1、3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示一、复习引入一、复习引入l定义：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么称这条直线和这个平面垂直。那么称这条直线和这个平面垂直。判定：判定：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线与这个平面垂直。则这条直线与这个平面垂直。mnA性质：性质：(1)(1)垂直于同一个平面的两条直垂直于同一个平面的两条直线平行。线平行。(2)(2)垂直于同一条直线的两个平垂直于同一条直线的两个平面平行。面平行。l二、概念形成二、概念形成概念概念1.1.平面的法向
2、量平面的法向量已知平面已知平面 ，如果向量，如果向量 的基线与平面的基线与平面 垂直，则垂直，则 叫做平面叫做平面 的的法向量法向量或说向量或说向量 与平面与平面 正交正交。nnnn m由平面的法向量的定义可知，由平面的法向量的定义可知，平面平面 的法向量有无穷多个的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面法向量一定垂直于与平面 共面的所有向量。共面的所有向量。abc由于垂直于同一平面的两条直线由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。向量都是平行的。m模为模为1 1的法向量，叫做的法向量，叫做单位法向量单位法向量，记作记作 显然显然0
3、 n0|nnn二、概念形成二、概念形成概念概念2.2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线垂直于这个平面。abn已知：已知：是平面是平面 内的两条相交的直线，且内的两条相交的直线，且 求证：求证：,a b,na nbn 正方体正方体ACAC1 1棱长为棱长为1 1，求平面，求平面ADBADB1 1的的一个法向量一个法向量。二、概念形成二、概念形成概念概念1.1.平面的法向量平面的法向量例子：例
4、子：A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行一个平面的法向量不只一个，但它们都是平行(或共线或共线)的，的，我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。我们借助于待定系数法可求出平面的一个法向量。待定系数法待定系数法例题例1：已知点 ，其中求平面 的一个法向量。)0,0,(aA),0,0(cC)0,0(bB0 abcABCn解：由已知得),0,()0,(caOAOCACbaOAOBAB ),(zyxnABC 的一个法向量为设平面 0),0,(),(0)0,(),(czaxcazyxACnbyaxbazyxABn则xcazx
5、bay ,解得abzacybcx ,则令),(abacbcn cazbayx ,1则令),1(caban 有何关系？二、概念形成二、概念形成概念概念3.3.平面的向量表示平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。量来刻画。设设A A是空间任意一点，是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条为空间任意一个非零向量，适合条件件 的点的点 M M 的集合构成什么样的图形？的集合构成什么样的图形？n0AMnnA AM MM M1 1M M2 2我们可以通过空间一点和一个我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个
6、与该非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。向量垂直的平面。0AMn称此为称此为平面的向量表达式。平面的向量表达式。二、概念形成二、概念形成概念概念4.4.用法向量证明平面与平面平行及垂直用法向量证明平面与平面平行及垂直2 n1 n设设 分别是平面分别是平面 的法向量，则有的法向量，则有12,n n,12/nn或 与 重合1 n12120 nnnn 已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F F分别是分别是BBBB1 1，CDCD的的中点。求证：平面中点。求证：平面DEADEA平面平面A A1 1FDFD1 1 。二、概念形成二、
7、概念形成概念概念4.4.用法向量证明平面与平面平行及垂直用法向量证明平面与平面平行及垂直例子例子A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1E EF F利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直。的法向量互相垂直。射影：射影：已知平面已知平面 和一点和一点A A，过点，过点A A作作 的垂线的垂线 与与 交交于点于点 ，则，则 就是点就是点A A在平面在平面 内的正射影，也可简内的正射影，也可简称射影。称射影。二、概念形成二、概念形成概念概念5.5.用法向量证明用法向量证明“三垂线定理三垂线定
8、理”预备知识：预备知识：AlA AAABl斜线在平面上的正射影：设直斜线在平面上的正射影：设直线线 与平面与平面 交于点交于点B B，但不，但不和和 垂直，那么直线垂直，那么直线 叫做叫做这个平面的斜线。斜线和平面这个平面的斜线。斜线和平面的交点的交点B B叫做斜足。叫做斜足。ll斜线在平面上的正射影斜线在平面上的正射影：在直在直线线 上任取一点上任取一点A A，作，作A A点在平点在平面面 内的射影内的射影 ，则平面内，则平面内直线直线 叫做斜线叫做斜线 在该平在该平面内的射影。面内的射影。lAA BlA AA已知已知 是平面是平面 的斜线，的斜线，是是 在平面在平面 内的射影内的射影,直线
9、直线 且且lA BlaaA B二、概念形成二、概念形成概念概念5.5.用法向量证明用法向量证明“三垂线定理三垂线定理”三垂线定理：三垂线定理：如果在如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，的射影垂直，则它也则它也和这条斜线垂直和这条斜线垂直。BlA AAa求证：求证：al P O A la 证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,
10、0a POa OA P O A la 逆定理逆定理 (2)三垂线定理：三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的面内的 垂直，则它也和这条斜线垂直垂直，则它也和这条斜线垂直 (3)三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的则它也和这条斜线在平面内的 垂直垂直射影射影射影射影 例例3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：中，求证：A1C是平面是平面BDC1的法向量的法向量 思路点拨思路点拨根据正方体中的
11、垂直关系，找到根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面在平面ABCD和平面和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理证内的射影，由三垂线定理证明明BDA1C，C1DA1C.精解详析精解详析在正方体中，在正方体中，AA1平面平面ABCD，所以，所以AC是是A1C在平面在平面ABCD内的射影，又内的射影，又ACBD，所以，所以BDA1C.同理同理D1C是是A1C在平面在平面CDD1C1内的射影内的射影所以所以C1DA1C.又又C1DBDD，所以，所以A1C平面平面BDC1.1正三棱锥正三棱锥PABC中，求证：中，求证：BCPA.证明：证明：在正三棱锥在正三棱锥PABC中，中，P在底在底面面ABC内的
12、射影内的射影O为正三角形为正三角形ABC的的中心，连接中心，连接AO，则，则AO是是PA在底面在底面ABC内的射影，且内的射影，且BCAO，所以，所以BCPA.小结小结1.直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 2.平面的法向量：平面的法向量：3.平面的向量表示：平面的向量表示：4.两平面平行或重合、垂直的充要条件两平面平行或重合、垂直的充要条件 6.6.有关平面的斜线概念，有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理 o再见例例.在空间直角坐标系内，设平面在空间直角坐标系内，设平面 经过经过 点点 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，为平面为平面 内任意一点，求内任意一点
13、，求 满足的关系式。满足的关系式。),(000zyxP),(CBAe),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解：由题意可得解：由题意可得 0 PMe000(,)(,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得：PO 平面PAOaPOPAa PAaAOaa平面PAO数式板书 例例1已知点已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面求平面ABC的一个法向量的一个法向量思路点拨思路点拨平行与垂直关系的向量表示平行与垂直关系的向量表示（1）平行关系）平行关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面
14、，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuvml/线线平行线线平行/l线面平行线面平行/面面平行面面平行baba/0uauavuvu/新知探究新知探究 （2）垂直关系）垂直关系设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面平面 ，的法向量分别为的法向量分别为 ，abuvml 线线垂直线线垂直l线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直0baba0vuvuuaua/（3）用向量处理平行问题）用向量处理平行问题 用向量处理垂直问题用向量处理垂直问题第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教B版数学三、应用举例三、应用举例利用法向量证明两个平面平行的基本思路是证明两个平面利用法向量证明两
15、个平面平行的基本思路是证明两个平面的法向量平行的法向量平行(或共线或共线)。第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教B版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教B版数学第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何人教B版数学三、应用举例三、应用举例例例2.2.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求证：，求证：(1)AD(1)AD1 1/平面平面BDCBDC1 1 ；(2)AC(2)AC1 1平面平面BDCBDC1 1 。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向利用法向量证明直线与平面的平行的基本思路是证明法向量与直线平行量与直线平行(或共线或共线)的向量垂直；证明直线与平面垂直的向量垂直；证明直线与平面垂直只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。只要证明法向量与该直线共线的向量平行即可。
