1、第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质【自主预习】【自主预习】1.1.两个实数两个实数a,ba,b的大小关系的大小关系a-b0 a-b0 a-b=0 a-b=0 a-b0 a-bb:ab_._.(2)(2)传递性传递性:ab,bc:ab,bc_._.(3)(3)可加性可加性:_:_a+cb+c.a+cb+c.babcacabab(4)(4)可乘性可乘性:如果如果ab,c0,ab,c0,那么那么_;_;如果如果ab,cb,cb0,ab0,那么那么a an n_b_bn n(nN,n2).(nN,n2).(6)(6)开方开方:如果如果ab0,ab0,那么那么 _ (nN,n2)._
2、 (nN,n2).acbcacbcacbcac nanb【即时小测】【即时小测】1.1.若若ab0,ab0,则下列结论不正确的是则下列结论不正确的是()A.aA.a2 2bb2 2B.abaB.aba2 2【解析】解析】选选A.A.因为因为ab0,ab0,所以所以0-b-a,0-b2x(xR).+32x(xR).(2)a(2)a5 5+b+b5 5aa3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3(a,bR).(a,bR).(3)a(3)a2 2+b+b2 22(a-b-1).2(a-b-1).其中正确的个数其中正确的个数()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析】【解析】选选C
3、.C.因为因为x x2 2+3-2x=(x-1)+3-2x=(x-1)2 2+20,+20,所以所以(1)(1)正确正确;a;a5 5+b+b5 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)=(a)=(a2 2-b-b2 2)(a)(a3 3-b-b3 3)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)正负不确定正负不确定,所以所以(2)(2)不正确不正确;a;a2 2+b+b2 2-2(a-b-1)=(a-1)-2(a-b-1)=(a-1)2 2+(b+1)+(b+1)2 20.0.所以所以(3)(3)正确正确.【知识探究】【知识
4、探究】探究点探究点不等式的基本性质不等式的基本性质1.1.若若ab,cd,ab,cd,那么那么a-cb-da-cb-d吗吗?提示提示:不一定成立不一定成立,同向不等式具有可加性同向不等式具有可加性,但不具有可但不具有可减性减性.如如21,51,21,51,但但2-51-12-51-1不成立不成立.2.2.若若ab,cd,ab,cd,一定有一定有acbdacbd吗吗?提示提示:不一定不一定,如如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立时就不成立.【归纳总结】【归纳总结】1.1.符号符号“”和和“”的含义的含义“”与与“”,即推出关系和等价关系即推出关
5、系和等价关系,或者说或者说“不可逆关不可逆关系系”与与“可逆关系可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的这要求必须熟记和区别不同性质的条件条件.2.2.性质性质(3)(3)的作用的作用它是移项的依据它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后不等式中任何一项改变符号后,可以可以把它从一边移到另一边把它从一边移到另一边.即即a+bca+bcac-b.ac-b.性质性质(3)(3)是可是可逆的逆的,即即ababa+cb+c.a+cb+c.3.3.不等式的单向性和双向性不等式的单向性和双向性性质性质(1)(1)和和(3)(3)是双向的是双向的,其余的在一般情况下是不可逆其余的在一般情况下是不可逆的的
6、.4.4.注意不等式成立的前提条件注意不等式成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件不可强化或弱化成立的条件.要克服要克服“想当然想当然”“显然成显然成立立”的思维定式的思维定式.如传递性是有条件的如传递性是有条件的;可乘性中可乘性中c c的正的正负负,乘方、开方性质中的乘方、开方性质中的“正数正数”及及“nN,nN,且且n2n2”都需都需要注意要注意.类型一类型一作差法比较大小作差法比较大小【典例】【典例】设设mn,x=mmn,x=m4 4-m-m3 3n,y=nn,y=n3 3m-nm-n4 4,比较比较x x与与y y的大小的大小.【解题探究】【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什
7、比较两个多项式的大小常用的方法是什么么?提示提示:常用作差比较法常用作差比较法.【解析】【解析】因为因为x-y=(mx-y=(m4 4-m-m3 3n)-(mnn)-(mn3 3-n-n4 4)=(m-n)m=(m-n)m3 3-n-n3 3(m-n)(m-n)=(m-n)(m=(m-n)(m3 3-n-n3 3)=(m-n)=(m-n)2 2(m(m2 2+mn+n+mn+n2 2)222n3mn(m)n,24又又mn,mn,所以所以(m-n)(m-n)2 20,0,因为因为 所以所以x-y0,x-y0,故故xy.xy.22n3(m)n 0,24【方法技巧】【方法技巧】作差比较法的四个步骤作
8、差比较法的四个步骤【变式训练】【变式训练】1.1.若若f(x)=3xf(x)=3x2 2-x+1,g(x)=2x-x+1,g(x)=2x2 2+x-1,+x-1,则则f(x)f(x)与与g(x)g(x)的大的大小关系是小关系是_._.【解析】【解析】f(x)-g(x)=3xf(x)-g(x)=3x2 2-x+1-(2x-x+1-(2x2 2+x-1)+x-1)=x=x2 2-2x+2=(x-1)-2x+2=(x-1)2 2+110,+110,所以所以f(x)g(x).f(x)g(x).答案答案:f(x)g(x)f(x)g(x)2.2.若若x,yx,y均为正实数均为正实数,判断判断x x3 3+
9、y+y3 3与与x x2 2y+xyy+xy2 2的大小关系的大小关系.【解析】【解析】x x3 3+y+y3 3-x-x2 2y-xyy-xy2 2=x=x2 2(x-y)-y(x-y)-y2 2(x-y)(x-y)=(x=(x2 2-y-y2 2)(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)2 2(x+y),(x+y),因为因为x0,y0,x0,y0,所以所以(x-y)(x-y)2 2(x+y)0,(x+y)0,所以所以x x3 3+y+y3 3xx2 2y+xyy+xy2 2.类型二类型二不等式性质的简单应用不等式性质的简单应用【典例】【典例】判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确,并
10、说明理由并说明理由.(1)ab0,(1)ab0,则则 (2)cab0,(2)cab0,则则 (3)(3)若若 ,则则adbc.adbc.(4)(4)设设a,ba,b为正实数为正实数,若若a-b-,a-b-,则则ab.ab0,ab0,所以所以abab两边同乘以两边同乘以得得 得得 ,故正确故正确.(2)(2)因为因为c-a0,c-b0,c-a0,c-b0,且且c-ac-bc-a0,0,又又ab0,ab0,所以所以 ,正确正确.1ab11ababab，1a1b11cacbabcacb(3)(3)由由 ,所以所以 0,0,即即adbcadbc且且cd0cd0或或adbcadbc且且cd0,cd0,故
11、不正确故不正确.abcdabcdadbc0adbc0adbc0cd0cd0.cd，即，所以或，(4)(4)因为因为a-b-,a-0,b0,a0,b0,所以所以a a2 2b-babb-bab2 2-a-aa a2 2b-abb-ab2 2-b+a0,-b+a0,ab(a-b)+(a-b)0ab(a-b)+(a-b)0(a-b)(ab+1)0,(a-b)(ab+1)0,所以所以a-b0,a-b0,即即ab,ab0,cd0,ab0,cd0,那么那么 若若a,bR,a,bR,则则a a2 2+b+b2 2+52(2a-b).+52(2a-b).ab;dc【解析】【解析】因为因为ab0,cd0,ab0
12、,cd0,所以所以 0,0,故故 错误错误.a a2 2+b+b2 2+5-2(2a-b)+5-2(2a-b)=a=a2 2+b+b2 2+5-4a+2b=(a-2)+5-4a+2b=(a-2)2 2+(b+1)+(b+1)2 20,0,所以正确所以正确.答案答案:abdcab.dc2.2.若若ab0,ab0,分别判断下列式子是否成立分别判断下列式子是否成立,并简述理由并简述理由.11111.2.abaabb【解析】【解析】(1)(1)成立成立.由由ab0ab0得得aa-b0,aa-b0,所以所以则则 (2)(2)成立成立.因为因为ab0,ab0,所以所以a+bb0,a+bbb0,cdb0,c
13、d0,求证求证:【解题探究】【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么证明该不等式成立的关键是什么?提示提示:证明的关键是由不等式的性质得到证明的关键是由不等式的性质得到a-ca-c与与b-db-d的大的大小关系小关系.ba.acbd【证明】【证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,又又ab0,ab0,所以所以a-cb-d0,a-cb-d0,所以所以0 ,0 ,再由再由0ba,0ba,所以所以 ba.acbd11acbd【延伸探究】【延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)本题条件不变本题条件不变,证明证明:33ab.dc【证明】【证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,所以所以 又
14、又ab0,ab0,所以所以 所以所以 同乘以同乘以-1-1得得 110,cd ab0,dc 3333abab.dcdc 即，33ab.dc2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本题中加上条件本题中加上条件“e0e0”,其其他条件不变他条件不变,证明证明:【证明】【证明】因为因为cd0,cd-d0,-c-d0,又又ab0,ab0,所以所以a-cb-d0,a-cb-d0,所以所以(a-c)(a-c)2 2(b-d)(b-d)2 20,0,所以所以 又又e0,eb0,cd0.ab0,cd0.求证求证:【证明】【证明】因为因为ab0,ab0,所以所以0 0d0,cd0,所以所以0 00,b
15、0,c0,d0,a0,b0,c0,d0,且且 ,求证求证:【证明】【证明】因为因为a0,b0,c0,d0a0,b0,c0,d0且且 ,所以所以adbc,adbc,所以所以ad+cdbc+cd,ad+cdbc+cd,即即d(a+c)c(b+d),d(a+c)c(b+d),所以所以 acbdacc.bddacbdacc.bdd自我纠错自我纠错作差法比较大小作差法比较大小【典例】【典例】设设a+b0,na+b0,n为偶数为偶数,的大小关系为的大小关系为_._.n 1n 1nnba11abab与【失误案例】【失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提
16、示提示:n n为偶数时为偶数时,a,an n-b-bn n和和a an-1n-1-b-bn-1n-1不一定同号不一定同号,这里忽这里忽略了在题设条件略了在题设条件a+b0a+b0且没有明确字母的具体值的情况且没有明确字母的具体值的情况下下,要考虑分类讨论要考虑分类讨论,即对即对a0,b0a0,b0和和a,ba,b有一个负值的有一个负值的情况加以讨论情况加以讨论.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析】【解析】(1)(1)当当a0,b0a0,b0时时,(a,(an n-b-bn n)(a)(an-1n-1-b-bn-1n-1)0,(ab)0,(ab)n n0,0,nnn 1n 1n 1n 1nnnababba11.abababnnn 1n 1n 1n 1nnnababba110.ababab所以，故(2)(2)当当a,ba,b有一个为负数时有一个为负数时,不妨设不妨设a0,b0,b0,a+b0,所以所以a|b|.a|b|.又又n n为偶数为偶数,所以所以(a(an n-b-bn n)(a(an-1n-1-b-bn-1n-1)0,)0,且且(ab)(ab)n n0,0,故故 即即 综合综合(1)(2)(1)(2)可知可知,答案答案:nnn 1n 1nabab0,abn 1n 1nnba11.ababn 1n 1nnba11.ababn 1n 1nnba11abab
