1、1定积分的概念定积分的概念：特殊和式的极限：特殊和式的极限2定积分存在的定积分存在的必要条件必要条件和和充分条件充分条件(),(),f xa bf xa b 若若在在上上 必必要要条条可可积积，则则件件在在上上有有界界.充分条件充分条件23定积分的性质定积分的性质（2）当当ba 时时，abbadxxfdxxf)()(.badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(.性质性质1 1性质性质2 2 badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.性质性质3 3dxba 1dxba ab .性质性质4 4规定规定:3,()()0,0()0baa bf xf xf x dx 若若在在 上上
2、连连续续，且且但但不不恒恒为为 则则命题命题性质性质5 5的推论：的推论：则则dxxfba)(dxxgba )(.)(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba )(.)(ba （2）性质性质5 54解解0ln1x 1,2x 2ln(ln),xx 21ln xdx 121(ln),x dx 1,2x (),(),()(),f xg xa bf xg x 设设在在上上连连续续且且()(),()d()d .bbaaf xg xxa bf xxg xx，则则推论推论5例例2(),(),f xg xC a b 设设 证证明明下下列列不不等等式式成成立立 2
3、22()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx(1)(1)柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式 111222222()()()()bbbaaaf xg xdxfxdxg xdx (2 2)闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式6 222()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx(1)(1)证证 2()()batf xg xdx 考考虑虑积积分分 222()2()()()0bbbaaatfx dxtf x g x dxgx dx 2222()()4()()0bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 222()()()()bbbaaaf x
4、g x dxfx dxgx dx 被积函数非负被积函数非负7 111222222()()()()bbbaaaf xg xdxfx dxgx dx (2 2)2()()baf xg xdx 证证 122222()()2()()bbbbaaaafx dxgx dxfx dxgx dx 即证即证 12222()()2()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 222()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式8设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)(bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdx
5、xfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 69解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx10解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x,0)(xf在在2,4 上上单单调调下下降降,11,22)4(fM,2)2(fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22
6、sin2124 dxxx12如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式13使使,)(1)(badxxfabfdxxfba)()(abf .)(ba 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等
7、于同一底边而高为等于同一底边而高为)(f的的一一个个矩矩形形的的面面积积。14解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2,xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f)(3lim2 f.6 15第五章第五章 定积分定积分第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式16变速直线运动中变速直线运动中路程函数路程函数与与速度函数速度函数的联系的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出一、问题的提出).()(
8、)(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中17 xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记()().xaxf t dt 积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数二、积分上限函数及其导数18Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义积分上限函数的几何意义()().xaxf t dt 19abxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttf
9、xxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x20 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)(xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )(,xxx xx ,0),(fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )(x x21推论推论（1）()()()()()axxaF xf t dtFxf t dtf x 则则（2）()()()()()()()()xaxaF xf t dtFxf t dtfxx 则则22(3)()()()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb
10、 )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF23例例1 1 已知已知sin(ln1)bxyttdt 求求dydx解解)(sin1sinlnsin(xxxxxxcos)1sinlnsin(sin(ln1)xbdyttdtdx 24202()()(),()xxxt f t dtf tx 设设 且且连连续续，求求（）例例2 2解解222()()()20 xxxf xx 202()()()xxxt f t dt 解解20022()()xxx f t dttf t dt20022()()xxxf t dttf t dt22
11、02()2()()2xxxf t dtx f xx 22()2x f xx 022()xxf t dt 25例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.26证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF27
12、,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(,0)(xxf,0)(0 xdttf,0)()(tftx,0)()(0 xdttftx).0(0)(xxF故故)(xF在在),0(内内为为单单调调增增加加函函数数.28证证,1)(2)(0 dttfxxFx,0)(2)(xfxF,1)(xf)(xF在在1,0上上为为单单调调增增加加函函数数.,01)0(F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf,0 所以所以0)(xF即原方程在即原方程在1,0上只有一个解上只有一个解.令令29定理定理2 2（原函数存在定理原函数存在定理）如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函
13、上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数.定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.30定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数,已知已知)(xF是是)(xf的一个
14、原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式31令令ax ,)()(CaaF 0)()(dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式32)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：baxF)(一一个个连连续续函函数数在在区区间间,ba上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间,ba上上的的增增量量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba
15、仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.33例例6 6 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例7 7 设设 ,求求 .215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2,1上上规规定定当当1 x时时，5)(xf,102152dxxdx原式原式.6 xyo12 2sincos2sin0cos0022234例例7 7 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx 21210022dx
16、xxdxdxx原式原式.211 xyo2xy yx 122 35例例8 8 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12|ln x.2ln2ln1ln 111dxx 11ln000 x 36 0 1cos2d xx 计计算算 2 0 0 1 cos2 d 2cosdx xx x 02|cos|dxx 2 0 22 cosd2(cos)dxxxx 2022sin 2sin 2 2 xx 怎么办？怎么办？例例9 9 解解3721200()()2()f xxxf x dxf x dx 例例10 10 已知已知 求求()fx解解2100()
17、,()af x dx bf x dx设设，2201208(2)24 (1)31(2)2b (2)32axaxb dxababxaxb dx 由由（1）（）（2）解之解之得得24142,()3333abf xxx2()2f xxaxb则则38内容小结内容小结(),()(),f xC a bFxf x 设设且且则有则有1.微积分基本公式微积分基本公式()dbaf xx 积分中值定理积分中值定理()()Fba ()()F bF a 微分中值定理微分中值定理()()fba 牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 392.变限积分求导公式变限积分求导公式 d()ddbxf ttx()f x ()d()ddxaf ttx ()()fxx ()()d()ddxxf ttx ()()()()fxxfxxd()ddxaf ttx()f x 40201.1sin2xdx 5252.23xxdx
