1、中 考数 学2020第二部分河南中考题型过关题型九二次函数综合题考法帮类型1 线段问题 类型2 面积问题 类型3 等腰三角形、菱形的存在性问题类型4 直角三角形、矩形的存在性问题类型5 平行四边形的存在性问题类型6 相似三角形的存在性问题类型7 角度的存在性问题类型1 线段问题考法帮方法总结类型1 线段问题考法帮类型1 线段问题考法帮类型1 线段问题考法帮例1高分技法 2019 安阳二模改编如图，抛物线 与x轴正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，作直线 BC.点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 PDBC,垂足为点 D，用含 m 的代数式表示线
2、段 PD 的长，并求出线段 PD 的最大值.对于 ,令x=，得y=4，令y=0，得 ，解得x1=4，x2=-2，B(4，0)，C(0，4).易求直线BC的解析式为y=-x+4.点P的横坐标为m，P(m，).过点P作y轴的平行线交BC于点F，则F(m,-m+4)，PF=.在RtOBC中，OB=4，OC=4，OCB=45.又PFy轴，PFD=OCB=45，PD=PFsinPFD=.0m4，0，当m=2时，PD最大，最大值为.考法帮 解决二次函数中线段长最值问题的方法解决二次函数中线段长最值问题的方法1.设出未知数(通常是一个与所求线段关系紧密的点的横坐标);2.用未知数表示出有关线段端点的坐标,进
3、而表示出线段的长;3.利用二次函数的性质求最值.注意:当所求线段不是“横平竖直”线段时,要先进行转化,求得其与“横平竖直”线段的倍数关系,再进行求解.例1高分技法类型1 线段问题类型1 线段问题考法帮典例变式1高分技法如图，抛物线 与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，作直线BC.点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PMx轴交BC于点M，PNy轴交BC于点N.是否存在点P，使PMN的周长最大?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.由线段最值问题变式为由线段最值问题变式为周长最大问题周长最大问题易求直线BC的解析式为y=-x+4，OCB=OBC=45.设P(m，)，则N(m，-m
4、+4)，PN=.PMx轴，PNy轴，PMN=OBC=45，PNM=OCB=45，PMN是等腰直角三角形，PM=PN，MN=，PMN的周长为 ，故当PN最大时,PMN的周长最大.当m=2时，PN取最大值，此时点P的坐标为(2，4).类型1 线段问题考法帮典例变式1高分技法存在.考法帮解决二次函数中图形周长最值问题的方法解决二次函数中图形周长最值问题的方法此类问题一般为对含动点的图形求周长的最值,解决此类问题时应利用转化思想,即先观察图形,结合题目分清楚定线段和不定线段,然后将求周长的最值转化为求不定线段和的最值.典例变式1高分技法类型1 线段问题类型1 线段问题考法帮典例变式2高分技法如图，抛物
5、线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线AC.点P是直线AC上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OP，OQ，PQ，是否存在点P，Q，使OPQ的周长最小?若存在,求出点P，Q的坐标;若不存在，请说明理由.由线段最值问题变式为由线段最值问题变式为周长最小问题周长最小问题类型1 线段问题考法帮典例变式2高分技法易求直线AC的解析式为y=2x+4.如图，作点O关于直线AC的对称点O，作点O关于抛物线对称轴的对称点O，连接OO，交AC于点M，连接OO，交AC于点P，交抛物线对称轴于点Q，此时OPQ周长最小，故此时的点P，Q即为所求.易知抛物线的对称轴为直线x=1，O(2,0).存在.类型1
6、 线段问题考法帮典例变式3高分技法如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.过点C作x轴的平行线 l，点P是直线 l 上一动点，连接PA，PB，则PA+PB是否存在最小值?若存在，求此最小值及点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.由线段最值问题变式为由线段最值问题变式为线段和最值问题线段和最值问题类型1 线段问题考法帮典例变式3 高分技法存在.易知A(-2，0)，C(0，4)，直线 l 的解析式为 y=4.如图，作点A关于直线 l 的对称点A，连接BA交直线 l 于点P，则点P即为所求，且AB 的长即为PA+PB的最小值.易知A(-2，8)，点P是AB的中点，P(1，4)，AB=10
7、，故PA+PB的最小值为10，此时点P的坐标为(1，4).类型1 线段问题考法帮典例变式4高分技法如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点H是抛物线的顶点，作直线BC，点D是直线BC上一动点，连接DA，DH，求|DA-DH|的最大值，并求出此时点D的坐标.由线段最值问题变式为由线段最值问题变式为线段差最值问题线段差最值问题类型1 线段问题考法帮典例变式4 高分技法易知A(-2,0),B(4,0),H(1,),直线BC的解析式为y=-x+4.作点A关于直线BC的对称点A,连接DA,AH,则DA=DA.易知|DA-DH|AH,且当D,H,A三点共线时,等号成立,此时|DA-DH|的值
8、最大,最大值为AH的长.当D,H,A共线时,如图所示,连接AB.易知ABC=45,ABC=45,ABA=90.类型1 线段问题考法帮典例变式4 高分技法类型1 线段问题考法帮典例变式5高分技法如图,抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,作直线BC,点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E,交x轴于点F,则当PE=PF时,求点P的坐标.由线段最值问题变式为由线段最值问题变式为线段倍数关系问题线段倍数关系问题类型1 线段问题考法帮典例变式5高分技法考法帮解决二次函数中线段倍数关系问题的方法解决二次函数中线段倍数关系问题的方法此类问题一般是求满足线段倍数关系的点的坐标，方
9、法如下:1.在图中找出对应线段，分清定端点和动端点，设出动端点的横坐标；2.用所设未知数表示出各线段的长度,列出满足线段数量关系的等式，继而求出未知数的值.注意:若所给倍数关系中的线段不是“横平竖直”的线段，则先转化为“横平竖直”的线段，再进行求解.典例变式5高分技法类型1 线段问题类型2 面积问题考法帮方法总结类型2 面积问题考法帮方法总结类型2 面积问题考法帮方法总结类型2 面积问题考法帮方法总结类型2 面积问题考法帮例2高分技法如图,抛物线y=-x2+x+6与x轴交于A,B两点,直线y=x-3经过点A,交y轴于点C,且与抛物线交于另一点D,点P是直线AD上方的抛物线上的一动点,连接PA,
10、PD,求PAD面积的最大值,并求出此时点P的坐标.类型2 面积问题考法帮例2 高分技法参考答案参考答案令-+x+6=x-3,解得x1=-3,x2=3,故A(3,0),D(-3,-6).方法一方法一(铅垂高、水平宽法铅垂高、水平宽法):过点P作x轴的垂线交直线AD于点F,交x轴于点N,如图(1).设P(m,-+m+6),则F(m,m-3),PF=-+m+6-(m-3)=-+9.过点D作PF的垂线交PF的延长线于点M,则SPAD=SPDF+SPAF=PFDM+PFAN=PF(DM+AN)=PF(xA-xD)=(-+9)3-(-3)=-3 +27.-30,当m=0时,SPAD取得最大值,最大值为27
11、,此时P(0,6).类型2 面积问题考法帮例2高分技法方法二方法二(定底平行线法定底平行线法):过点P作直线lAD,当直线l与抛物线只有一个交点P时,直线l与直线AD的距离最大,即SPAD最大,如图(2).设直线l的解析式为y=x+b,令x+b=-+x+6,整理,得 +b-6=0,易知此方程有两个相等的实数根,b-6=0,即b=6.将b=6代入方程,得x=0,故此时点P的坐标为(0,6).易得C(0,-3),PC=6+3=9,SPAD=PC(xA-xD)=9(3+3)=27.故PAD面积的最大值为27,此时P(0,6).类型2 面积问题考法帮例2高分技法方法三方法三(直接求法直接求法):过点P
12、作PMAD于点M,过点P作y轴的平行线,交AD于点F,如图(3).易知C(0,-3),OA=OC,PFM=OCA=45,PM=PF.设P(m,-+m+6),则F(m,m-3),PF=-+m+6-(m-3)=-+9.由A(3,0),D(-3,-6),可得AD=6,SPAD=ADPM=AD PF=3PF=-3 +27.-30,当m=0时,SPAD取得最大值,最大值为27,此时P(0,6).考法帮 求解二次函数中三角形面积最大值问题的求解二次函数中三角形面积最大值问题的常见方法常见方法方法一:设动顶点的横坐标为m,用含m的代数式表示出三角形的面积,再利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.方法二:找
13、到所求三角形三边中的定边,过动顶点作平行于这条定边的平行线,当平行线和抛物线有且只有一个交点时,三角形面积取最大值.三角形面积最大值问题的相关结论本例中,SPAD取得最大值时,点P的位置和点A,D关系密切.当点P的横坐标与线段AD中点的横坐标相同,即xP=时,SPAD最大.例2高分技法类型2 面积问题类型2 面积问题考法帮典例变式1由三角形面积最值问题变式为三角形面积倍数关系问由三角形面积最值问题变式为三角形面积倍数关系问题题如图,抛物线y=-x2+x+6与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,直线y=x-3经过点A,且与抛物线交于另一点D,连接AC,DC.点P是线段AD上一动点(不与点A,D
14、重合),过点P作直线lx轴,交抛物线于点Q.当ACD的面积被直线l分为12的两部分时,求点Q的坐标.高分技法类型2 面积问题考法帮典例变式1高分技法自主解答自主解答 解:易知C(0,6),A(3,0),B(-2,0),D(-3,-6),直线DC的解析式为y=4x+6,直线AC的解析式为y=-2x+6.设直线AD与y轴的交点为E,则E(0,-3),CE=6-(-3)=9,SACD=CE(xA-xD)=9(3+3)=27,SCDE=CE|xD|=93=.由ACD的面积被直线l分为12的两部分,可知这两部分的面积分别为9,18.设P(m,m-3)(-3m0),则OF=m,MF=|-m2+m|.当OM
15、N与AOC相似时,易知OMN=OAC=90,分NOM=C和NOM=AOC两种情况讨论.类型6相似三角形的存在性问题考法帮例8高分技法当NOM=C时,tanNOM=tan C=,则 ,OF=4MF,m=4 ,解得m1=m2=0(舍去),m3=,m4=,点M的坐标为 当NOM=AOC时,tanNOM=tanAOC=4,则 =4,MF=4OF,=4m,解得m5=m6=0(舍去),m7=-(舍去),m8=,M(,-54).综上可知,点M的坐标为 .类型6相似三角形的存在性问题考法帮高分技法例8求解二次函数综合题中相似三角形存在性问题的一般思路和注意事求解二次函数综合题中相似三角形存在性问题的一般思路和
16、注意事项项1.一般思路(1)找点,找出所求相似三角形的三个顶点,若是定点,求出坐标,若是动点,将其横、纵坐标用含未知数的代数式表示出来;(2)分类,将相似三角形按照对应点分类(分类时,根据题中条件对分的类型进行删减,一般会给定一组对应点,再分两种情况求解);(3)列式求解,根据相似三角形的性质,列出比例式,根据勾股定理求出相关线段的长,代入比例式,求未知数的值.2.注意事项(1)用点的坐标求“横平竖直”线段的长时,若“横平竖直”线段的端点左右或上下位置不确定,则线段长要用绝对值表示;(2)解出的未知数的值要进行检验,若出现三点共线或不合题意的点,要舍去;(3)当三角形的三边不能用题目中的未知量
17、表示时,注意利用相似三角形进行转化求解;(4)根据题目中条件,快速、正确地画出图形,利用数形结合思想解题;(5)注意利用二次函数图象的对称性.类型7角度的存在性问题考法帮方法总结类型7角度的存在性问题考法帮例9高分技法如图,直线y=-3x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,且与x轴交于另一点C,连接BC.抛物线上是否存在点M,使MCB=ABO?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.类型7角度的存在性问题考法帮例9高分技法参考答案参考答案存在.对于y=-3x+3,令x=0,得y=3,令y=0,得x=1,A(1,0),B(0,3).将A(1,0
18、),B(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得 解得故抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.易得tanABO=,C(-3,0).方法一方法一:分两种情况讨论分两种情况讨论.如图(1),当点M在直线BC上方时,记为M1.过点B作BC的垂线,交直线CM1于点D1,则tanD1CB=tanABO=,即 .过点D1作D1Gy轴于点G,易证D1GBBOC,D1G=1,GB=1.D1(-1,4),易知该点恰好在抛物线上,点M1与点D1重合,即M1(-1,4).类型7角度的存在性问题考法帮例9高分技法当点M在直线BC下方时,记为M2,作点D1关于直线BC的对称点D2,易知点D2在直线CM2上,易得D2(1
19、,2).可求得直线CD2的解析式为y=x+.令 =-x2-2x+3,解得x1=,x2=-3(不合题意,舍去),M2综上所述,点M的坐标为(-1,4)或 .类型7角度的存在性问题考法帮例9高分技法方法二方法二:设M(m,-m2-2m+3).分两种情况讨论.当点M在直线BC上方时,记为M1.过点M1分别作M1Dx轴于点D,M1QBC于点Q,M1D交BC于点F,易证M1QFCOB,=1,M1Q=QF.易得直线BC的解析式为y=x+3,点F的坐标为(m,m+3),M1F=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m,FD=m+3.tanM1CB=tanABO=,CQ=3M1Q,CF=2M1Q,FD=2
20、M1F,FD=M1F,即m+3=-m2-3m,解得m1=-1,m2=-3(不合题意,舍去),M1(-1,4).类型7角度的存在性问题考法帮例9高分技法当点M在直线BC下方时,记为M2.过点M2分别作M2Dx轴于点D,M2QBC于点Q,DM2的延长线与CB的延长线相交于点F,易证M2QF COB,=1,M2Q=QF.易得点F的坐标为(m,m+3),M2F=m+3-(-m2-2m+3)=m2+3m,M2D=-m2-2m+3.tanM2CQ=tanABO=,CQ=3M2Q,CF=4M2Q.DF=CF,DF=4M2Q=2M2Q,又M2F=M2Q,DF=2M2F,M2F=M2D,即m2+3m=-m2-2
21、m+3,解得m1=,m2=-3(不合题意,舍去),M2 .综上所述,点M的坐标为(-1,4)或 .类型7角度的存在性问题考法帮高分技法例9二次函数综合题中角度的存在性问题的设问形式、特点和解题通法二次函数综合题中角度的存在性问题的设问形式、特点和解题通法1.设问形式:(1)角度相等;(2)角度成倍数关系;(3)角度等于特殊值,如15,30,45,60等.2.特点:两个相等的角中,有一个角是已知的,另一个角的顶点是定点,一边为定边,所求点为另一边与某线的交点,且一般成对出现(分别在定边的两侧).3.解题通法:求解此类问题时,一般分两种情况,根据条件分别求出未知边所在直线的解析式,再分别联立所相交
22、的某线的函数解析式,即可求得交点坐标.类型7角度的存在性问题考法帮典例变式1高分技法由由“1“1倍角倍角”问题变式为问题变式为“2“2倍角倍角”问题问题如图,直线y=-3x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B.抛物线上是否存在点M,使直线AM与y轴所夹锐角是ABO的2倍?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.类型7角度的存在性问题考法帮典例变式1高分技法自主解答自主解答解:存在.易求A(1,0),B(0,3),抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.如图,作线段AB的垂直平分线,交y轴于点D,连接AD,则AD=BD,BAD=ABO,ODA=2A
23、BO.延长AD交抛物线于点M1,则点M1即为所求.设BD=AD=m,则OD=3-m.在RtAOD中,OA2+OD2=AD2,即12+(3-m)2=m2,解得m=,OD=,D(0,).设直线AD的解析式为y=kx+h,将A(1,0),D(0,)分别代入,类型7角度的存在性问题考法帮典例变式1高分技法故直线AD的解析式为令 =-x2-2x+3,解得x1=1(不合题意,舍去),x2=,M1(-,).如图,作直线AM1关于x轴的对称图形,交抛物线于点M2,则点M2即为所求.易求直线AM2与y轴的交点为(0,-),故易求直线AM2的解析式为y=x-,令 x-=-x2-2x+3,解得x3=1(不合题意,舍
24、去),x4=-,M2(-,-).综上所述,点M的坐标为(-,)或(-,-).类型7角度的存在性问题考法帮高分技法典例变式1求解求解“2“2倍角倍角”问题的方法问题的方法1.利用中点中垂法或其他方法构造“2倍角”;2.根据相关条件,求得“2倍角”的动边所在直线的解析式;3.将“2倍角”的动边所在直线的解析式与动点所在某线的解析式联立起来,可求得动点的坐标.类型7角度的存在性问题考法帮典例变式2高分技法由由“1“1倍角倍角”问题变式为问题变式为“半角半角”问题问题如图,抛物线y=-x2-x+4交x轴于A,C两点,交y轴于点B,连接AB.抛物线上是否存在点M,使ACM=BAO?若存在,请求出点M的坐
25、标;若不存在,请说明理由.类型7角度的存在性问题考法帮典例变式2高分技法自主解答自主解答解:存在.对于y=-x2-x+4,令x=0,得y=4,令y=0,得x1=3,x2=-4,A(3,0),B(0,4),C(-4,0).方法一(外延等腰法):如图(1),在点A右侧的x轴上截取AD=AB,连接BD,则ADB=ABD,又BAO=ADB+ABD,ADB=ABD=BAO.过点C作CM1BD,交抛物线于点M1,得ACM1=BDO=BAO,则点M1即为所求.由A(3,0),B(0,4),易得AB=5,AD=AB=5,OD=3+5=8.设CM1交y轴于点E,ACM1=BDO,tanACM1=tanBDO,即
26、 ,解得OE=2,E(0,-2).类型7角度的存在性问题考法帮典例变式2高分技法易求直线CM1的解析式为y=-x-2.令-x-2=-x2-x+4,解得x1=,x2=-4(舍去),M1(,-).如图(1),作直线CM1关于x轴的对称图形,交抛物线于点M2,则M2即为所求.易求直线CM2的解析式为y=x+2.令 x+2=-x2-x+4,解得x3=,x4=-4(舍去),M2(,).综上所述,点M的坐标为类型7角度的存在性问题考法帮典例变式2高分技法方法二方法二(角平分线法角平分线法):如图(2),作BAO的平分线交y轴于点F,则FAC=BAO.过点C作CM1AF,交抛物线于点M1,交y轴于点E,得A
27、CM1=FAC=BAO,则点M1即为所求.由A(3,0),B(0,4),得AB=5.设点F到AB的距离为h,则OF=h.SAOB=SAOF+SABF,34=3h+5h,解得h=.OF=.ACM1=FAC,tanACM1=tanFAC,即 解得OE=2,E(0,-2).以下同方法一.类型7角度的存在性问题考法帮典例变式3高分技法由等角问题变式为特殊角问题由等角问题变式为特殊角问题如图,抛物线y=(x+3)(x-)与x轴交于点A,C,与y轴交于点B,连接BC.点P为抛物线上一动点.当PCB=15时,求点P的坐标.类型7角度的存在性问题考法帮典例变式3高分技法自主解答自主解答解:易求B(0,3),C
28、(-3,0),OB=OC=3,BCO=CBO=45.设P(m,-(m+3)(m-).方法一方法一:如图(1),将射线CB绕点C逆时针旋转15,交抛物线于点P1,则点P1即为所求.易知P1CO=15+45=60.过点P1作P1Dx轴于点D,则P1D=CD,P1D=-(m+3)(m-),CD=m+3,-(m+3)(m-)=(m+3),解得m1=-3,m2=-3(不合题意,舍去),P1(-3,3).类型7角度的存在性问题考法帮典例变式3高分技法如图(1),将射线CB绕点C顺时针旋转15,交抛物线于点P2,则点P2即为所求.易知P2CA=45-15=30.过点P2作P2Ex轴于点E,则CE=P2E,P
29、2E=-(m+3)(m-),CE=m+3,m+3=-(m+3)(m-),解得m3=-1,m4=-3(不合题意,舍去),P2(-1,).综上可知,点P的坐标为(-3,3)或(-1,).类型7角度的存在性问题考法帮典例变式3高分技法方法二方法二:如图(2),将射线CB绕点C逆时针旋转15,交抛物线于点P1,交y轴于点F,则点P1即为所求.易知FCO=60,OF=OC=3 ,F(0,3 ).易求直线CP1的解析式为y=x+3 .令 x+3 =-(x+3)(x-),解得x1=-3,x2=-3(不合题意,舍去),P1(-3,3).类型7角度的存在性问题考法帮典例变式3高分技法如图(3),将射线CB绕点C顺时针旋转15,交抛物线于点P2,交y轴于点G,则点P2即为所求.易知P2CA=45-15=30,OG=OC=,G(0,).易求直线CP2的解析式为y=x+.令 x+=-(x+3)(x-),解得x3=-1,x4=-3(不合题意,舍去),P2(-1,).综上所述,点P的坐标为(-3,3)或(-1,).类型7角度的存在性问题考法帮高分技法典例变式3求解特殊角问题的方法求解特殊角问题的方法二次函数压轴题里涉及的特殊角度一般有15,30,45,60,75,其中求解15,75角的相关问题时,需将该角转化为30,45,60角的和或差,如15=45-30=60-45,75=30+45,以便于求解.
