos2F0kN2021PFF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解：例：如图所示的压榨机中，杆例：如图所示的压榨机中，杆AB和和BC的长度相等，自的长度相等，自重不计。重不计。A、B、C处为铰链连接。已知活塞处为铰链连接。已知活塞D上受到油缸上受到油缸内的总压力为内的总压力为F=3kN，h=200mm，l=1500mm。试求压块。试求压块C对工件与地面的压力，以及对工件与地面的压力，以及AB杆所受的力。杆所受的力。2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法解：解：0 xF 0yFsin2FFFB
14、CBA解得解得再取压块再取压块C为研究对象为研究对象 0 xF 0yF解得解得cot2sin2cosFFFCxsinCBCyFF先取活塞杆先取活塞杆DB为研究对象为研究对象 cosBAFcosBCF0sinBAFsinBCFF0kN35.11CxFcosCBF0sinCBFCyF0kN25.112hFlkN5.12F 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法PABC303030FTFABFBCFB303030 例例 已知：已知：P=20=20 kN ，不计杆，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与与BC所受的力。所受的力。解：解：以滑轮为研究对
15、象以滑轮为研究对象 画受力图画受力图列平衡方程求解列平衡方程求解0 xF 030sin30cosTBCBAFFF 0yF 030cos30sin1FFFBC 其中其中 PFFTAB54.64kNFBC74.64kNF 解得解得 （压）（压）（拉）（拉）2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法xy0coscos450ACDRS045sinsin0CDASRP 例例 已知已知 P=2=2kN ，求求CD所受的力和所受的力和A处的约束反力。处的约束反力。0.41tan1.23EBAB解得：解得：kN 24.4tg45cos45sin00PSCDkN 16.3cos
16、45cos0CDASR；解：解：以以AB杆为研究对象杆为研究对象画受力图画受力图列平衡方程求解列平衡方程求解 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法0 xF 0yF 2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法DFNA例例 已知如图已知如图P、Q，求平衡时求平衡时 =？地面的反力地面的反力FND=？解：解：研究球，受力如图研究球，受力如图.PQPQ-FQFD360sin2sin-02TN由得由得060212cos2T1TPPFF由得由得0 xF0cos1T2TFF0yF0sinN2TDFQF列平衡方程为列平衡方程为Q1TF2
17、TFxyPFPF2;T2T1而而1 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：解题技巧及说明：3 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。有一个未知数。2 2、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。、一般对于受多个力作用的物体，都用解析法。2.2 2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法5 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以
18、任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算一、力对点之矩（力矩）一、力对点之矩（力矩）点点O：矩心矩心 距离距离h:力臂力臂 力对点之矩是一个代数量，力对点之矩是一个代数量，显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它显然，当力的作用线通过矩心，即力臂等于零时，它对矩心的力矩等于零。
19、对矩心的力矩等于零。力矩的单位常用力矩的单位常用 Nm 或或 kNm。它的绝对值等于力的大小与力它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，臂的乘积，其正负按下法确定：其正负按下法确定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。OABOSFhM2)(F力力F 对于点对于点O的矩以的矩以MO(F)表示，即表示，即二、合力矩定理与力矩的解析表达式二、合力矩定理与力矩的解析表达式 合力矩定理：合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。上式适用于任何有
20、合力存在的力系。上式适用于任何有合力存在的力系。niiOROMM1)()(FF 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算力矩的解析表达式力矩的解析表达式 cossinyFxF或或上式为平面内力对点的矩的解析表达式。上式为平面内力对点的矩的解析表达式。)()()(xOyOOMMMFFFxyOyFxFM)(F()ORMF力力F 对坐标原点对坐标原点O之矩之矩 合力合力FR对坐标原点之矩的解析表达式对坐标原点之矩的解析表达式 已知力已知力F，作用点，作用点A（x,y）及夹角）及夹角。1()niyiixiix Fy F 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念
21、及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算 例：作用于齿轮的啮合力例：作用于齿轮的啮合力Fn=1000N，节圆，节圆直径直径D=160mm，压力角，压力角=20。求啮合力。求啮合力Fn对对于轮心于轮心O之矩。之矩。（1）应用力矩计算公式）应用力矩计算公式解：解：mN20cos216.01000mN2.75ncos2DF（2）应用合力矩定理）应用合力矩定理 tncosFFrnsinFFn(cos)02DF mN2.75hnn()OMFF h ntr()()()OOOMMMFFF 2.3 2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算平面力系中力对点之矩的概念及计算 2.4 2.4 平面力偶平面力偶一、力偶
22、与力偶矩一、力偶与力偶矩 力偶：力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。的力系。d 称为称为力偶臂力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。力偶所在的平面称为力偶的作用面。记作（记作（F，F）（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因此，力和力偶是静力学的两个基本要素此，力和力偶是静力学的两个基本要素 （2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。()F xdF xFd力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的力偶矩是一个代数量
23、，其绝对值等于力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。FdM力偶矩的单位：力偶矩的单位：Nm。简记为简记为M。ABCA 2力偶对点力偶对点O的矩为的矩为Mo（F，F）,则则ooo(,)()()MMMF FFF记为记为M（F，F）2.4 2.4 平面力偶平面力偶 且且与与（Fo,Fo）等效。等效。F1,F1 是一对平衡力是一对平衡力可以除去，可以除去，显然，显然，F1，F1，F2，F2与与（Fo,Fo）等效。等效。分别将分别将Fo，Fo移到点移到点A，B。然后分解。然后分解。证明证明:
24、（Fo,Fo）与与（F,F）等效等效二、同平面内力偶的等效定理二、同平面内力偶的等效定理 定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。则两力偶彼此等效。证明：证明：F2,F2组成一新力偶，组成一新力偶，已知：已知：M（Fo,Fo）=M（F,F）oo(,)2MACB F FADBFFM-2),(22 2.4 2.4 平面力偶平面力偶由图可见由图可见:ACB和和ADB同底等高，面积相同底等高，面积相等，于是得等，于是得 由假设知由假设知 因此有因此有于是得于是得 可见力偶可见力偶（F2,F2）与与（F,F）完全相等。完全相等。所以力偶所
25、以力偶（F，F）与与（Fo，Fo）等效。等效。又因为力偶又因为力偶（F2,F2）与与（Fo,Fo）等效，等效，（F2,F2）和（）和（F,F）有）有相等的力偶臂相等的力偶臂d和相同的转向和相同的转向。oo(,)(,)MMF FF F22,FFFF),(),(2200FFMFFM),(),(022FFMFFM 2.4 2.4 平面力偶平面力偶由此可得推论由此可得推论 （1）任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改）任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其变它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。作用面内的位置无关。
26、（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以）只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。对刚体的作用。2.4 2.4 平面力偶平面力偶三、平面力偶系的合成和平衡条件三、平面力偶系的合成和平衡条件 1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 d1dd2dA A BB111dFM 222dFMdFM31dFM4243FFF34FFF=FdM dFF)(43dFdF4321MM F1F1F3F3F2F2F4F4FF由于由于F=-F，构成了与原力偶系等效的合力偶（，构成了与原力偶系等效的合力
27、偶（F，F）,以以M表示合力偶的矩，得表示合力偶的矩，得 2.4 2.4 平面力偶平面力偶niiMM12.平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件01niiM平面力偶系的平衡方程。平面力偶系的平衡方程。如果有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。如果有两个以上的平面力偶，都可按照上述方法合成。即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶即在同平面内的任意个力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于由合成结果可知，力偶系平衡时，其合力偶的矩等于零。因此，零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有
28、各平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零。力偶矩的代数和等于零。2.4 2.4 平面力偶平面力偶 例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的例：如图所示的工件上作用有四个力偶。各力偶矩的大小为大小为 M1=M2=M3=M4=15Nm。固定螺柱固定螺柱A和和B的距离的距离l=200mm。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。求两个光滑螺柱所受的铅垂力。选工件为研究对象。选工件为研究对象。由力偶系的平衡条件知由力偶系的平衡条件知 0MBAFF lFA4321MMMM0lMMMM43212.0154N300解：解：FAFB 2.4 2.4 平面力偶平面力偶例：机构自重不计。圆轮上的销
29、子例：机构自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆放在摇杆BC上的光滑上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为其力偶矩为 M1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置时。图示位置时OA与与OB垂直，垂直，=30，且系统平衡。求作用于摇且系统平衡。求作用于摇杆杆BC上力偶的矩上力偶的矩M2及铰及铰链链O，B处的约束力。处的约束力。2.4 2.4 平面力偶平面力偶先取圆轮为研究对象先取圆轮为研究对象 0M0sin1rFMAsin1rMFA解得解得 再取摇杆再取摇杆BC为研究对象为研究对象 0M0sin2rFMA其中其中FA=FA。得。得 mkN8412 MMkN85.0m5.
30、0mkN2sin1rMFFFABOkN85.0m5.0mkN2解：解：2.4 2.4 平面力偶平面力偶补充补充：1.在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件在图示机构中，各构件的自重略去不计。在构件AB上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A和和B的约束力。的约束力。2.在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件在图示结构中，各构件的自重略去不计。在构件BC上上作用一力偶矩为作用一力偶矩为M的力偶，求支座的力偶，求支座A的约束力。的约束力。392.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡一、力的平移定理一、力的平移定理 =力偶力偶称为附加力偶称为附加力
31、偶附加力偶的矩为：附加力偶的矩为：BdMFFFFF),(FF)(FBMFdM定理：定理：可以把作用在刚体上点可以把作用在刚体上点A的力的力F平行移到任一平行移到任一点点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力于原来的力F对新作用点对新作用点B的矩。的矩。二、平面任意力系向作用面内一点简化二、平面任意力系向作用面内一点简化 OM1M2MnMO=点点O-称为称为简化中心简化中心（i=1，2，n）平面任意力系平面任意力系 平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 一个力偶一个力偶MO(力系的主矩）力系的主矩）一个力一个力FR(力系的主
32、矢）力系的主矢）刚体上作用有刚体上作用有n个力个力F1，F2，Fn组成的平面任意力系。组成的平面任意力系。F2FRFnF1FnF2F1iiFF)(iOiMMF2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡21nRFFFF2.力系力系对于简化中心对于简化中心O的主矩的主矩 Mo:12onMMMM即即主矩主矩Mo等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对等于各附加力偶矩的代数和，又等于原来各力对点点O的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。的矩的代数和。主矩一般与简化中心有关。nii1F即即主矢主矢FR等于原来各力的矢量和。主矢与简化中心无关。等于原来各力的矢量和。主矢与简化中心无关。
33、1()noiiMF1.力系的主矢力系的主矢FR：2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡nxxxRxFFFF21nyyyRyFFFF2122)()(iyixRFFF力系对点力系对点O的主矩的解析表达式为的主矩的解析表达式为ixFiyFniixiixiFyFx1)(1()nooiiMMF于是主矢于是主矢FR的大小和方向余弦为的大小和方向余弦为取坐标系取坐标系 Oxy，i，j 为沿为沿 x，y 轴的单位矢量，则轴的单位矢量，则),cos(RixRFFiF),cos(RiyRFFjF2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡固定端（插入端支座）固定端（插入端支座
34、）2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡三、平面任意力系的简化结果分析三、平面任意力系的简化结果分析 平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四平面任意力系向作用面内一点简化的结果，可能有四种情况。种情况。1.平面任意力系简化为一个合力偶的情况平面任意力系简化为一个合力偶的情况则原力系合成为合力偶。合力偶矩为则原力系合成为合力偶。合力偶矩为当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。当力系合成为一个合力偶时，主矩与简化中心的选择无关。（2）FR0，Mo=0；（1）FR=0，Mo0；（3）FR0，Mo0；（4）FR=0，Mo=0。FR=0，Mo0；niiOOFM
35、M1)(2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡合力矢等于主矢。合力矢等于主矢。2.平面任意力系简化为一个合力的情况平面任意力系简化为一个合力的情况（a）主矩等于零，主矢不等于零，即）主矩等于零，主矢不等于零，即（b）主矢和主矩都不等于零，即）主矢和主矩都不等于零，即d=oRMF dFR0，Mo=0；FR就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简就是原力系的合力，而合力的作用线恰好过选的简化中心化中心O。FR0，Mo0；RRRFFF力力FR就是原力系的合力。就是原力系的合力。FRFR2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡合力作用线到点合力作用线到点O
36、的距离的距离d为：为：oRMdF（c）合力矩定理）合力矩定理 而而 所以得证所以得证 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。一点的矩的代数和。.平面任意力系平衡的情况平面任意力系平衡的情况 原力系平衡原力系平衡。下节详细讨论。下节详细讨论。ORROMdFM)(F证明证明：合力：合力FR对点对点O的矩为的矩为)(iOOMMF)()(iOROMMFFFR=0，Mo=0。这就是合力矩定理。这就是合力矩定理。2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡 例：已知：例：已知：P1=450kN，P2
37、=200kN，F1=300kN，F2=70kN。求。求力系向点力系向点O简化的结果，合力与简化的结果，合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x。解：解：7.16arctanCBABACB主矢在主矢在x，y轴上的投影为轴上的投影为 kN9.232cos21FFFFixRxkN1.670sin221FPPFFiyRy（1）先将力系向点）先将力系向点O简化简化主矢的大小和方向余弦为主矢的大小和方向余弦为 kN4.709)()(22RyRxRFFF9446.0),cos(3283.0),cos(RRyRRRxRFFFFjFiF2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡力系对点力
38、系对点O的主矩为的主矩为其作用线位置的其作用线位置的x值为值为m514.384.70sin104.70910235584.70sin33ROFMxmkN2355（2）合力）合力FR的大小和方向与主矢的大小和方向与主矢FR相同。相同。84.160),(jFR84.70),(iFR2119.35.13)(PPFMMOOFd2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡例例3-1 3-1 已知已知F1=150N，F2=200N,F3=300N,F=F =200N 。求力系向点求力系向点O的简化结果，并求力系合力的大小及其与原的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点点O的距离。的距离。1
39、00200解解12312cos45105437.6 NxFFFF 12331sin45105161.6 NyFFFF xyO80FF13F211F1F312jijiF161.6437.6R2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡得力系向点得力系向点O的简化结果如图（的简化结果如图（b);b);MOOxy(b)(c)Oxy22R22()()(437.6)(161.6)466.5NxyFFF RR466.5NFF合力及其与原点合力及其与原点O的距离如的距离如图图(c)(c)。o21.44 N mM ORd45.96mmMFd100200 xyO80FF13F211F1F312j
40、iFRFR mN44.2108.02.0511.045sin)(301FFFFMMOOq(x)dxF例例3-2 3-2 水平梁水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的最大值为载荷的最大值为q，梁长，梁长l，求合力作用线的位置。，求合力作用线的位置。ABlq 解解 在梁上距在梁上距A端为端为 x 处的载荷集度为处的载荷集度为 q(x)=)=qx/l。在此处取的一微段。在此处取的一微段dx，梁在微段，梁在微段dx 受的力近似为受的力近似为 F(x)=)=qxdx/l。梁由梁由 x=0 到到 x=l 的分布载荷合力为的分布载荷合力为0()2lqlFq x
41、dx设合力作用线到设合力作用线到A端的距离为端的距离为 xC，根据合力矩定理根据合力矩定理22012d323lCqxqlqlxxllFxdxc0q()lF xx xdxxc如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即如果平面任意力系的主矢和主矩都等于零，即 显然显然 MO=0 汇交力系为平衡力系；汇交力系为平衡力系；力偶系也是平衡力系。力偶系也是平衡力系。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的充分条件充分条件。原力系必为平衡力系。原力系必为平衡力系。若主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力若主矢和主矩有一个不等于零，则该力系简化为合力或合力偶，原力系不平
42、衡。或合力偶，原力系不平衡。因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的因此，主矢和主矩都等于零为该力系平衡的必要条件必要条件。平面任意力系平衡的必要和充分条件是：平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。力系的主矢和对任一点的主矩都等于零。FR=0，MO=0 FR=02.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡平衡条件用解析式表示为：平衡条件用解析式表示为：上式称为平面任意力系的上式称为平面任意力系的平衡方程平衡方程。所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等
43、于零。等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。平面任意力系平衡的必要和充分条件是：平面任意力系平衡的必要和充分条件是：0iyF 0ixF 0)(FOM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡二力矩形式的平衡方程二力矩形式的平衡方程 三力矩形式的平衡方程三力矩形式的平衡方程 平衡方程的其它形式：平衡方程的其它形式：0 xF其中其中x轴不得垂直于轴不得垂直于A，B两两点的连线。点的连线。其中其中A，B，C三点不得共线。三点不得共线。0)(FAM 0)(FBM 0)(FCM 0)(FAM 0)(FBM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡平面平行力
44、系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，平面平行力系的平衡方程，也可用两个力矩方程的形式，即即平面平行力系平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。是平面任意力系的一种特殊情形。0yF如选取如选取x轴与各力垂直，则轴与各力垂直，则 0 xF于是，平面平行力系的独立平于是，平面平行力系的独立平衡方程只有两个，即衡方程只有两个，即注意：注意：点点A、B的连线不能与力平行。的连线不能与力平行。设物体受平面平行力系设物体受平面平行力系F1，F2，Fn的作用。的作用。0)(FOM 0)(FBM 0)(FAM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡 例：已知小车重例：已知小车重P=10
45、kN，绳与斜面平行，绳与斜面平行，=30，a=0.75m，b=0.3m，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。，不计摩擦。求钢丝绳的拉力及轨道对于车轮的约束力。取小车为研究对象。取小车为研究对象。0 xF 0yF解得解得 30sin10sinPFTabaPFB2sincosBAFPFcos0sinPFT0cosPFFBA0sincos2PbPaaFBkN5kN33.575.0230sin3.030cos75.01033.530cos10kN33.3解：解：0)(FOM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡 例：起重机重例：起重机重P1=10kN，可绕铅直轴，可绕
46、铅直轴AB转动；起重机的转动；起重机的挂钩上挂一重为挂钩上挂一重为P2=40kN的重物。起重机的重心的重物。起重机的重心C到转轴到转轴的距离为的距离为1.5m，其他尺寸如图所示。求在止推轴承，其他尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴和轴承承B处的约束力。处的约束力。2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡解：解：取起重机为研究对象。取起重机为研究对象。0 xF 0yF05.35.1521PPFB解得解得 kN5021PPFAykN317.03.021PPFBkN31BAxFF021PPFAy0BAxFF 0)(FAM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡k
47、N122028.01628.020 例：例：在水平双伸梁上作用有集中力在水平双伸梁上作用有集中力F、矩为、矩为M的力偶和集度为的力偶和集度为q的均布载荷。如已知的均布载荷。如已知F=20kN，M=16kNm，q=20kN/m，a=0.8m。求支座求支座A、B的约束力。的约束力。解：解：取梁为研究对象。取梁为研究对象。0 xF 0yF解得解得 0AxFFaMqaFB22kN24BAyFqaFF022aFMqaaaFB0FqaFFBAy0AxF 0)(FAM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡例：自重为例：自重为P=100kN的的T字形刚架字形刚架ABD，置于铅垂面内，置于
48、铅垂面内，载荷如图所示。其中载荷如图所示。其中M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，l=1m。试求固定端。试求固定端A的约束力。的约束力。2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡解：解：取刚架为研究对象。取刚架为研究对象。0yF其中其中kN303211lqF解得解得 kN4.31660sin1FFFAxkN30060cosFPFAymkN118860sin360cos1lFFllFMMA060sin360cos1lFFllFMMA 0 xF060sin1FFFAx060cosFPFAy 0)(FAM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡 例
49、：塔式起重机如图所示。例：塔式起重机如图所示。机架重机架重P1=700kN作用线通过塔架作用线通过塔架的中心。最大起重量的中心。最大起重量P2=200kN，最大悬臂长为最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间的间距为距为4m。平衡荷重。平衡荷重P3,到机身中到机身中心线距离为心线距离为6m。保证起重机在。保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平满载和空载时都不致翻倒，求平衡荷重衡荷重P3应为多少？应为多少？2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡解：解：取起重机为研究对象。取起重机为研究对象。（1）满载时：）满载时：010428213PFPPA)1028(41213PPPFA
50、为使起重机不绕点为使起重机不绕点B翻倒翻倒,须须FA0 即即kN75)210(81123PPP（2）空载时：）空载时：024413PFPB)42(4131PPFB为使起重机不绕点为使起重机不绕点A翻倒，须翻倒，须FB0，即，即kN3502113PPkN350kN753 P所以起重机平衡荷重所以起重机平衡荷重P3应为：应为：6m12mP2P1FBFAP3()0BMF 0)(FAM2.5 2.5 平面任意力系合成与平衡平面任意力系合成与平衡物体系：物体系：由几个物体组成的系统。由几个物体组成的系统。当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平当物体系平衡时，组成该系统的每一个物体都处于平衡状态，
