1、选修选修2-2第一章：第一章：导数及其应用导数及其应用 1.41.4生活中的优化问题距离生活中的优化问题距离 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的导函数求出函数的导函数f(x)（2）求解不等式求解不等式f (x)0，求得其解集，求得其解集，再根据解集写出单调再根据解集写出单调递增递增区间区间（3）求解不等式求解不等式f (x)0，求得其解集，求得其解集，再根据解集写出单调再根据解集写出单调递减递减区间区间注、注、单调区间不单调区间不 以以“并集并集”出现。出现。导数的应用一导数的应用一:判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间一、复习与引
2、入一、复习与引入1.一般地一般地,求函数的极值的方法是求函数的极值的方法是:解方程解方程f(x)=0.当当f (x0)=0时时.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极大值是极大值;（左正右负极大左正右负极大）如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极小值是极小值.（左负右正极小左负右正极小）0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而而不是充分条件不是充分条件.导数的应用二导数的应用二:求函数的极值求函数的极值 设函数设函数f(x)的的图象在图象在a,
3、b上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线,那那么它么它必有必有最大值和最小值最大值和最小值在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);:将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)（即端点的（即端点的函数值）作比较函数值）作比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一最小的一个为最小值个为最小值.导数的应用三导数的应用三：求函数的最值求函数的最值.,.,.，问问题题解解决决一一些些生生活活中中的的优优化化数数本本节节我我们们运运用用导导值值的的有有力力工工具具
4、小小导导数数是是求求函函数数最最大大我我们们知知道道习习前前面面的的学学过过通通通通常常称称为为这这些些问问题题最最省省、效效率率最最高高等等问问题题最最大大、用用料料生生活活中中经经常常遇遇到到求求利利润润优优化化问问题题例例1、海报版面尺寸的设计：、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为心面积为128dm2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm，左、右两边各，左、右两边各空空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白
5、面积最小？，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？2dm2dm1dm1dm思考思考1 1：版心面积为定值版心面积为定值128dm128dm2 2，海报的面积是否也为定值？海报的面积是否也为定值？思考思考2 2：设版心的高为设版心的高为x x，则海，则海报的面积为多少？海报四周空报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？白的面积为多少？128(4)(2)xx+128(4)(2)128xx+-例例1、海报版面尺寸的设计：、海报版面尺寸的设计：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版现让你设计一张
6、如右图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为心面积为128dm2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm，左、右两边各，左、右两边各空空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？2dm2dm1dm1dm解：设版心的高为解：设版心的高为xdm，则版心的，则版心的宽宽 dm，此时四周空白面积为，此时四周空白面积为128x128()(4)(2)128S xxx51228(0)xxx2512()2Sxx()016-16Sxxx令令可可解解得得（舍舍去去）-+减函数减函数 增函数增函数 极小值极小值列表讨论如下：列表讨论如下：S(x)在在(0，+)上只有一
7、个极值点上只有一个极值点由上表可知，当由上表可知，当x=16，即当版心高为，即当版心高为16dm，宽为宽为8dm时，时，S(x)最小最小答：当版心高为答：当版心高为16dm，宽为，宽为8dm时，海报四周的时，海报四周的 空白面积最小。空白面积最小。2512512()28()2S xxSxxx，还有其他求还有其他求最值的方法吗？最值的方法吗？问题背景：问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你知道它的道理吗？一般比大包装的要贵些？你知道它的道理吗？（2）是不是饮
8、料瓶越大，饮料公司的利润越大？）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？例例2、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？2()=0.8-20=2()，f rrrr 令令得得-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p
9、解：解：每个瓶的容积为每个瓶的容积为:34()3rmlp每瓶饮料的利润：每瓶饮料的利润：324()0.20.83yf rrrpp32=0.8(-)3rr)60(r解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则324()0.20.83yfrrrp p 32=0.8(-)3rr)60(r-+减函数减函数 增函数增函数 因此，当半径因此，当半径r2时，半径越大，利润越高时，半径越大，利润越高-1.07p p例例2、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶
10、子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？所以，半径所以，半径r=2时，利润最小，这时，时，利润最小，这时，f(2)0，表示此，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，利润是负值种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，利润是负值解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则324()0.20.83yfrrrp p 32=0.8(-)3rr)60(r-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p
11、例例2、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？当当r(0，2)时，时，()(0)0f rf而而f(6)=28.8p p，故，故f(6)是最大值是最大值答：当瓶子半径为答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，时
12、，每瓶饮料的利润最大，当瓶子半径为当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小时，每瓶饮料的利润最小.解：设每瓶饮料的利润为解：设每瓶饮料的利润为y，则，则324()0.20.83yfrrrp p 32=0.8(-)3rr)60(r-+减函数减函数 增函数增函数-1.07p p例例2、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售售1ml的饮料，制造商可获利的饮料，制造商可获利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的
13、最大半径为最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？你能根据表画出函数的大致图像吗？你能根据表画出函数的大致图像吗？换个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像换个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像观察，你有什么发现？观察，你有什么发现？思考：思考：函数函数的大致图象是什么？据图象分析，瓶子的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影半径的大小对制造商的利润产生什么影响？响？32()0.8()(06)3rf rrrp=-x xO Oy y2 23 36 6当当0 0r r3 3时，利润为负时，利润为负值
14、；当值；当r r3 3时，利润为时，利润为零；当零；当r r3 3时，利润为时，利润为正值，并随着瓶子半径正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大的增大利润也相应增大.市场上等量的小包装的物品一般比大包装的市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？均价格要高），在数学上有什么道理？将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润大包装的利润.方法小结方法小结优化问题优化问题用
15、函数表示数学问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案建立数学模型建立数学模型解决数学模型解决数学模型作答作答:,本本思思路路是是解解决决优优化化问问题题的的基基我我们们不不难难发发现现由由上上述述例例子子解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答当实际问题中，有时会遇到函数在区间内只当实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使有一个点使 的情形，如果函数在这点的情形，如果函数在这点有有极大（极大（小小）值，那么不与端点值比较，也可值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是以知道这就是最大（最
16、大（小小）值，这里所说的也适值，这里所说的也适用于开区间或无穷区间用于开区间或无穷区间(x)=0f 磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？.,.,01,.1.43.bit背景知识计算机把信息存储在磁盘上磁盘是带有磁性介质的圆盘 并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道扇区是指被圆心角分割成扇形区域磁道上的定长的弧可作为基本存储单元根据其磁化与否可分别记录数据 或这个基本单元通常称为比特磁盘的构造如图所示34.1图图rR,.,.mn为了保障磁盘的分辩率 磁道之间的宽度
17、必须大于每比特所占用的磁道长度不得小于为了数据检索的方便 磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数 :,.1,?2,()?RrRrr问题 现有一张半径为 的磁盘 它的存储区是半径介于 与 的环形区域是不是 越小 磁经盘的存储量越大为多少时 磁盘具有最大的存储最外面的磁道不存储任何信息量.存储量磁道数 每磁道的比特数34.1图图rR思考思考1 1：这张磁盘的磁道数最多可达多少？这张磁盘的磁道数最多可达多少？Rrm-思考思考2 2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？最内一条磁道
18、最内一条磁道.:,.1,?2,()?RrRrr问题 现有一张半径为 的磁盘 它的存储区是半径介于 与 的环形区域是不是 越小 磁经盘的存储量越大为多少时 磁盘具有最大的存储量 最外面的磁道不存储任何信息.存储量磁道数 每磁道的比特数34.1图图rR思考思考1 1：这张磁盘的磁道数最多可达多少？这张磁盘的磁道数最多可达多少？Rrm-思考思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？上的比特数为多少？2rnp磁盘总存储量是磁盘总存储量是多少？多少？2Rrrmnp-.存储量磁道数 每磁道的比特数34.1图图rR,.rRmRrm解：设存储
19、区的半径介于 与 之间由于磁道之间的宽度必须大于且最外面的磁道不存储任何信息 所以磁道数最多可达,2,.22,.rnRrrf rr Rrmnmnppp又由于每条磁道上的比特数相同 为获得最大存储量 最内一条磁道必须装满 即每条磁道上的比特数可达到所以 磁盘总存储量.,r,r1磁盘的存储量越大越小不是以判断从函数的解析式上可的二次函数它是关于 .0rf,rf2计算的最大值为求 .2Rr,0rf,r2Rmn2rf解得令2Rr 当时：2Rr 当时：0fr 0fr 2,.22RRrmnp因此 当时 磁盘具有最大存储量 最大存储量为小结：小结：在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可在日常生活中，我
20、们经常会遇到求在什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题常称为优化问题.在解决在解决优化问题优化问题的过程中，关键在于建立数学模型的过程中，关键在于建立数学模型和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、和目标函数；要认真审题，尽量克服文字多、背景生疏、意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要意义晦涩等问题，准确把握数量关系。在计算过程中要注意各种数学方法的灵活运用注意各种数学方法的灵活运用,特别是导数的运用。特别是导数的运用。(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
21、(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案 注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数定义域是关键思考：思考：如果每条磁道存储的信息与磁道如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是储量？此时，是不是r r越小，磁盘的存储越小，磁盘的存储量越大？量越大？22()2()()()()rrmRmf rnnnRrmRrm npppp+-=+=+-L2mr=时，存储量最大时
22、，存储量最大.34.1图图rR解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案小结：小结：在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题常称为优化问题.作业：课本作业：课本P40 A组组 第第2题题利润的影响利润的影响饮料瓶大小对饮料公司饮料瓶大小对饮料公司例例3?,1道道理理吗吗你你想
23、想从从数数学学上上知知道道它它的的一一般般比比大大包包装装的的贵贵些些物物品品市市场场上上等等量量的的小小包包装装的的你你是是否否注注意意过过?,2饮饮料料公公司司的的利利润润越越大大是是不不是是饮饮料料瓶瓶越越大大.cm6,2.0,mL1.,r,r8.0.2最最大大半半径径为为且且制制造造商商能能制制作作的的瓶瓶子子分分制制造造商商可可获获利利料料的的饮饮已已知知每每出出售售单单位位是是厘厘米米瓶瓶子子的的半半径径是是其其中中分分瓶瓶子子的的制制造造成成本本是是某某种种饮饮料料装装的的瓶瓶并并出出售售球球形形某某制制造造商商制制造造背背景景知知识识?,2?,1每每瓶瓶饮饮料料利利润润最最小小
24、瓶瓶子子半半径径多多大大时时润润最最大大能能使使每每瓶瓶饮饮料料的的利利瓶瓶子子半半径径多多大大时时问问题题 23r8.0r342.0rfy,r 所以每瓶饮料的利润是由于瓶子的半径为解 .0r2r8.0rf2 令.6r0 ,r3r8.023 .0rf,6,2r;0rf,2,0r.0rf,2r 时当时当时当 .,rf,0rf,2r;,rf,0rf,2r,利润越低即半径越大单调递减示它表时半径利润越高即半径越大单调递增它表示时当半径因此 .,02f,cm2此时利润是负值瓶子成本瓶内饮料的利润还不够表示此种这时利润最小时半径为.,cm6利润最大时半径为?,)44.1(,:你有什么发现上观察图从函数的图象直接数工具们不用导我果如换一个角度 .,3r;,cm3,03f,3r,利润才为正值时当好相等成本恰饮料的利润与饮料瓶的时即瓶子半径是时当易看出图象上容从?,rf,2,0r解释它的实际意义吗你能是减函数时当 .,请同学们自己作出回答题的问我们很容易回答开始时通过此问题的解决ory2 23r3r8.0rf44.1 图图3.,直观解释直观解释动画演示动画演示
