1、第六章导数第六章导数1.(2018广州一模广州一模)已知函数已知函数f(x)=alnx+xb(a0).当当b=2时时,讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.第第3节节 导数综合解答题导数综合解答题22()()()()0,.22,ln,2.0,0,0,.0,0,20,0,0,;22,0,()()()()()()()(,)()(22)f xaxabf xaxxfxxxxafxf xaafxxaaxfxf xaaxfxf x【解析】函数的定义域为当时所以当时所以函数在上单调递增当时 令解得当时所以函数在上单调递减当时所以函数在上单调递.,2,0,0,;2,0,0,.2()(2)()()baf x
2、baaaf x增综上所述 当时 函数在上单调递增当时函数在上单调递减 在上单调递增2.(2018烟台烟台)已知函数已知函数f(x)=lnx+ax2+(2+a)x(aR).讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.()()()()()()()1(21)(1)220,0,00,0,;1()()()()(10,0,0,0,110,),.xaxfxaxaxxxafxf xafxxfxxaaf xaa 【解析】当时在上恒成立在上单调递增当时 令解得令解得此时在递增 在递减3.(2018深圳模拟深圳模拟)设函数设函数f(x)=ex-1-alnx,其中其中e为自然对数的底数为自然对数的底数.若若a=1,求求
3、f(x)的单调区间的单调区间.1111()()()()()()()()()()e11,eln0,0.e10,1 e0,()()()0,0,10,0,1,0,0,1,0,()()()()()()0).(,(xxxxxaf xx xfxxxt xxxt xxxxt xt xtxt xfxf xxt xfxf xf x【解析】若则令则当时即单调递增 又当时单调递减当时单调递增的0,1(),1,.()单调递减区间为单调递增区间为4.(2018天一大联考天一大联考)已知函数已知函数f(x)=4alnx-ax-1.若若a0,讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.4(4),0,0,4,4,;0,0,4(
4、)()()()()()(,4.),aaxfxaxxaf xaf x【解析】依题意若则函数在上单调递增 在上单调递减若则函数在上单调递减 在上单调递增5.(2017广州模拟广州模拟)已知函数已知函数f(x)=lnx+(a0).若函数若函数f(x)有零点有零点,求实数求实数a的取值范围的取值范围.22min()()()()()()()()ln0,.1ln,.0,0,0;,0.0,.,ln1.1ln10,0,1l()()()(n10,e)()()af xxxaaxaf xxfxxxxxaxafxxafxf xaaxaf xaaafaaf x【解析】函数的定义域为由得因为则时时所以函数在上单调递减 在
5、上单调递增当时当即时 又则函数0(.e1,.a有零点所以实数 的取值范围为ax22()()()()()()()()()()442:20,0,00,0,.222()()4420,20,2()()(20,0;0,.220,.)mxfxmxxxxmfxxf xm xxmxmmmfxmxxxxxfxxfxxmmf xmm【解析】由题知当时在时恒成立在上是增函数当时令得令得在上为增函数 在上为减函数6.(2018惠州模拟惠州模拟)已知函数已知函数f(x)=4lnx-mx2+1(mR).讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.:e12.0,0,e10,0;0,e10()()()(,0.0,0,10,0;
6、0,e10,0.,0,0,)()()()()()()()()(.)mxmxmxmxmxfxmxmxfxxfxmxefxxfxf x 【解析】证明若则当时当时若则当时当时所以在单调递减 在单调递增7.(2015新课标新课标卷卷)设函数设函数f(x)=emx+x2-mx.证明证明:f(x)在在(-,0)单调递减单调递减,在在(0,+)单调递增单调递增.8.(2018晋城模拟晋城模拟)已知函数已知函数f(x)=ax2+(a-1)x+(1-2a)lnx(a0).若若x=2是函数的极值点是函数的极值点,求求a的值及函数的值及函数f(x)的极值的极值.1222()()()()()()()111 2ln,2
7、1 210,1 211 221()()()()()()(20,224131131(1)(2)ln,8424424012,0,12,0,f xaxaxaxafxaxaxxafaaaaxxf xxxx fxxxxxxfxf xxfxf x【解析】由已知解得此时当和时是增函数当时)()(),12.1351,84813112ln2ln2 1.2222()()f xxxf xff 是减函数所以函数在和处分别取得极大值和极小值故函数的极大值为极小值为9.(2018广东七校联考广东七校联考)已知函数已知函数f(x)=lnx,h(x)=ax(aR).函数函数f(x)与与h(x)的图象无公共点的图象无公共点,试
8、求实数试求实数a的取值范围的取值范围.2max()()()()ln,0,.ln1 ln,(),0,e.1e,e,eln10,e1,.e()()()()xf xh xaxxxt xt xt xxxxxttxaaxa【解析】函数与无公共点 等价于方程在无解令则令得因为是唯一的极大值点 故故要使方程在无解 当且仅当故实数 的取值范围为x(0,e)e(e,+)t(x)+0-t(x)单调递增单调递增极大值极大值单调递减单调递减10.(2018马鞍山马鞍山)已知函数已知函数f(x)=lnx-ax2+x,aR.讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.22212121222()()()()()()()()(
9、21ln,):,0,0,00,0,;0,1811810,210,4410,0,200,0,()()axxf xxaxxfxxxafxf xaaafxaxxxxaax xxxafxxxfxxx 【解析】由得当时在上恒成立 函数在上单调递增当时令则得令得令得()(),1811810,.4)4(aaf xaa在上单调递增 在上单调递减,;1 e211 e2.0,2 e,()()()()()()()()()()()(.0,)()()(1,0;1,0.,1,1,.1e,2,0)()()xxxfxxa xxaaf xxf xaxfxxfxf xffabb 【解析】求导 根据导函数的符号来确定 主要要根据导
10、函数零点来分类设则只有一个零点设则当时当时所以在上单调递减 在上单调递增又取 满足且22()()()(l)()n,23210,.22abaf bba ba bbf x则故存在两个零点11.(2016新课标新课标卷卷,理理)已知函数已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点有两个零点.求求a的取值范围的取值范围.1e0,0,01ln2.e,ln21,21,0,1,.e,ln21,21,ln2,0;ln2,()()()()()()()()()()()()()()(0.1,)ln2,ln2)(),()fafxxxaaaxfxf xaaxafxxafxf xaa 设由得或若则故当时因此
11、在上单调递增若则故当时当时因此在单调递减 在.1,0,.,()()(0,.)xf xf xa单调递增又当时所以不存在两个零点综上 的取值范围为12.(2018南平模拟南平模拟)已知函数已知函数f(x)=lnx-(a+1)x,其中其中aR.试讨论函数试讨论函数f(x)的单调性及最值的单调性及最值.()()()()()()()()()()()()()()11(1)ln10:10;1,0,0,;111,0,0,0,1111()(1,0,1)(11axf xxax xfxaxxxafxf xf xaxfxf xaaxfxf xxaaaf x 【解析】由得当时在单调递增没有最大值也没有最小值若当时在单调
12、递增当时在单调递减 所以当时11ln1ln11,.11)()()()faf xaa 取到最大值没有最小值()()()ln0,0,ln0.11ln,10,0,0,0,0,10,1,0,;10,0,.()()()()()()()()()f xx axaxxaxaxaxg xaxaxgg xaxxxag xg xgxg xag xxa【解析】因为所以令则当时在上单调递减时不符合当时 令得13.(2017新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且且f(x)0.求求a.min()()()()()()()()()()()()()()()10,0,0,;1,0,0,.11101,
13、1,1,10,;111(1,1,1,10,;11,10,0.,)()()1xg xg xaxg xg xaag xggaaaag xggaaaag xggg xaa当时在上单调递减当时在上单调递增若即则在上单调递减不符合若即则在上单调递增不符合若则综上.22(21)1(21)(1)0.0,0,0,;110,0,.22()()()()()()()()axaxaxxfxxxxafxf xaf xaa【解析】当时则在单调递增当时 则在上单调递增 在上单调递减14.(2017新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.讨论讨论f(x)的单调性的单调性.15.(2018新
14、课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若若a=3,求求f(x)的单调区间的单调区间;322113,333,63.3032 332 3.,32 332 3,0;()()()()()(32 3,32 3,0.,32 3,3)()()()()()()(2 3,32 3,32 3.)af xxxxfxxxfxxxxfxxfxf x【解析】当时令解得或当时当时故在单调递增在单调递减1315.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).(2)证明证明:f(x)只有一个零点只有一个零点.32232222222()()(23)()()(1
15、)()2:10,030.13,0,100,.,.1111316260,310,3()()()()(66)()3(xxxf xaxxxg xag xxxxg xg xgxxxxxf xfaaaaaxff 证明 由于所以等价于设则仅当时所以在单调递增故至多有一个零点 从而至多有一个零点又故.,(.)()xf x有一个零点综上只有一个零点1316.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设设x=2是是f(x)的极值点的极值点.求求a,并求并求f(x)的单调区间的单调区间;222110,e.1,20,.2e111eln1,e.2e2e02,0;2,0.0,2,(
16、)()()()()()()()()()(2)(),.xxxf xfxaxfaf xxfxxxfxxfxf x【解析】的定义域为由题设知所以从而当时当时所以在单调递减 在单调递增16.(2018新课标新课标卷卷)已知函数已知函数f(x)=aex-lnx-1.(2)证明证明:当当a 时时,f(x)0.()()()()()1e2:,ln1.eeee1ln1,()()()(.ee01,0;1,0.1.10,10.,0.e)()xxxaf xxg xxg xxxg xxg xxg xxg xgaf x证明 当时设则当时当时所以是的最小值点故当时因此 当时1e17.(2019新课标新课标卷卷,文文)已知函
17、数已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f(x)为为f(x)的导数的导数(1)证明：证明：f(x)在区间在区间(0,)存在唯一零点；存在唯一零点；(1)()()()cossin1,()cos.(0,)()0(,)()022()(0,)(,).22(0)0()0()22()(0,).()(0,).g xfxg xxxxg xxxxg xxg xg xgggg xfx【解析】证明：设，则当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减又，故在存在唯一零点所以在存在唯一零点17.(2019新课标新课标卷卷,文文)已知函数已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x，f(x)为为f(x)的导数的导数(2)若若x0,时，时，f(x)ax，求，求a的取值范围的取值范围00000(2)()()0,0.(1)()(0,)(0,)()0(,)()0()(0,)(,).(0)0()0,0,()0.0,0,0.fafafxxxxfxxxfxf xxxffxf xaxaxf xaxa由题设知，可得由知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减又，所以，当时，又当时，故（）因此，的取值范围是(,0.
