1、一、主要内容一、主要内容 中值定理中值定理 1.1.罗尔定理罗尔定理:P63P63 ()f x满足条件满足条件:.0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使使得得存存在在一一点点内内至至少少在在内内可可导导在在上上连连续续；在在如果函数如果函数第1页/共39页2.2.拉格朗日定理：拉格朗日定理：P64P64 )(xf满足条件满足条件:abafbffbababa )()()(),(),(2,100 ，使使得得：在在一一点点内内至至少少存存在在内内可可导导；在在上上连连续续，在在如果函数如果函数例题：例题：P66 P66 例例1 1，2 2()()()f bf a
2、fba第2页/共39页第3页/共39页第4页/共39页罗必塔法则：罗必塔法则：P67,68P67,68 第5页/共39页则）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax第6页/共39页）（或（或 Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(第7页/共39页1.1.认真掌握课本认真掌握课本P68-69P68-69的例题的例题2.2.独立完成独立完成P70 P70 的习题（用罗必塔法则求极限）的习题（用罗必塔法则求极限）例例 求求xxxxln11lim1 解解 这是这是未定型，通过“通分”将其化为未定型，通过“通分”将其化为
3、00未定型未定型 xxxxxxxxxxln)1()1(lnlimln11lim11xxxxxxx1ln1ln1lim1 xxxxln11lnlim121111lim21xxxx.第8页/共39页（2）0,lnlimaxxax解：01lim1limlnlim1axxxaxaxaxxxx2seclimtanlim20000 xeexeexxxxxxxeexxxtanlim0（1）解：例求下列极限第9页/共39页（3）)111(lim0 xxex解：)1(1lim)111(lim00 xxxxxexxeex xxxxxxxxxxeeeexeee00lim11lim00002121lim0 xx第10
4、页/共39页（4）xxx1)(lnlim未定式）0(解法1：(对数法）设xxy1)(lnxxxyxlnln)ln(lnln1xxyxxlnlnlimlnlim 0ln1lim1ln1limxxxxxx所以1)(lnlimlim1xxxxy第11页/共39页解法2：(指数法）xxxxxexlnln)(1lim)(lnlim0 10ln1limlnlnlimeeexxxxxx第12页/共39页导数的应用导数的应用 1.1.切线方程和法线方程：切线方程和法线方程：第13页/共39页2.2.曲线的单调性曲线的单调性:P71:P71 定理定理1 1 定理定理 2 2 设函数设函数)(xf在在,ba上连续
5、，在上连续，在),(ba内内可导，则有可导，则有 （1 1）如果在）如果在),(ba内内0)(xf，则函数，则函数)(xf在在,ba上单调增加；上单调增加；（2 2）如果在）如果在),(ba内内0)(xf，则函数，则函数)(xf在在 ,ba上单调减少上单调减少 第14页/共39页求单调区间的求单调区间的4 4个步骤个步骤：()fx()fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定
6、在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断：）判断：()0()0fxfx当时，单调增加当时，单调减少注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：单调区间无所谓开、闭区间，一般为开区间掌握掌握P71 例题例题1-4第15页/共39页证明：（采用函数的单调性证明）第16页/共39页例3.证明:)0(,1)1ln(122xxxxx证明:设)0(,1)1ln(1)(22xxxxxxf2222122)1()1()1ln()(xxxxxxxxxxf22221)1()11()1ln(xxxxxxxxx第17页/共39页222221)1(1)1()1ln(xxxxxxxxxx0,0)1ln(2xxx所以
7、0,)(xxf01)1ln(1)0()(022xxxxxfxf从而因此)0(,1)1ln(122xxxxx第18页/共39页解：设xxxxfarctan)1ln()1()(0 x21111)1ln()(xxxxxf)0(,01)1ln(22xxxx所以0,)(xxf第19页/共39页从而0,0arctan)1ln()1()0()(0 xxxxfxfx因此0,1arctan)1ln(xxxx第20页/共39页 3.3.函数的极值函数的极值 极值的定义极值的定义：P72P72 定义定义 设函数设函数)(xf在在 0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义,且对且对此邻域内任一点此邻域内任一点)(0 x
8、xx,均有均有)()(0 xfxf,则称则称)(0 xf是函数是函数)(xf的一个极大值的一个极大值;同样同样,如果对此邻域如果对此邻域内任一点内任一点)(0 xxx,均有均有)()(0 xfxf,则称则称)(0 xf是函是函数数)(xf的一个极小值函数的极大值与极小值统称为的一个极小值函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点函数的极值使函数取得极值的点 0 x,称为极值点称为极值点 第21页/共39页极值存在的必要条件：极值存在的必要条件：P72 P72 定理定理2 2（3）极值点的取值范围：驻点或不可导点。）极值点的取值范围：驻点或不可导点。定理定理 1 1 (极值的必要条件
9、极值的必要条件)设设)(0 xf在点在点0 x处具有导数处具有导数,且在点且在点0 x取得极值取得极值,那么那么0)(0 xf 第22页/共39页 极值存在的充分条件：极值存在的充分条件：定理定理1 1(极值的第一充分条件）：极值的第一充分条件）：P73 P73 定理定理3 30000000001.()()2.()0()3.()f xxf xfxfxxfxx在 处可导；是极值；或不存在；是极值点。过 时变号。第23页/共39页定理定理2 2：(极值的第二充分条件）极值的第二充分条件）P74P74定理定理4 40000000()1()2()0(f xfxxfxfx是极值；存在；是极值点。，)0第
10、24页/共39页（4 4）求极值的）求极值的4 4个步骤：个步骤：P73P73()fx()fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值还是）中的点是否是极值点，是极大值还是 极小值极小值理解教材理解教材 P71-74 的例题的例题5至例题至例题7第25页/共39页例例 求函数求函数xxx
11、f1)(的单调增减区间的单调增减区间 和极值。和极值。第26页/共39页第27页/共39页4.4.函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 (1)(1)闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻闭区间上连续函数的最值的求法：只要算出所有驻点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的点和不可导点以及端点处的函数值，再来比较这些值的大小，即能求出函数的最值大小，即能求出函数的最值。(2)(2)当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个当函数在一个区间内可导且只有一个驻点，并且这个驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。驻点是函数的极值点，那么这个驻点就是函数的最值点。(3)(3
12、)在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数在实际问题中，往往根据问题的性质就可以判定函数确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，确有最大值或最小值，而且必在的定义域区间取得，此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往此时，如果函数在定义域区间内只有一个驻点，那么往往不经讨论就能断定是最大值或最小值。往不经讨论就能断定是最大值或最小值。理解理解P75-76 P75-76 的例题的例题8-118-11 第28页/共39页例例 3 3 求函数求函数xxxxf1232)(23在在4,3上的最上的最大值和最小值大值和最小值 解解 因为因为 在在xxxxf1232)(23在在4,3上连续
13、，上连续，所以在该区间上存在着最大值和最小值所以在该区间上存在着最大值和最小值 又因为又因为)1)(2(61266)(2xxxxxf,令令0)(xf,得驻点得驻点21x,12x,由于由于 20)2(f,7)1(f,9)3(f,128)4(f 比较各值可得函数比较各值可得函数)(xf的最大值为的最大值为128)4(f,最小值最小值为为7)1(f 对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断对于实际问题的最值，往往根据问题的性质就可断定函数定函数)(xf在定义区间的内部确有最大值或最小值在定义区间的内部确有最大值或最小值 第29页/共39页理论上可以证明：若实际问题断定理论上可以证明：若实际问题断
14、定)(xf在其定义区间内在其定义区间内部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且部（不是端点处）存在最大值（或最小值），且0)(xf在定义区间内只有一个根在定义区间内只有一个根0 x,那么，可断定那么，可断定)(xf在点在点 0 x取得相应的最大值（最小值）取得相应的最大值（最小值）例例 4 4 有一块宽为有一块宽为 a2的长方形铁皮，将宽的两的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为形，高为 x,问高问高 x取何值时水槽的流量最大取何值时水槽的流量最大(下图下图所示为水槽的横截面）？所示为水槽的横截面）？解解 设
15、两边各折起设两边各折起 x,则横截面积为则横截面积为 )(2)(xaxxS )0(ax x2a-2xx第30页/共39页这样，问题归结为：当这样，问题归结为：当 x为何值时，为何值时，)(xS取得最大值取得最大值 由于由于xaxS42)(,所以令所以令0)(xS,得得)(xS的的惟惟一驻点一驻点2ax 又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都又因为铁皮两边折的过大或过小，其横截面积都会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积会变小，因此，该实际问题存在着最大截面积 所以，所以，)(xS的最大值在的最大值在2ax 处取得，即当处取得，即当2ax 时，水槽的流量最大时，水槽的流量最大 例例 5 5
16、 铁路线上铁路线上AB的距离为的距离为 100 km,100 km,工厂工厂C距距A处处为为 2020 km,km,AC垂直于垂直于AB,要在要在AB线上选定一点线上选定一点 D向工向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每厂修筑一条公路，已知铁路与公路每 kmkm 货运费之比为货运费之比为3 3：5,5,问问D选在何处，才能使从选在何处，才能使从B到到 C的运费最少的运费最少?第31页/共39页解解 设设 xAD(km),(km),则则 xDB100,2220 xCD 由于铁路每由于铁路每 kmkm 货物运费货物运费与公路每与公路每 kmkm 货物运费之比为货物运费之比为3 3：5 5，因此，不妨
17、设铁路上每，因此，不妨设铁路上每km km 运费为运费为k3,则公路上每则公路上每 kmkm运费为运费为k5,并设从并设从 B 到到 C 点需点需要的总运费为要的总运费为 y,则则 )100(320522xkxky 0(x )100.由此可见，由此可见，x过大或过小，总运费过大或过小，总运费 y均不会变小，均不会变小，故有一个合适的故有一个合适的 x使总运费使总运费 y达到最小值达到最小值 C BAD 第32页/共39页又因为又因为 340052xxky 令令0 y,即即2530400 xx,得得15x为函数为函数 y在在其定义域内的惟一驻点，故知其定义域内的惟一驻点，故知 y在在15x处取得
18、最小处取得最小值，即值，即D点应选在距点应选在距 A为为 15 kmkm 处，运费处，运费最少最少 第33页/共39页例欲围一个面积为例欲围一个面积为150150m m2 2的矩形场地。正面所用材料的矩形场地。正面所用材料造价为造价为6 6元元/m m，其余三面所用材料的造价为其余三面所用材料的造价为3 3元元/m m，求求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？解：设：场地的正面长为解：设：场地的正面长为x x米米 第34页/共39页第35页/共39页 5 5曲线的凹向及拐点：曲线的凹向及拐点：P78P78(3)的拐点。为称时变号。过，)()(,)
19、(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf 第36页/共39页求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4个步骤：个步骤：P80()fx()0()0fxfx当时，凹当时，凸（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，并确定）中的点将定义域分成若干个区间，并确定在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断）判断：注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间注：凹凸区间无所谓开、闭区间，一般为开区间()()fxfx和 掌握掌握P79-80的例题的例题1-5第37页/共39页6.6.曲线的渐近线：曲线的渐近线：水平渐近线水平渐近线 的水平渐近线。是或若)()(lim)(limxfAyAxfAxfxx 铅直渐近线：铅直渐近线：的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx第38页/共39页感谢您的观赏！感谢您的观赏！第39页/共39页
