1、:关于解三角形);,(,:)1(的对边分别为其中三角形的六元素CBAcbacbaCBA:(2).用三角形已知元素求未三角形知元素解（1）正弦定理的表示形式：）正弦定理的表示形式：为外接圆半径RRCcBbAa2sinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabckABCABCsin,sin,sin.(0)akA bkB ckC ksin,sin,sin222abcABCRRRR为外接圆半径Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222222cos2abcCab（2）余弦定理的表示形式：）余弦定理的表
2、示形式：sinsinbAaBsinsinaABb222cos2bcaAbc（3）正弦定理的应用范围：）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。（4）余弦定理的应用范围：）余弦定理的应用范围：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。注意：注意：利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角（一定是锐角）可避免讨论。（一定是锐角）可避免讨论
3、。2222coscababC在 ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解探究：的情况。sinsinbAa分析：由B=,可求出角B，sinc=sinaCA从而.1.当A为钝角或直角时，必须ab,才能有且只有一解，否则无解。0(),AB则C=1802.当A为锐角时，如果ab,那么只有一解。如果absinA,则有两解。（2）若a=bsinA,则只有一解。（3）若absinA,则无解。n若A为锐角时:锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时:锐角一解无解baba评述：注意评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三在已知三角
4、形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当角形时，只有当A A为锐角且为锐角且 时，有两解；时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。其它情况时则只有一解或无解。sinbAab 0例1.在中，已知80，100，45，试判断此三角形解的情况。ABCabA0sin100sin45解：sinB=180bAa又a,b 有两解。B三角形有两解。01例2.在 ABC中，1，40,2则符合题意的b的值有_个。acC0sin解：sinA=2sin401aCc又a,c 有两解。A三角形有两解,b的值有两个。0例3.在 ABC中，2，45，如果用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。axcmbcmB0sinsin
5、45解：sinA=12aBxb2 2x,ab2.x即 22 2.x又三角形有两解,sin,sin,sin.(0)akA bkB ckC ksin,sin,sin222abcABCRRRR为外接圆半径bcacbA2cos2220例1.在 ABC中，已知：B=45,D是BC边上一点，AD=5,AC=7,DC=3,求AB的长。222222AD73511解：在 ADC中，cosC=22 7 314ACDCAC DC5 30C,sinC=.145 37sin5 614在 ABC中，AB=.sin222ACCB4 66例2.在 ABC中，已知：AB=,cosB=,AC边上的36中线BD=5.求sin 的值
6、。A,BCE解：取中点连DE，2 6.3DE=222DE.设BE=x,在 BDE中,BD=BE+-2BE DEcos BED2222 62 66(5)().336)=x+(-2x270.即3x+4x7.3 x=1或x（舍）1.2则DEAB且DE=AB4 66例2.在 ABC中，已知：AB=,cosB=,AC边上的36中线BD=5.求sin 的值。A222.ABCA在BC中,AC=AB+BC-2ABcosBC2224 64 6684=.3369 AC=()+2-22x=1，即BC=2.2 213AC=630由cosB=,sinB=.66=.sinsinACBCBA302706sin.142 21
7、3A例1.在 ABC中，7，5，3,判断 ABC的形状。abc222解：由余弦定理cosA=可知:2bcabc2222225370bca 为钝角.A为钝角三角形.ABC 222为直角ABC为直角三角形。abcA 222为钝角ABC为钝角三角形。abcA222为锐角（ABC不一定为锐角三角形）。abcA例2.在 ABC中，已知c=acosB,b=asinC,试判断 ABC的形状。解法一：(边化角）sinC=sinAcosB,即sin()sin cos,ABABB0,sinB0,化简得：cosAsinB=0.0cosA=0,A=90.又由b=asinC,得sinB=sinAsinC0而A=90，s
8、in1AsinB=sinC,B=C或B=-C(舍）BC为等腰直角三角形。Ac=acosB,例2.在 ABC中，已知c=acosB,b=asinC,试判断 ABC的形状。解法二：(角化边）222c=a,2acbac222.abc0A=90.又b=asinC,而Rt ABC中，b=asinB,sinB=sinC,B=C或B=-C(舍）.BC为等腰直角三角形。Ac=acosB,22例3.在 ABC中，已知tanA:tanB=a:b,试判断 ABC的形状。解法一：(边化角）22sin cossin,cos sincosABAABBcossin即,cossinBAAB即sin2sin2,AB22 或22
9、.ABAB或.2ABAB为等腰 或.ABCRt22tan,tanAaBb22例3.在 ABC中，已知tanA:tanB=a:b,试判断 ABC的形状。解法二：(角化边）cossin即,cossinBAAB2222222即,2acbaacbbcabc422224整理得：0,aa cb cb22222（）(a）0,abbc222或a,abbc为等腰 或.ABCRt22tan,tanAaBb22sin cossin,cos sincosABAABB例4.在 ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,试判断 ABC的形状。解:由已知得sinAcosA+sinBcosB=sinCc(边化角）osC
10、,sin2A+sin2B=sin2C,2sin（A+B)cos(A-B)=-2sin(A+B)cos(A+B),sin（A+B)cos(A-B)+cos(A+B)=0,2sin（A+B)cosAcosB=0,0A+B0,2A+C2cos=cos.22AC2sin=cos.22BAC11sin=cos.2222BAC0030 或150（舍）.22BB060.B112Sah（）111sinsinsin222SabCbcAacB（2）,4abcSRABCR（3）为外接圆半径。1,2Sabcr rABC（4）（）为内切圆半径。()()().1(a+b)2Sp papbpcpc（5）海伦公式：其中222
11、222.（6）ABCD中，AC+BD=AB+BC+CD+DA222122.2bca（7）ABC中线 AD=03例：在中，60,1，面积为，2求的值。sinsinsinABCAbabcABC13解：由sin，22SbcA得：2c 222220则2cos122 1 2cos603abcbcA 3a从而2sinsinsinsinabcaABCA1.在中，若55，16，且此三角形面积220 3，求角.ABCabSC0060 或1202222.在中，其三边分别为，c且此三角形面积，求角.4ABCababcSC04501.在 ABC中已知4，10，30，试判断三角形解的情况bcB2.设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。03.在中，60，1，2，判断的形状。ABCAabcABC4.三角形的两边分别为三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角它们所夹的角的余弦为方程的余弦为方程 的根，求这个三角的根，求这个三角形的面积。形的面积。25760 xx13x
